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 #1 - 05-02-2011 19:28:50

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Carets 1

Bonsoir à tous smile

J'aime bien les séries (  j'ai encore quelques échecs et gâteaux en réserve mad )

Un curieux problème pour ouvrir une série à base de cartes . On retourne une à une les 32 cartes d'un jeu de belote tout en récitant :  7 , 8 , 9 , 10 , Valet , Dame , Roi , As , 7 , 8 , ... . On s'arrête si l'annonce faite est en coïncidence avec la valeur de la carte retournée .

Quelle est la probabilité de retourner l'ensemble du jeu ?

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

Bonus : Et pour un jeu de 52 cartes ?



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 #2 - 05-02-2011 22:00:40

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Caartes 1

7/8 * (1/7 * 28/31 + 6/7 * 27/31) * (1/7 * 3/27 * 28/30 + 1/7 * 24/31 * 27/30 + ...)

Horrible, non ?

Tu parles de séries, je vais essayer par récursion...

Avec 7,8,9,7,8,9 :
4/6 * (2/5 * ...

Je ne sais pas si je vais avoir le courage ! mad


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #3 - 06-02-2011 12:14:04

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Carte 1

Bon , ce n'est pas un gâteau mais ce n'est pas pour ça que c'est de la tarte smile

On peut ( à la main ) trouver une formule donnant la probabilité de gain et laisser notre machine préférée finir le calcul .

J'ai donné volontairement pas mal de temps pour vous laisser cogiter , alors bon courage smile

Vasimolo

PS : personne n'a trouvé pour le moment tongue

 #4 - 06-02-2011 12:28:20

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

cartrs 1

On suppose les cartes de même hauteur indiscernables.
Il y a [latex]\begin{pmatrix}32\\4\end{pmatrix}[/latex] façons de placer les 4 sept sur 32 places.
Puis [latex]\begin{pmatrix}28\\4\end{pmatrix}[/latex] façons de placer les 4 huit aux 28 places restantes...
Une seule façon que ce soit placé comme demandé, donc :
[TeX]p=\frac{1}{\prod\limits_{k=1}^8\begin{pmatrix}4k\\4\end{pmatrix}}=\fbox{\frac{24^8}{32!}}[/TeX]
jeu de 52 cartes :
[TeX]p=\frac{1}{\prod\limits_{k=1}^{13}\begin{pmatrix}4k\\4\end{pmatrix}}=\fbox{\frac{24^{13}}{52!}}[/TeX]

 #5 - 06-02-2011 14:04:48

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Cartess 1

Plus on avance, plus ca devient de plus en plus compliqué.
La probabilité de s'arreter a la  Neme cartes est de :
N=1: 1/8  = 0.125
N=2: 27/248  = 0.108870968
N=3: 726/7440 = 0.097580645
N=4: ?

On a a peu pres 50% de chance de continuer apres la 5eme carte.
J'estime que les chances de retourner l'ensemble du jeu de 32 cartes sont pres de 1%.

Et je suppose sans faire de calculs que les chances de retourner un jeu de 52 cartes sont egalement proches de 1% (probablement 0.9%)


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #6 - 06-02-2011 15:11:22

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Lieu: UK

Catres 1

Je dis 7 et est 4 chances sur 32 de le retourner
Je dis 8 et est 4 chances sur 31 de le retourner
...
Je dis 7 et est 3 chances sur 24 de le retourner
...
Je dis 7 et est 1 chance  sur 8 de le retourner

ce qui donne [latex]\frac{4!^8}{32!}[/latex] de dire le paquet dans l'ordre ce qui n'a qu'un léger rapport avec la question tongue J'y reviendrai


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 06-02-2011 17:39:09

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

artes 1

Autour de [latex]\frac1e[/latex] !

En fait il suffit de compter, parmi les permutations d'un ensemble à n éléments, le nombre de permutations sans point fixe. Ces permutations sans point fixe sont appelées dérangements.
Si on note [latex]d_n[/latex] le nombre de permutations d'un ensemble de n éléments, la probabilité cherchée est [latex]p=\frac{d_n}{n!}[/latex]
On peut montrer que :
[TeX]p=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}[/TeX]
(en utilisant notamment la formule du crible de Poincaré)

Quand n est assez grand, cette expression tend vers [latex]\frac1e\approx36,7879%[/latex]

EDIT
Effectivement, je suis allé un peu vite, ma démo marcherait s'il n'y avait qu'une seule couleur, ou qu'on comptait les cartes en donnant leur couleur...
Je vais revoir ma copie !

Je pense que la valeur limite quand le nombre de cartes augmente est de [latex]\frac1{e^4}[/latex], mais je n'arrive pas à trouver de formule !
Pour 8 cartes, on trouve une proba de [latex]\frac{576}{8!} \approx 1,429%[/latex], et quand on augmente n ce pourcentage va augmenter jusqu'à la limite de [latex]\frac1{e^4} \approx 1,832%[/latex].

 #8 - 06-02-2011 19:25:37

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
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caryes 1

Au vu des 4 premiers termes, j'aurais envie de tenter (7/8)^32.

 #9 - 06-02-2011 19:44:07

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 479
Lieu: Ardèche

vartes 1

La probabilité de retourner l'ensemble du jeu est la probabilité d'avoir faux à chaque carte,
sauf éventuellement la dernière, qui sera retournée quelle que soit la carte annoncée.

On pourrait changer l'énoncé en disant 7, 7, 7, 7, puis 8, 8, 8, 8, etc..., As, As, As, As, sans rien changer au résultat.

La probabilité de passer le cap des "7" est (28/32)*(27/31)*(26/30)*(25/29) car il reste toujours 4 "7" dans le jeu.
Il existe encore une hauteur de cartes qui est complète, mettons les 4 "8".
La probabilité conditionnelle de passer le cap des "8" est (24/28)*(23/27)*(22/26)*(21/25).
Il reste 24 cartes en jeu, mais pour continuer, il faut désormais faire des hypothèses sur ce qui est sorti
(ou sur ce qui reste en jeu) :

0, 1, 2, 3 ou 4 "9", pondérés par les probabilités correspondantes.
Et continuer ainsi dans chaque branche de l'arbre en construction.

Les calculs deviennent vite inextricables, je ne suis peut-être pas sur la bonne voie.

Je m'arrête là pour le moment.

 #10 - 06-02-2011 20:29:38

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Carte 1

Où en sommes nous ??? Personne n'a trouvé smile

Toni : c'est un peu plus compliqué que ça .
Dan : Bizarement on retourne plus facilement 52 cartes que 32 .
Franck : C'est un début !
Looping : avec 4 couleurs c'est un peu plus délicat !
Nombrilist et Halloduda : smile

Vasimolo

 #11 - 06-02-2011 20:43:24

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Catres 1

La probabilité d'avoir un sept en premier est de 1/8
celle d'avoir un 8 en second : 1/8

....

Donc : (7/8)^31 vu que si la dernière coincide on aura quand même rtourné le paquet.

1,593... %

paquet de 52 : idem avec 12/13^51 = 1,68....  %   ' plus de chances ?!?! j'ai encore du me planter en proba.

 #12 - 07-02-2011 00:18:25

gasole
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Lieu: Toulouse

carted 1

Help ! Dis-moi si avec [latex]\epsilon[/latex] je suis dans les choux ou pas ?
Ça voudrait dire : quasiment sûr de ne pas rater.

Soit le jeu [latex]J1[/latex] rangé dans l'ordre [latex]7*,8*,9*,...,A*, 7*,8*,...,A*,7*,...,A*,7*,...,A*[/latex] où chaque étoile peut être [latex]P,C,K ou T[/latex].
On appellera jeu de type [latex]J1[/latex], tout jeu obtenu à partir de [latex]J1[/latex] en permutant des 7 entre eux, des 8 entre eux, ... ou des As entre eux. 

Et soit le jeu [latex]J2[/latex] complètement mélangé.

[latex]J2[/latex] est une permutation de [latex]J1[/latex], permutation décomposable en orbites, les orbites de longueur 1 étant des points fixes (un point fixe étant ici une carte qui n'aura pas bougé de sa place lors d'un mélange).

La probabilité qu'il y ait [latex]k[/latex] points fixes est donnée par le principe d'inclusion-exclusion de Moivre
et vaut (je fais confiance) appliquée à [latex]k=0[/latex] point fixe et [latex]n=32[/latex] cartes:

[latex]P(N=0) = \frac{1}{k!}\sum_{l=0}^{n}\frac{(-1)^l}{l!}\sim \frac{1}{e}[/latex] (on considère [latex]n=32[/latex] est "grand")

ça c'est la probabilité que [latex]J1[/latex] et [latex]J2[/latex] ne corresponde sur aucune carte.

A suivre j'espère...

 #13 - 07-02-2011 09:41:21

toni77
Passionné de Prise2Tete
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Cartess 1

AH oui je viens de comprendre...
Mon raisonnement fait qu'on s'arrete dès la 1ere carte big_smile

 #14 - 08-02-2011 20:47:20

Vasimolo
Le pâtissier
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Carte s1

Pour rassurer ceux qui rament , j'ai trouvé une formule ( assez monstrueuse )donnant la probabilité mais je ne sais pas la calculer à la main .

Bref c'est pas pour les petits bras lol

Vasimolo

 #15 - 08-02-2011 20:56:41

gwen27
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Cates 1

formule " assez monstrueuse" : ABANDON ! Je passe à autre chose, je hais les formules.

 #16 - 08-02-2011 21:22:11

scarta
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Cartse 1

Bon, on va essayer de procéder dans l'ordre.
Il est évident que l'ordre du jeu lorsqu'on commence à compter détermine la suite du jeu.
Combien de différentes combinaisons a-t'on? 32! si on considère les couleurs, mais là ça n'est pas le cas: on a compté chaque combinaison 4! fois au lieu d'une pour ce qui est des 7, pareil pour les 8, 9, 10...
Au final, on a donc un total de 32! / (4!)^8 combinaisons, soit 2.39x10^24 (ce qui fait beaucoup, environ 4 fois le nombre d'atomes dans une mole...)

Ensuite, si je perds sur un 7 c'est qu'il y en avait un en position 1 et/ou 9 et/ou 17 et/ou 25. Combien de combinaisons pour ça ?
Une combinaison avec un 7 en position 1 peut se décliner en 31!/((3!)(4!)^7) combinaisons après, et pareil pour les autres positions.
On peut d'ailleurs constater que cela représente 1/8eme des combinaisons (sans aucune autre hypothèse, j'ai bien une chance sur 8)

Ensuite, on applique le principe d'inclusion-exclusion pour les quatre 7

* Avoir un 7 en position 1 et un autre en position 9 (ou n'importe quelle autre paire) peut donner lieu à 30!/((2!)(4!)^7) combinaisons

* Avoir un 7 aux positions 1, 9 et 17 (ou n'importe quel autre triplet) peut donner lieu à 29!/(4!^7)

* Avoir les quatre 7 aux mauvais endroit, donne lieu à 28!/(4!^7)


Total: 31!/((3!)(4!)^7) * 4 - 30!/((2!)(4!)^7) * 6 + 29!/(4!^7) * 4 - 28!/(4!^7)


La probabilité de perdre sur un 7 est égale à la division du nombres de "bonnes" combinaisons par le nombre total, soit très exactement 3097/7192 (ou 43.06%)

Bon ensuite, on est un peu malin: les probabilités de perdre sur un 7, un 8, un 9 ou autre sont les mêmes !

On va du coup appliquer à nouveau le principe d'inclusion-exclusion pour les cas où on perd en théorie à cause de plus d'une carte.

Mais là j'ai pas le temps, je finirai plus tard smile

 #17 - 08-02-2011 22:29:52

L00ping007
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Cates 1

Je suis intéressé par ta formule, car franchement je ne vois pas.
J'ai lu un sujet sur un forum qui traitait de ce problème, où ils évoquent une formule faisait intervenir P(E) où E est l'ensemble [1;n].
Bref, j'aimerais bien savoir comment t'as trouvé une formule, ce problème m'arrache les cheveux smile Meme pour 12=3*4 cartes, j'arrive pas à dénombrer les cas smile :lol

 #18 - 10-02-2011 00:33:47

franck9525
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Cartes

Soit p la probabilité de tirer une carte donnée à un rang souhaité. J'ai le feeling que P est constant: Il y a une chance sur huit de tirer un sept à la première carte et il y a aussi une chance sur huit d'avoir un as à la trente deuxième position. Pour un jeu de 32 cartes p=1/8

Soit Px la probabilité de s’arrêter exactement au rang x, ie on ne s’arrête pas avant. P2 est la probabilité d'obtenir un huit à la deuxième carte sans avoir retourner un sept auparavant. P2= (1-p)p
[TeX]P3=(1-P1)(1-P2)P1=p(1-p)(1-P2)=P2(1-P2)[/TeX]
[TeX]P_x=P_{x-1}(1-P_{x-1})[/TeX]
La probabilité de retourner l'ensemble du jeu est donc
[TeX]Proba = \prod_{i=1}^{32}(1-P_i)=\frac{1}{p}P_{33}[/TeX]
J'utilise un tableur et trouve une probabilité de 19.2 % de ne pas s’arrêter en chemin. Une probabilité relativement élevée... mouais... regardons cela d'un peu plus près.

P1 = 12.5% soit un huitième
P2 = 10.9% <1/8 car il y a une chance d'avoir été stoppé au rang 1.
[...]
P32 = 2.5 %

J'attends de voir les critiques et les réponses des autres. tongue


The proof of the pudding is in the eating.

 #19 - 11-02-2011 00:00:23

Vasimolo
Le pâtissier
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Carte 1

Aux dernières nouvelles pas une seule bonne réponse lol

Le principe d'inclusion exclusion est plutôt une bonne idée mais il reste du travail à faire smile

Vasimolo

 #20 - 11-02-2011 09:19:23

gasole
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Crates 1

@vasimolo : dis-moi où je me trompe... tu ne peux pas juste me dire que c'est pas ça smile

 #21 - 11-02-2011 11:26:55

Vasimolo
Le pâtissier
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Cartes 11

@gasole .

Ce n'est pas facile de trouver l'erreur , ce qui est sûr c'est que ton résultat n'est pas juste . Que deviendrait ta formule par exemple pour pour 6 cartes et deux couleurs {1A;2A;3A;1B;2B;3B} ? Normalement la probabilité devrait être d'une chance sur 9 .

Vasimolo

 #22 - 11-02-2011 19:36:38

Nombrilist
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Cartess 1

Après avoir simulé le tirage de façon aléatoire une dizaine de millions de fois (à la main lol), je trouve un résultat d'environ 15 millièmes.

Vasimolo, j'espère que tu n'es pas chargé de pondre les sujets des concours de classes prépas lol !

 #23 - 12-02-2011 01:18:35

dhrm77
L'exilé
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Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Carte 1

Faute de trouver les vraies valeurs, j'ai fait des simulations et voici ce que je trouve:
Pour le jeu a 32 cartes:
0: 12.4989% (une chance sur 8 de s'arreter a la premiere carte)
1: 10.8850%
2: 9.4868% (tiens c'est assez different de mes 9.758% calculé plus haut...)
3: 8.2797%
4: 7.2252%
5: 6.3079%
6: 5.5131%
7: 4.8211%
8: 4.3735%
9: 3.8085%
10: 3.3192%
11: 2.8938%
12: 2.5249%
13: 2.2082%
14: 1.9289%
15: 1.6867%
16: 1.5286%
17: 1.3319%
18: 1.1617%
19: 1.0132%
20: 0.8832%
21: 0.7719%
22: 0.6753%
23: 0.5905%
24: 0.5350%
25: 0.4665%
26: 0.4060%
27: 0.3543%
28: 0.3093%
29: 0.2704%
30: 0.2367%
31: 0.2062%
32: 1.4977% de passer tout le jeu sans s'arreter

Pour un jeu a 52 cartes:
0: 7.7041% (1 chance sur 13 de s'arreter a la 1ere carte)
1: 7.0933%
2: 6.5396%
3: 6.0208%
4: 5.5514%
5: 5.1206%
6: 4.7168%
7: 4.3539%
8: 4.0193%
9: 3.7050%
10: 3.4199%
11: 3.1559%
12: 2.9141%
13: 2.7471%
14: 2.5303%
15: 2.3315%
16: 2.1491%
17: 1.9803%
18: 1.8271%
19: 1.6865%
20: 1.5543%
21: 1.4348%
22: 1.3231%
23: 1.2205%
24: 1.1268%
25: 1.0391%
26: 0.9793%
27: 0.9013%
28: 0.8323%
29: 0.7677%
30: 0.7072%
31: 0.6519%
32: 0.6021%
33: 0.5542%
34: 0.5122%
35: 0.4718%
36: 0.4363%
37: 0.4018%
38: 0.3711%
39: 0.3491%
40: 0.3222%
41: 0.2970%
42: 0.2743%
43: 0.2523%
44: 0.2327%
45: 0.2151%
46: 0.1978%
47: 0.1827%
48: 0.1688%
49: 0.1553%
50: 0.1431%
51: 0.1319%
52: 1.6229% pour passer tout le jeu sans s'arreter.


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 #24 - 12-02-2011 12:55:11

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Carets 1

@Dan

Tes résultas sont très proches des miens smile . Je n'ai pas trouvé d'approche probabiliste cohérente mais il y a une approche combinatoire ou expérimentale .

Vasimolo

 #25 - 12-02-2011 14:21:47

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

Cartees 1

après décantation
pour 4< N < 31

la probabilité au coup n est
Pn =5 (31-N)* (32-N)! / 32!

la probabilité est le produit de toutes les probabilités p1*p2* pn*p32

P1=28/32
P2= 55/(32*31)
P3=81/(30*31*32)
P4=106/(29*30*31*32)

P31=3/ 32!
P 32= 1/32!

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