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 #1 - 05-02-2011 18:25:56

thedoums
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 223

Le nombre magique

Soit X le nombre X=ABCDEF ou A,B,C,D,E et F sont des chiffres tous différents entre eux (également différents de 0).
En regardant de plus près ce nombre on s'apercoit que les nombres écrit comme suit BCDEFA, CDEFAB, DEFABC, EFABCD, FABCDE sont de multiples de X.

La question?
Evidemment, trouvez X...!!!



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#0 Pub

 #2 - 05-02-2011 18:36:06

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Le nombe magique!

Nombre cyclique :
142857 !


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #3 - 05-02-2011 18:39:24

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Le nombre magiqque!

Attends deux secondes, je te dis ça smile

... dcode...

142857.

Ah ? J'ai triché ? wink

 #4 - 05-02-2011 18:51:15

thedoums
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 223

Le onmbre magique!

bravo a vous 2!!
expliquez votre raisonnement!

 #5 - 05-02-2011 18:57:55

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Le nobmre magique!

142857

 #6 - 05-02-2011 19:26:32

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2212

Le nobre magique!

142857.

Cf tout ça.

 #7 - 05-02-2011 19:32:15

thedoums
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 223

Le nmobre magique!

ok elle était facile celle là!
gabriel et frizmout vous n'avez qu'à éssayer "Le pré!" elle est plus complexe!!!

 #8 - 05-02-2011 20:00:28

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 481
Lieu: Ardèche

Le nommbre magique!

C'est bien connu, il s'agit de 999999/7=142857.

 #9 - 05-02-2011 20:13:02

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Le nombre magique

142857, très grand classique smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #10 - 05-02-2011 20:20:46

thedoums
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 223

Le nombre maggique!

oui Mths éffectivement je m'en rend compte! et pour le pré t'en est ou?

 #11 - 05-02-2011 20:25:09

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Lieu: Toulouse

LLe nombre magique!

Euh perso, comme je l'ai signalé mon raisonnement a été le suivant :
Qui sait résoudre les cryptarithmes ?
DCODE bien sûr !!

 #12 - 05-02-2011 20:45:10

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Le nmobre magique!

@thedoums : toujours au même point, je cherche la subtilité qui m'échappe. Si j'en étais plus loin, j'aurais modifié mon post sur le topic...

Je me permets de corriger un petit quelque chose : on cherche un nombre ici, pas un chiffre. (Je n'arrête pas de l'expliquer : un chiffre est un caractère d'écriture ; en gros, le chiffre est au nombre ce que la lettre est au mot.)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #13 - 05-02-2011 21:15:45

thedoums
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 223

Le nombre magiquee!

Je suis d'accord avec toi Mths mais je me demande seulement à quel moment j'ai demandé de trouvé un chiffre???
Explique moi je voit pas bien là.....

Amicalement

 #14 - 05-02-2011 21:38:52

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

e nombre magique!

Le titre de l'énigme était "Le chiffre magique!". Je l'ai donc changé.

Amicalement aussi.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #15 - 05-02-2011 21:43:00

thedoums
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 223

Le nombre magiqque!

Autant pour moi je n'ai pas fait attention au titre de l'énigme!

merci pour la correction...

 #16 - 05-02-2011 22:41:56

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2999
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

le nombre magiqye!

142857
facile quand on connait 1/7


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #17 - 06-02-2011 12:35:04

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

le nombre magiqye!

142857, désolé pas de justif wink

 #18 - 06-02-2011 15:13:28

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

Le nombre mgique!

Je Propose

142857

 #19 - 07-02-2011 18:19:40

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Le nombre maagique!

X et kX s'écrivent avec les mêmes chiffres.
Tout nombre est congru à la somme de ses chiffres modulo 9.
Donc (k-1)X est congru à 0 modulo 9 (kX et X ont les mêmes chiffres, sont donc congrus à la même chose modulo 9 et donc leur différence à 0 modulo 9).
En choisissant 5 nombres parmi 2X, 3X, 4X, 5X, 6X, 7X, 8X (9X est forcément à 7 chiffres), il y en a au moins 1 (au moins 3 en fait)  pour lequel k-1 est premier avec 9. Pour cette valeur, on le droit de simplifier par k-1 et donc X est congru à 0 modulo 9.

X est congru à la somme de ses chiffres modulo 9 donc la somme de ses chiffres est un multiple de 9. Or elle vaut au moins 1+2+3+4+5+6=21 et au maximum 1+6+9+8+7+5=36.
Vu que 156789 et 165789 ne conviennent pas, la somme maximum est 35 et donc la seule qui convienne est 27.

Si on ajoute les 6 nombres en colonnes, on voit que la somme S des nombres vaut 111111*(A+B+C+D+E+F).
Donc S=111111*27=3^4*7*11*13*37.
Et S=(1+k1+k2+k3+k4+k5)X ou les ki sont les coefficients mutiplicateurs de X pour trouver les 5 autres nombres.
Cette somme 1+k1+k2+k3+k4+k5 est a trouver parmi les diviseurs de S et donc être plus petite ou égale à 24 (X>=123456) et > 18 (X<=166666).
Donc 19, 20, 21, 22, 23 ou 24. 20, 22 ou 24 sont impossibles. 19 et 23 non plus, il reste 21.

Essayons: 111111*27/21=X=142857.
2X=285714
3X=428571
4X=571428
5X=714285
6X=857142

Ca marche smile
Merci pour cette énigme.

PS: Je suis content, je connaissais le résultat mais je ne l'avais jamais montré entièrement.
PPS: http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_cyclique

 #20 - 08-02-2011 17:52:25

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Le nombre maagique!

Commençons par imaginer les cinq multiples de ABCDEF, en sachant que ceux-ci font six chiffres.
Les plus petits multiples étant ABCDEFx2, ABCDEFx3, ABCDEFx4, ABCDEFx5, et ABCDEFx6. on en déuit que A=1 (dans le cas contraire, ABCDEFx5 dépasserait le million, et ferait sept chiffres).

En utilisant ces facteurs multiplicateurs, le plus grand de ces cinq multiples serait ABCDEFx6. Qui doit faire six chiffres.
Or, 987651 (le plus grand nombre possible qui serait le multiple de ABCDEFx6) divisé par 6 nous donne 164608,5.
Donc, ABCDEF<=164598 (les six chiffres composant ABCDEF étant différents entre eux).
Et ainsi, B<=6.

De même, la plus petite valeur de ABCDEF est 123456.
Or, 123456x9 dépasse le million, et compte donc sept chiffres.
Donc les multiples de ABCDEF que nous cherchons, sont tous de multiples de 2 à 8.

Imaginons ensuite que F soit pair (2, 4, 6 ou 8).
Dans ce cas, tous ces multiples le seraient également (le multiple d'un nombre pair étant toujours pair). Ils finiraient donc tous par 2, 4, 6 ou 8, ce qui est impossible car BCDEFA finit par 1.
On en conclut donc que F est impair.

Ajoutons que, sachant que F est impair, si F était égal à 5, cela impliquerait que tous ses multiples finissent par 0 ou 5, ce qui est impossible (un seul 5 autorisé, et pas de 0). Donc, F est dans {3;7;9}.


Considérons les trois cas, F=3, F=7 et F=9, avec les multiples de 2 à 8.
- si F=3 :
    ABCDEFx2 finit par 6
    ABCDEFx3 finit par 9
    ABCDEFx4 finit par 2
    ABCDEFx5 finit par 5
    ABCDEFx6 finit par 8
    ABCDEFx7 finit par 1
    ABCDEFx8 finit par 4
- si F=7 :
    ABCDEFx2 finit par 4
    ABCDEFx3 finit par 1
    ABCDEFx4 finit par 8
    ABCDEFx5 finit par 5
    ABCDEFx6 finit par 2
    ABCDEFx7 finit par 9
    ABCDEFx8 finit par 6
- si F=9 :
    ABCDEFx2 finit par 8
    ABCDEFx3 finit par 7
    ABCDEFx4 finit par 6
    ABCDEFx5 finit par 5
    ABCDEFx6 finit par 4
    ABCDEFx7 finit par 3
    ABCDEFx8 finit par 2

Or, on sait que A=1, donc un de ces multiples doit finir par 1. Ce qui n'est pas le cas avec F=9. F est donc dans {3;7}.
On remarque que dans ces deux derniers cas, les multiples possibles finissent toujours par 1, 2, 4, 5, 6, 8 ou 9.
Ayant A=1, et F dans {3, 7}, les valeurs possibles pour B, C, D et E sont donc dans {2;4;5;6;8;9}, toujours avec B<=6.

Penchons-nous sur le cas F=3 :
Le multiple BCDEFA qui finit par 1, est égal à ABCDEFx7.
Avec ce que nous avons déjà déterminé, la plus grande valeur possible pour BCDEFA est 698531. Or, 698531/7 fait moins de six chiffres. Donc F ne peut pas valoir 3. Ainsi F=7.

On sait donc que le multiple BCDEFA finit par 71, ce qui implique que ABCDEFx3=BCDEFA, ou autrement écrit, 1BCDE7x3=BCDE71.
Quelle valeur E7, multipliée par 3, peut nous donner un entier finissant par 71 ? On teste avec les six valeurs {2;4;5;6;8;9} possibles pour E, et on trouve une seule possibilité : 57x3=171. Donc E=5.

De même :
On sait que le multiple BCDEFA finit par 571, ce qui implique que ABCDEFx3=BCDEFA, ou autrement écrit, 1BCD57x3=BCD571.
Quelle valeur D57, multipliée par 3, peut nous donner un entier finissant par 571 ? On teste avec les cinq valeurs {2;4;6;8;9} possibles pour D, et on trouve une seule possibilité : 857x3=2571.
Donc D=8.

On continue sur la même démarche :
On sait que le multiple BCDEFA finit par 8571, ce qui implique que ABCDEFx3=BCDEFA, ou autrement écrit, 1BC857x3=BC8571.
Quelle valeur C857, multipliée par 3, peut nous donner un entier finissant par 8571 ? On teste avec les quatre valeurs {2;4;6;9} possibles pour C, et on trouve une seule possibilité : 2857x3=8571.
Donc C=2.

Enfin, toujours avec la même méthode :
On sait que le multiple BCDEFA finit par 28571, ce qui implique que ABCDEFx3=BCDEFA, ou autrement écrit, 1B2857x3=B28571.
Quelle valeur 1B2857, multipliée par 3, peut nous donner un entier de la forme B28571 ? On teste avec les deux valeurs {4;6} possibles pour B (on rappelle que B<=6, donc on exclut 9), et on trouve une seule possibilité : 142857x3=428571.
Donc B=4.

On trouve donc que ABCDEF=142857, avec :
142857x3 = 428571 = BCDEFA
142857x2 = 285714 = CDEFAB
142857x6 = 857142 = DEFABC
142857x4 = 571428 = EFABCD
142857x5 = 714285 = FABCDE


Bon j'ai fait très long, vous m'en excuserez, mais je tenais à la résoudre sans faire péter les cryptarithmes sur dcode.
Et je ne regrette pas, j'ai adoré !


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #21 - 08-02-2011 18:13:14

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1923
Lieu: UK

Le nombre magiique!

[TeX]\frac{999999}{7}=142857[/latex] est un nombre cyclique pour les multiples jusqu'à 7.

On peut aussi noter que [latex]\frac{1}{7}=0.142857142857...[/TeX]


The proof of the pudding is in the eating.

 #22 - 08-02-2011 21:55:42

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Le onmbre magique!

La démonstration du Singe est tout simplement superbe. Bravo, mon gars. Je suis ébahi.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #23 - 08-02-2011 22:00:45

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 163
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Le nombbre magique!

En effet. Démonstration claire et complète. Un vrai régal. Chapeau.


On n’est jamais très fort pour ce calcul...

 #24 - 08-02-2011 22:05:46

thedoums
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 223

le nolbre magique!

effectivement démonstration au top! Je n'aurais pas fais mieux...

 #25 - 08-02-2011 22:41:41

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1923
Lieu: UK

Le noombre magique!

142857 est vraiment magique car il est également un nombre de Harshad (divisible par la somme des chiffres qui le composent) et un nombre de Kaprekar (142857²=20408122449 et 20408+122449=142857).


The proof of the pudding is in the eating.
 

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