Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 26-10-2014 23:21:11

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3311

Tesseract mgaique

Après le cube magique de Franky que je n'avais même pas vu hmm voilà un truc encore plus rigolo pour le cerveau big_smile

Le Tesseract magique

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/69/Hypercubecentral.svg

Le but est que les sommes, des nombres placés dans les hypercoins des 24 hyperfaces du tesseract, soient les mêmes. Comme je suis sympas je vous dis que les nombres à placer vont de 1 à 16 et qu'ils apparaissent une et une seule fois smile

Question subsidiaire: Combien de tesseracts différents peut-on faire, avec les conditions imposées? (Je ne sais pas si j'ai la bonne réponse donc je ne mets pas de case réponse)

Bon et bien bon courage à tous lol

Shadock



Annonces sponsorisées :

"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 27-10-2014 11:18:57

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Tesseract mmagique

Si l'on choisit un sommet et qu'on lui attribue l'entier 1, alors il y a 120 solutions.
Comme il y a 16 sommets, il y a en tout  16*120 = 1920 solutions.

 #3 - 27-10-2014 22:44:19

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3311

Tesesract magique

Bah alors on est pas inspiré ? lol lol lol

Oui masab c'est ce que je pense aussi mais je trouve que ca fait beaucoup hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 28-10-2014 02:41:42

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Tesseraact magique

Il y a exactement 5 solutions.

On montre que les voisins du 1 ne peuvent être que 8, 12, 14, 15 ou 16. Je poste la demonstration dès que j'ai le temps.

A chaque fois que l'on se fixe 4 voisins du 1 parmi les 5 possibles, cela conduit à une (unique) solution.

 #5 - 28-10-2014 11:48:41

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Tesseract amgique

Voici l'une des solutions :

http://www.prise2tete.fr/upload/masab-Tesseract-solution1.png

 #6 - 28-10-2014 15:53:24

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3311

tesderact magique

Bravo masab smile

Bon j'annonce la couleur, selon masab il y a 1920 solutions et selon titou il y en a 5... il va falloir vous mettre d'accord ! ^^


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #7 - 28-10-2014 19:05:35

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

resseract magique

Je parle aux isométries (en 4D) près !

C'est-à-dire que je considère que deux tesseracts où chacun des sommets a les mêmes voisins ne représentent qu'une seule solution.

Pour compter les isométries : 16 choix pour la place du 1, puis 4!=24 choix pour les voisins du 1, ce qui fait 384 tesseracts isométriques pour chacune de mes 5 solutions.

384 x 5 = 1920. Nous sommes bien d'accord avec masab !

 #8 - 28-10-2014 19:45:13

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Tesseeract magique

Voici mes 5 solutions :

http://www.prise2tete.fr/upload/titoufred-tesseract_8_12_14_15.png

http://www.prise2tete.fr/upload/titoufred-tesseract_8_12_14_16.png

http://www.prise2tete.fr/upload/titoufred-tesseract_8_12_15_16.png

http://www.prise2tete.fr/upload/titoufred-tesseract_8_14_15_16.png

http://www.prise2tete.fr/upload/titoufred-tesseract_12_14_15_16.png

 #9 - 28-10-2014 22:32:44

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

tesseeact magique

Voici la démonstration annoncée plus tôt :

Tout d'abord, la somme des sommets d'une face vaut 34, donc étant donnée une arête de somme x, il existe 3 autres arêtes parallèles à celle-ci de somme x, et encore 4 autres arêtes parallèles à celle-ci de somme 34-x.

On s'intéresse aux voisins possibles pour le sommet 1 :

Les sommets 2 à 7 ne peuvent être voisins de 1 :
Explications, par exemple, pour le 7 : si 7 est voisin de 1, cela donne une arête de somme x=8, or 8 ne peut être obtenu autrement que comme 2+6 ou 3+5. On ne peut donc trouver 3 autres arêtes de somme 8.

Le sommet 9 ne peut être voisin de 1 : si 9 est voisin de 1, cela donne une arête de somme x=10, or 34-x=24 ne peut être obtenu autrement que comme 16+8, 14+10 ou 13+11. On ne peut donc trouver 4 arêtes de somme 24 (parallèles à 1-9).

Le sommet 10 ne peut être voisin de 1 : si 10 est voisin de 1, il faut trouver 3 autres arêtes de somme x=11, et 4 autres arêtes parallèles à 1-10 de somme 34-x=23.
Or 23 ne peut être obtenu autrement que comme 16+7, 15+8, 14+9 ou 13+10.
Il n'y a donc pas le choix pour les 4 arêtes valant 23.
du coup, 11 ne peut être obtenu autrement que comme 5+6 (car 7, 8 et 9 sont déjà pris).
On ne peut donc trouver 4 arêtes de somme 23 et 3 autres arêtes de somme 11.

Le sommet 11 ne peut être voisin de 1 : si 11 est voisin de 1, il faut trouver 3 autres arêtes de somme x=12, et 4 autres arêtes parallèles à 1-11 de somme 34-x=22.
12 = 2+10 ou 3+9 ou 4+8 ou 5+7
22 = 16+6 ou 15+7 ou 14+8 ou 13+9 ou 12+10
Parmi les sommets {7, 8, 9, 10}, il y en a 3 dans des arêtes de somme 12, et au moins 3 dans des arêtes de somme 22. C'est impossible.
On ne peut donc trouver 4 arêtes de somme 22 et 3 autres arêtes de somme 12.

Le sommet 13 ne peut être voisin de 1 : si 13 est voisin de 1, il faut trouver 3 autres arêtes de somme x=14, et 4 autres arêtes parallèles à 1-13 de somme 34-x=20.
14 = 2+12 ou 3+11 ou 4+10 ou 5+9 ou 6+8
20 = 16+4 ou 15+5 ou 14+6 ou 12+8 ou 11+9
Si jamais il y avait l'arête 5-9 pour les 14, cela éliminerait les arêtes 15-5 et 11-9 pour les 20 et l'on ne pourrait alors en trouver 4 de somme 20.
De même pour l'arête 6-8.
Les arêtes de somme 14 sont donc 2-12, 3-11 et 4-10.
Cela laisse pour les arêtes de somme 20 : 15+5 et 14+6
On ne peut donc trouver 4 arêtes de somme 20 et 3 autres arêtes de somme 14.

Conclusion : Les seuls voisins possibles du 1 sont 8, 12, 14, 15 et 16. CQFD.

 #10 - 29-10-2014 01:38:19

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3311

tesseract maguque

Et bien Bravo Titou t'es le plus fort ! big_smile
NB : masab ton nombre de solutions correctes smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #11 - 29-10-2014 23:42:43

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

tesserzct magique

Bonjour smile

Le 1920 me laisse perplexe :

Comme on compte les solutions modulo les symétries et les rotations alors on peut de manière arbitraire placer le 1 sur un des 16 sommets du tesseract. Ensuite j'ai nommé les autres sommets par des lettres de a à o, comme dans la figure ci-dessous :

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-Hypercubecentral.png

Détermination de la somme sur chaque face :

Soit x la valeur de la somme des quatre sommets d'une face.
Le fait que chaque face a la même somme nous donne les égalités suivantes :
x = 1 + a + b + c = f + g + i + o = j + k + m + n = d + e + h + l.

D'une part la somme total de tous les sommets est égal à la somme des nombres de 1 à 16 soit 16 * 17 / 2 = 8 * 17 = 136.

D'autre part la somme total de tous les sommets vaut :
1 + a + b + c + d + e + f + g + h + i + j + k + l + m + n + o =
(1 + a + b + c) + (f + g + i + o) + (j + k + m + n) + (d + e + h + l) = 4x.

Donc finalement 4x=136, soit x=34.

Détermination des solutions :

La connaissance des quatre valeurs a,c,e et g suffit à déterminer de manière unique la valeur de tous les sommets du tesseract.
En effet, si on regarde les différentes faces du cube on obtient les équations suivantes :

Code:

1 + a + b + c = 34 ----> b = 33 - a - c
1 + a + d + e = 34 ----> d = 33 - a - e
1 + a + g + f = 34 ----> f = 33 - a - g
1 + c + h + e = 34 ----> h = 33 - c - e
1 + g + i + c = 34 ----> i = 33 - g - c
1 + g + j + e = 34 ----> j = 33 - g - e
g + i + k + j = 34 ----> k = 34 - g - i - j
                   ----> k = 34 - g - 33 + g + c - 33 + g + e
                   ----> k = -32 + c + g + e
a + b + l + d = 34 ----> l = 34 - a - b - d
                   ----> l = 34 - a - 33 + a + c - 33 + a + e
                   ----> l = -32 + c + a + e
h + k + m + l = 34 ----> m = 34 - h - k - l
                   ----> m = 34 - 33 + c + e + 32 - c  - g - e + 32 - c - a - e
                   ----> m = 65 - g - c - a - e
j + g + f + n = 34 ----> n = 34 - j - g - f
                   ----> n = 34 - 33 + g + e - g - 33 + a + g
                   ----> n = -32 + e + a + g
i + g + f + o = 34 ----> o = 34 - i - g - f
                   ----> o = 34 - 33 + g + c - g - 33 + a + g
                   ----> o = -32 + c + a + g

Rappelons que les valeurs a à o représentent les nombre de 2 à 16.

On peut voir que une permutation des valeurs a,c,e et g entraîne :
  -Une permutation des valeurs b,d,f,h,i,j.
  -Une permutation des valeurs k,l,n,o.
  -Laisse m inchangé.

Ainsi aux permutations près on peut supposer a < c < e < g.

Donc pour chercher une solution il suffit de choisir 4 nombre parmi les 15 nombres de 2 à 16 pour les valeurs a,c,e et g et de voir si ça marche.
Le nombre de solution est donc bornée par le nombre de façon de choisir 4 nombre parmi 15 (désolé latex ne marche plus hmm) ce qui fait:
(12 * 13 * 14 * 15) / (2 * 3 * 4) = 13 * 7 * 15 = 1365.

Affinons un peu notre raisonnement. Regardons les équations trouvées pour les valeurs k,l,n et o :

Code:

k = -32 + c + g + e
l = -32 + c + a + e
n = -32 + e + a + g
o = -32 + c + a + g

Comme les valeurs de a à o sont les nombres de 2 à 16 on a chacune des 4 valeurs k, l, n et o qui sont supérieur ou égal à 2. Cela nous donne les quatres inégalités suivantes :
34 <= c + g + e
34 <= c + a + e
34 <= e + a + g
34 <= c + a + g

Remarquons également qu'il est impossible de faire de trois façons différentes 30 ou plus en additionnant deux nombres entiers plus petit que 16. On sait donc que a,c,e et g sont aux moins égaux à 4.

Maintenant faisons une étude de cas. Nous avons vu plus haut que l'on pouvait supposer que a < c < e < g.
Nous avons donc : 34 <= c + a + e  < c + a + g < e + a + g < c + g + e

Supposons donc a = 5 : On veut trouver c,e et g de façon à ce que :
29 <= c + e < c + g < e + g.
La seule solution possible est c = 14, e = 15 et g = 16.

On a donc a = 5 ; b = 33 - a - c = 33 - 5 - 14 = 14. On a donc b=c, ce qui n'est pas possible.

Supposons donc a = 6 : On veut trouver c,e et g de façon à ce que :
28 <= c + e < c + g < e + g.

On a deux solutions possibles :
c= 13, e=15, g = 16  ou c = 14, e = 15, g = 16

Avec la première solution on a j = 33 - g - e = 33 - 16 - 15 = 2 et l = - 32 + c + a + e = - 32 + 13 + 6 + 15 = 2 et donc j = l, ce qui est impossible.

Avec la deuxième solution on a i = 33 - g - c = 33 - 16 - 14 = 3 et l = -32 + c + a + e = - 32 + 14 + 6 + 15 = 3 et donc i = l, ce qui est impossible.

Pour résumer ces deux premiers cas, on a a,c,e et g qui sont au moins égal à 7.
Continuons :

Supposons donc a = 7 : On veut trouver c,e et g de façon à ce que :
27 <= c + e < c + g < e + g.

Il y a 5 solutions :

g = 16 , e = 15, c = 12 -> j = l -> pas possible.
g = 16, e = 15, c = 13 -> b = c -> pas possible.
g = 16, e = 15, c = 14 -> h = l -> pas possible.
g = 16, e = 14, c = 13 -> b = c -> pas possible.
g = 15, e = 14, c = 13 -> b = c -> pas possible.


Supposons donc a = 8 : On veut trouver c,e et g de façon à ce que :
26 <= c + e < c + g < e + g.

Il y a 8 solutions :

g = 16, e = 15, c = 11 -> j = l -> pas possible.
g = 16, e = 15, c = 12 -> cool
g = 16, e = 15, c = 13 -> i = l -> pas possible.
g = 16, e = 15, c = 14 -> cool
g = 16, e = 14, c = 12 -> cool
g = 16, e = 14, c = 13 -> j = l -> pas possible.
g = 15, e = 14, c = 12 -> cool
g = 15, e = 14, c = 13 -> i = n -> pas possible.


Ce qui nous fait 4 solutions pour a = 8 (je les résumerai à la fin).

Supposons donc a = 9 : On veut trouver c,e et g de façon à ce que :
25 <= c + e < c + g < e + g.

Il y a 14 solutions :

g = 16, e = 15, c = 10 -> j = l -> pas possible.
g = 16, e = 15, c = 11 -> a = d -> pas possible.
g = 16, e = 15, c = 12 -> b = c -> pas possible.
g = 16, e = 15, c = 13 -> a = d -> pas possible.
g = 16, e = 15, c = 14 -> a = d -> pas possible.
g = 16, e = 14, c = 11 -> f = h -> pas possible.
g = 16, e = 14, c = 12 -> b = c -> pas possible.
g = 16, e = 14, c = 13 -> i = l -> pas possible.
g = 16, e = 13, c = 12 -> b = c -> pas possible.
g = 15, e = 14, c = 11 -> a = f -> pas possible.
g = 15, e = 14, c = 12 -> i = n -> pas possible.
g = 15, e = 14, c = 13 -> j = l -> pas possible.
g = 15, e = 13, c = 12 -> b = c -> pas possible.
g = 14, e = 13, c = 12 -> b = c -> pas possible.

Supposons donc a = 10 : On veut trouver c,e et g de façon à ce que :
24 <= c + e < c + g < e + g.

Il y a 16 solutions :

g = 16, e = 15, c = 11 -> f = h -> pas possible.
g = 16, e = 15, c = 12 -> i = l -> pas possible.
g = 16, e = 15, c = 13 -> a = b -> pas possible.
g = 16, e = 15, c = 14 -> b = n -> pas possible.
g = 16, e = 14, c = 11 -> j = l -> pas possible.
g = 16, e = 14, c = 12 -> f = h -> pas possible.
g = 16, e = 14, c = 13 -> a = b -> pas possible.
g = 16, e = 13, c = 11 -> a = d -> pas possible.
g = 16, e = 13, c = 12 -> a = d -> pas possible.
g = 15, e = 14, c = 11 -> i = n -> pas possible.
g = 15, e = 14, c = 12 -> j = l -> pas possible.
g = 15, e = 14, c = 13 -> i = l -> pas possible.
g = 15, e = 13, c = 11 -> a = d -> pas possible.
g = 15, e = 13, c = 12 -> a = d -> pas possible.
g = 14, e = 13, c = 11 -> a = d -> pas possible.
g = 14, e = 13, c = 12 -> a = d -> pas possible.

Supposons donc a = 11 : On veut trouver c,e et g de façon à ce que :
23 <= c + e < c + g < e + g.

Il y a 10 solutions :

g = 16, e = 15, c = 12 -> h = l -> pas possible.
g = 16, e = 15, c = 13 -> m = n -> pas possible.
g = 16, e = 15, c = 14 -> b = l -> pas possible.
g = 16, e = 14, c = 12 -> i = l -> pas possible.
g = 16, e = 14, c = 13 -> h = l -> pas possible.
g = 16, e = 13, c = 12 -> j = l -> pas possible.
g = 15, e = 14, c = 12 -> f = h -> pas possible.
g = 15, e = 14, c = 13 -> h = l -> pas possible.
g = 15, e = 13, c = 12 -> f = n -> pas possible.
g = 14, e = 13, c = 12 -> i = k -> pas possible.

Supposons donc a = 12 : On veut trouver c,e et g de façon à ce que :
22 <= c + e < c + g < e + g.

Il y a 4 solutions :

g = 16, e = 15, c = 13 -> b = l -> pas possible.
g = 16, e = 15, c = 14 -> cool
g = 16, e = 14, c = 13 -> m = n -> pas possible.
g = 15, e = 14, c = 13 -> d = l -> pas possible.

Supposons donc a = 12 : On veut trouver c,e et g de façon à ce que :
22 <= c + e < c + g < e + g.

Ce qui fait donc 4 solutions pour a=8 et 1 solution pour a = 12 on arrive donc à 5 solutions qui sont (les solutions sont données dans "l'ordre alphabétiques") :
a  b   c   d   e  f  g  h  i  j k  l  m  n  o
8 13 12 10 15 9 16 6 5 2 11 3 14 7 4
8 11 14 10 15 9 16 4 3 2 13 5 12 7 16
8 13 12 11 14 9 16 7 5 3 10 2 15 6 4
8 13 12 11 14 10 15 7 6 4 9 2 16 5 3
12 7 14 6 15 5 16 4 3 2 13 9 8 11 10

Ah, ça y est, 1920 doit être le nombre de solutions total (sans compter les rotations et les symétries) car si on multiplie 5 par le nombre de permutations possibles de a,c,e et g on trouve 5 * 24 = 120 et comme le "1" a 16 position possible au départ, on obtient 120 * 16 = 1920 solutions au total.

Pouf, je n'ai sûrement pas fait au plus simple, mais on est quand même arrivé au bouts smile


Il y a sûrement plus simple.

 #12 - 30-10-2014 01:32:31

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3311

Tesseract magiquue

Excellent cogito !!! big_smile
Tu as un raisonnement similaire à celui de Titou, Titou présente les choses de manière bien deux fois plus courte, tu verras quand les solutions seront visibles smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Si il y a 51 pommes et que vous en prenez 24, combien en avez-vous ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
P2T
Noeud magique par Clydevil
06-09-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
Calcul magique ;D par willi67
03-02-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
L'angle magique par toddsalim
06-06-2008 Enigmes Mathématiques
P2T
Tesseract par dhrm77
12-07-2012 Enigmes Mathématiques
P2T
Cube magique par SaintPierre
15-08-2011 Enigmes Mathématiques
16-09-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Le nombre magique! par thedoums
05-02-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
Calcul magique 2 ;D par willi67
04-02-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Carré magique par olise
12-12-2012 Enigmes Mathématiques
P2T
Carré magique par Antober
27-01-2010 Enigmes Mathématiques

Mots clés des moteurs de recherche

Mot clé (occurences)

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete