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 #1 - 25-04-2013 01:24:49

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Jeu de carte

Je vous propose le jeu de cartes suivant, pour 2 joueurs :

On utilise les cartes entre 1 et 10, la valeur en points d'une carte étant le nombre écrit dessus, ainsi que les figures, qui ne rapportent pas de point. Un certain nombre de cartes sont alignées, faces visibles. Chaque joueur va, à son tour, choisir une carte à l'une des extrémités de la ligne, et ainsi de suite jusqu'à ce que toutes les cartes aient été prises. Le vainqueur est le joueur ayant ramassé le plus de points.

Voici un exemple de partie avec 4 cartes disposées ainsi : 5, 2, 1, 4.
Le premier joueur peut prendre le 5 ou le 4. Il prend le 5.
Il reste alors 2, 1, 4.
Le deuxième joueur peut prendre le 2 ou le 4. il prend le 4.
Il reste alors 2, 1.
Le premier joueur ramasse le 2 et le deuxième prend le 1.
Bilan : le premier joueur remporte la partie 7 points à 5.

Sur chacune des configurations suivantes, préféreriez-vous jouer en premier ou en deuxième ? Quelle serait alors votre stratégie ?

Première configuration : 1, 2, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 6, 6, 4, 3, 2, 1

Deuxième configuration : 3, 2, 3, 4, 7, 6, 3, 6, 3, 5, 2, 1, 2

Troisième configuration : 2, 3, 3, 5, 6, 7, 6, 1, 2, 2, 2, 3

Quatrième configuration : 3, 1, 4, 4, 5, 6, 3, 6, 6, 4, 7, 1, 1

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 #2 - 25-04-2013 09:26:59

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Ju de cartes

La première configuration est très simple:

C'est le cas nombre de carte pair, somme des cartes impaires
Il suffit de bien choisir la première carte et on récoltera une carte sur 2 dans l'ordre en prenant toujours du même côté que lui.

Je prends donc le 1 à droite et je ramasserai 2 4 6 8 6 3 soit 30/59 : gagné.

Dans le second cas, je préfère laisser la main car si le second adopte la même stratégie, il emporte 24 points sur 47, quelle que soit la carte tirée par le premier.

Dans le cas 3, avec la somme des cartes paire, cela donne 21/42 en appliquant la première stratégie : égalité, donc je suis certain de ne pas pouvoir gagner en laissant la main. Il reste à savoir si je peux gagner en la gardant, c'est à dire prendre une fois du côté opposé pour une carte précise que l'autre tirerait mais laquelle ?

Je commence par prendre le 3 à droite. Ensuite s'il prend un des 2 des extrémités, je prends l'autre. Il me reste à appliquer la première stratégie pour gagner 22/42

Je suppose que tu as trouvé un quatrième cas qui inverse les rôles. Si je prends une carte, il applique la stratégie du cas 3 et je me fais avoir.... En gros, quoi que joue le premier, le second prend la carte à l'autre bout (soit au minimum 1 point ) En appliquant la stratégie du cas 1 , le second empoche alors 25 points de plus et gagne par 26/51 Evidemment , il vaut mieux laisser la main...

 #3 - 25-04-2013 16:28:22

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Jeu de crtes

Oui, bravo gwen !

 #4 - 25-04-2013 17:59:12

Moriss
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 460

Jeuu de cartes

C'est moi ou on dirait un jeu de Nim, mais avec un nombre de points à gagner différent à chaque coup ? Je vais réfléchir à ton énigme.

 #5 - 25-04-2013 21:07:33

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Jeu de carte

Oui Moriss, ça pourrait éventuellement faire penser à un jeu de Nim, mais en fait c'est beaucoup plus simple. Les stratégies sont assez faciles à trouver une fois qu'on a saisi le truc.

 #6 - 25-04-2013 21:52:25

Moriss
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 460

jeu dr cartes

Je commence à réfléchir sur la 1e configuration :
Total des points : 59, donc pas d'égalité possible.
Nombre de cartes : 14, donc il faut faire au moins 30 avec 7 cartes (4,3 points en moyenne par carte).

Cette configuration met les meilleures cartes au milieu, donc si l'on attaque par un bout, les joueurs seront "attirés" vers le centre et négligeront l'autre bout (il continueront de jouer du même côté). Comme le 1er choisit par quel bout commencer, on peut intuitivement dire qu'il vaut mieux être 1er à jouer sur cette configuration.
Il vaut alors mieux jouer en 1er et commencer par la droite (en prenant une carte sur deux, il totalise 30 points ; l'autre alternance de cartes fait 29). Quel que soit le coup de l'adversaire, il s'arrange pour rester sur l'alternance gagnante.


Ca y est, j'ai compris !
On peut imaginer une règle générale où on compare les alternances de cartes : il y en a forcément une qui assure au moins l'ex-aequo.
Si cette alternance gagnante est immédiatement accessible, alors il vaut mieux jouer en premier, sinon mieux vaut être second !

Si le nombre de cartes est pair, les 2 alternances sont forcément accessibles et il vaut donc toujours mieux jouer en premier.
Si le nombre de cartes est impair, le choix dépend de l'accessibilité immédiate ou non de l'alternance gagnante.

Je vais essayer d'appliquer ces règles sur les autres configurations.

 #7 - 25-04-2013 22:24:53

Moriss
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 460

Jeu de carte

Deuxième config : 13 cartes pour 47 points.
Alternance "externe" : 23 points.
Alternance "interne" (non accessible dès le 1er coup) : 24 points.
Il vaut donc mieux jouer en 2e : en jouant, le 1er rend accessible l'alternance "interne" que le second s'empresse de prendre...

Troisième config : 12 cartes, on sait déjà qu'il faut être le premier à jouer.
42 points au total, aïe il risque d'y avoir un ex-aequo !
Alternance de "droite" (commençant par la droite, rien de politique là-dedans big_smile) : 21 points.
Alternance de "gauche" : 21 points.
Si l'on veut éviter l'ex-aequo, il faut peut-être changer d'alternance ! Mais l'adversaire nous en empêchera...
Je dois y réfléchir...
OK j'ai compris, quel que soit le coup de l'adversaire, on a un nombre pair de cartes face à soi et donc toujours le choix de la bonne alternance. Il faut donc être premier à jouer !

Quatrième config : 13 cartes pour 51 points.
Alternance "externe" : 29 points.
Alternance "interne" : 22 points.
Il semble plus intéressant d'être le joueur 1. Malheureusement, le joueur 2 va aussi pouvoir prendre une carte de l'alternance externe et obliger alors le joueur 1 à continuer sur l'alternance perdante.
Donc il vaut mieux jouer en second !

 #8 - 25-04-2013 22:29:39

Moriss
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 460

Jeu d cartes

Au vu de mes tâtonnements, je m'aperçois que je peux simplifier la règle :

Si le nombre de cartes est pair, il vaut mieux jouer en 1er.
Si ce nombre est impair, il vaut mieux jouer en 2e.

Ce qui peut être encore plus résumé :

Il faut toujours s'arranger pour qu'il y ait un nombre pair de cartes devant soi lorsque c'est à son tour de jouer.

smile

 #9 - 25-04-2013 22:31:24

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

jeu se cartes

Moriss il connait l'édition ? lol

Bon  en passant, je recommande cette énigme. Je suis parti bille en tête avec un tableur, et devant le travail à fournir, je me suis dit qu'il fallait mieux réfléchir un peu.  Le truc de une carte sur deux quand le nombre est impair pour déterminer qui a une stratégie gagnante est tout à fait génial quand on le trouve  .

Bravo et merci pour cette belle énigme !

 #10 - 26-04-2013 00:08:13

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

jeu dr cartes

@Moriss : Bravo, tu as trouvé les stratégies gagnantes pour les configs 1, 2 et 4. Pour la 3, tu as raison tu ne peux pas perdre ainsi, mais peux-tu gagner ?
Quant à ta généralisation, elle est mise en défaut sur des configs assez simples...

 #11 - 26-04-2013 00:24:27

Moriss
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 460

Jeu de cates

La seule exception que je vois pour l'instant serait une situation où une des cartes à l'extrémité vaudrait beaucoup de points alors que les autres cartes sont faibles. Dans ce cas, même s'il y a un nombre impair de cartes, il vaut mieux commencer.

Pour la 3e config, je me disais quand même qu'il vaut mieux commencer, car seul celui qui joue avec un nombre pair de cartes a la possibilité de changer d'alternance s'il le souhaite (pour éviter un ex-aequo). A suivre.

[Suite] Je joue en 1er en prenant le "3" de droite.
L'adversaire prend n'importe lequel des "2" des extrémités, je prend le "2" de l'autre extrémité (ce qui me fait changer d'alternance).
Ensuite, quels que soient les coups de l'adversaire, je reste dans la même alternance et je prend ainsi 3, 6, 6, 2.
Mon score : 3+2+3+6+6+2=22 j'ai gagné !

Il fallait donc bien jouer en premier. smile

Je planche sur une généralisation...

 #12 - 26-04-2013 21:26:48

moicestmoi
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1617
Lieu: Avec vous :-)

jey de cartes

Une épreuve de calcul que je trouve simple ! il y a anguille sous roche et je dois certainement me tromper quelque part.

j'ai pris chacune de tes suites que j'ai triées par ordre croissant puis j'ai fait la somme d'un chiffre sur deux.
A chaque fois, la meilleure des sommes est pour le joueur qui commence le premier.

Config 01 : 31 (vs 28) avec 8+6+6+4+4+2+1
Config 02 : 26 (vs 21) avec 7+6+4+3+3+2+1
Config 03 : 23 (vs 19) avec 7+6+3+3+2+2
Config 04 : 27 (vs 24) avec 7+6+5+4+3+1+1

Alors, elle est où mon erreur tongue


L'angle droit bout à 90 degrés.

 #13 - 26-04-2013 21:33:35

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

jeu dz cartes

@mocestmoi : un joueur ne peut pas prendre n'importe quelle carte. Il ne peut prendre qu'une carte située à une extrémité de la ligne. Regarde l'exemple de partie.

 #14 - 26-04-2013 21:48:49

moicestmoi
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1617
Lieu: Avec vous :-)

Jeu de crates

Ah lollollol je me disais bien aussi que je me trompais big_smilebig_smilebig_smile

Là, bien entendu, je vais attendre la solution pour comprendre comment faire toutes les probas


L'angle droit bout à 90 degrés.

 #15 - 26-04-2013 22:56:58

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Jeu de cates

Oui Morris, bravo !

 #16 - 28-04-2013 09:49:43

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1203

heu de cartes

Dans le cas d'un nombre pair de cartes,le joueur qui commence peut choisir les cartes de rang pair ou impair donc choix simple.

Dans le cas d'un nombre impair de cartes:
En jouant en second on se retrouve dans le cas précédent mais
  S(impairs) - S (pairs) = x
Il faut que |x| soit de valeur supérieure à la carte tirée par le premier joueur.
Car on tire une carte de moins.
Donc le choix de jouer en premier ou en second dépend du résultat de ce calcul.

Qu'en pensez-vous?

 #17 - 28-04-2013 10:47:42

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

jeu de carteq

Oui , on peut aussi formaliser de la façon suivante : K=S(impairs)-S(pairs) , A la valeur de la première carte et Z la valeur de la dernière .

Si les cartes sont en nombre pair on prend les cartes de rang impair si K>0, et les cartes de rangs pair si K<0 .
Si les cartes sont en nombre impair on prend la carte A ou Z correspondant à M=max {a-|K-a|,z-|K-z|} si M est positif sinon on laisse commencer le deuxième joueur .

Vasimolo

 #18 - 28-04-2013 14:34:58

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Jeu de cares

Ok pour le cas pair.

Pour le cas impair, ce n'est pas aussi simple que ça.
Regardez les explications de gwen et Moriss : le 2ème joueur pourrait faire mieux que |K-A| si on prend la carte A par exemple.

 #19 - 28-04-2013 16:41:23

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1203

Jeeu de cartes

Une stratégie supplémentaire est possible pour le premier joueur dans le cas de cartes en nombre pair,c'est de changer de parité comme le démontre gwenn27
Si S(pairs)=S(impairs) ET  première carte différente de la dernière
Je prends la plus grosse et je change de parité.
cas 3:    2 3 3 5 6 7 6 1 2 2 2 3

S(pairs)=21
S(impairs)=21

je prends 3 de la série paire mon "adversaire" prend une impaire et je prends l'autre impaire et je reste dans les impaires
Bilan 22 vs 20

pour les cartes impaires la solution de Vasimolo me parait correcte et je ne vois pas mieux.

 #20 - 28-04-2013 17:14:31

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
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jeu de cartzs

Non, ce n'est pas correct.

Comme tu viens de le souligner toi même, dans le cas pair, le 1er joueur peut aisément marquer |K| points de plus que le 2ème. Mais il peut peut-être faire mieux. Du coup, votre raisonnement pour le cas impair tombe à l'eau.

 #21 - 28-04-2013 17:25:30

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
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JJeu de cartes

Désolé je sèche
peux-tu donner un cas?

 #22 - 28-04-2013 17:28:49

gwen27
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Jeu de caartes

C'est un peu plus compliqué que ça :

1 3 2 5 6 7 6 1 2 2 2 3 1

Avec ces stratégies, on garde la main OK, mais si on prend le 1 de droite, on perd.

 #23 - 28-04-2013 17:38:17

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
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jeu de cartzs

Là je laisse la main et je prends les paires soit 21 contre 20

 #24 - 28-04-2013 18:09:30

gwen27
Elite de Prise2Tete
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JJeu de cartes

Oups, une faute de calcul :
1 3 3 5 6 7 6 1 2 1 2 3 1

La valeur des cartes impaires est 21 , celle des paires 20  et pourtant, si tu prends le 1 de droite, tu perds... car on retrouve le cas 3 qui me permet de gagner de 2 points sur le total pair qui reste.

Je prends le 3 et on se partage les 2 extrémités suivantes (2 pour toi, 1 pour moi.)

Reste MON cycle donc 1 1 7 5 3 pour toi : tu as 20 et je finis à 21.

Donc oui, il faut garder la main mais la valeur absolue de la différence ne suffit pas à choisir le bon 1 au départ (celui de gauche)

 #25 - 28-04-2013 18:17:17

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
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jeu de xartes

En cas de cartes en nombre impair.

Soit A la première carte et Z la dernière.

Dans la série SANS A  si  S(pairs)-S(impairs)=x  et |x| plus grand que A

alors je ne prends pas A.

si |x| plus petit que A  alors  je prends A

Idem pour Z


si je ne prends ni A ni Z je choisis la parité.

J'ai la vague impression d'être abscon!

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