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 #1 - 21-03-2010 10:10:45

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

Carte et symboles

Je viens d'acquérir un petit jeu de cartes qui a cette particularité :

Chaque carte a 8 symboles différents.

Entre 2 cartes prises au hasard, il y a toujours un et un seul symbole en commun.

Le jeu comprend 55 cartes, combien faut-il au minimum de symboles différents pour pouvoir composer ce jeu ?

Peut-on trouver une formule plus générale, si on a n cartes comportant chacune m symboles différents, quel est le nombre minimum x de symboles qu'il faut en fonction de m et n ?

Un petit exemple si ce n'est pas clair :

Avec 4 cartes et 3 symboles par carte il faut 6 symboles différents pour composer le jeu :

1ere carte   : A B C
2ème carte : A D E
3ème carte : B D F
4ème carte : C E F

Je n'ai pas encore la réponse à ces questions (si ce n'est que je sais de combien de symboles différents est composé mon jeu), mais je compte sur votre perspicacité.



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 #2 - 24-03-2010 17:35:46

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3791
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Cartes e symboles

Bonjour Schaff,
Si je n'ai pas commis d'erreur, si ton jeu de cartes contient M symboles différents sur chaque carte, alors l'optimum se situe avec un jeu de M x (M-1) +1 cartes et un total de M x (M-1) +1 symboles différents.
Dans ton cas, M=8 et l'optimum se situe avec 57 cartes et 57 symboles différents.

Conclusion : cherche bien, il te manque deux cartes !!!
Klim.

PS. Par optimum, on entend qu'il n'est pas possible d'avoir une carte en plus, même si l'on rajoute plein de symboles différents. En revanche, on peut avoir des cartes en moins et des symboles en moins, par exemple seulement 8 cartes avec seulement 36 symboles.
Ainsi, dans ton exemple à 3 symboles par carte, M=3 et l'optimum est à 7 cartes (en utilisant 7 symboles). Tu ne pourras pas mettre de 8ème carte, même en ajoutant d'autres symboles...


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #3 - 26-03-2010 01:40:00

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Cartes et symbole

Soit un jeu de n cartes où chacune possède m symboles.

Nous nous plaçons d’abord dans le cas où il y a m+1 cartes avec le même symbole (S1). Les autres symboles de ces m+1 cartes sont tous différents.
Supposons qu’il existe une carte qui ne contient pas S1, elle doit alors posséder un symbole de chacune des m+1 cartes, donc elle doit avoir m+1 symboles.
C’est impossible, donc si il y a m+1 cartes avec S1, toutes les cartes possèdent S1 et donc tous les autres symboles sont différents. On a donc en tout x = 1 + (m-1) * n symboles.

Pour notre cas de 55 cartes à 8 symboles, il faudrait donc avoir x = 386 symboles différents !

Nous nous plaçons maintenant dans le cas où il n’y a au maximum m cartes qui contiennent le même symbole.
Nous pouvons construire un jeu avec m carte qui contiennent S1. Ces m cartes nécessitent 1 + (m-1)*m symboles différents.
Nous construisons ensuite la suite de ce jeu, sans ajouter de nouveaux symboles, en prenant comme premier symbole des m-1 cartes suivantes un des symboles de la première carte (S2) puis en plaçant une permutation de la matrice (m-1) x (m-1) des symboles des cartes 2 à m (sans le premier S1).
On recommence l’opération avec les m-1 symboles de la première carte, ce qui nous fait en tout 1 + (m-1)*m cartes, soit autant que de symboles (ce qui est logique puisque chaque symbole se trouve sur m cartes et que chaque carte contient m symboles).

Donc le nombre maximal de cartes possible est N = 1 + (m-1)*m. C’est le jeu optimisé à m symboles par carte, qui possède x = N = 1+ (m-1) * m symboles différents.

Pour m=8, ce nombre maximal est donc N = 57.

Le jeu de carte de scaff60 ne possédant que n=55 cartes, c’est donc possible que ce soit un jeu de 57 auquel on a retiré 2 cartes, ce qui fait que 15 symboles n’apparaissent que 7 fois et 1 seulement 6 fois (celui en commun des 2 cartes retirées), et tous les autres 8 fois.

Montrons maintenant que l’on ne peut pas avoir de solution avec moins de 57 symboles pour un jeu de 55 cartes.
On va en fait montrer, d’une manière générale, que si le jeu possède plus de cartes que N – m, alors N symboles sont nécessaires

Soit donc un jeu de n cartes où : N – m = m²-2m+1 < n < N

Supposons (Hyp1) que le nombre de symboles est x < N = 1 + (m-1)*m

Supposons (Hyp 2) que chaque symbole n’apparaisse que sur m-1 cartes au maximum, on aurait au maximum x * (m-1) symboles sur l’ensemble des cartes, c’est à dire au maximum x * (m-1)/m cartes, soit n <= x *(m-1)/m < (1 + (m-1) *m) * (m-1)/m = 1 – 1/m + (m-1)²
Donc, n < m² - 2m + 1,  c’est impossible, donc (Hyp2) est fausse : donc au moins un symbole (S1) apparaît m fois.

Sur ces m cartes où S1 apparaît, il y a 1 + m*(m-1) symboles différents, ce qui contredit (Hyp1), donc le nombre de symboles différents est >= N, donc au minimum x=N.

Pour un jeu qui possède N – m cartes, ou moins, on peut retirer m cartes du jeu optimisé avec le même symbole et donc x = N-1 symboles différents sont suffisants.
Si le jeu possède N – m – (m-1) ou moins, on peut retirer du jeu précédent m-1 cartes avec le même symbole (la dernière carte portant ce symbole ayant été enlevée précédemment).
Etc… (jusqu’à N – m – (m-1) - … -1)

Pour n<=m+1, le nombre de symboles nécessaires est la partie supérieure droite de la matrice suivante (exemple avec n=8), dont le dénombrement est aisé.

S01 S02 S03 S04 S05 S06 S07 S08
S01 S09 S10 S11 S12 S13 S14 S15
S02 S09 S16 S17 S18 S19 S20 S21
S03 S10 S16 etc…

S08 S15 S21 S26 S30 S33 S35 S36

Pour m+1 < n <= (m²-3m)/2+1… j’ai pas encore trouvé de formule !

En conclusion :
pour m et n donnés, on a les valeurs de x suivantes :
Si m²-m+1 < n, alors x = 1+(m-1)*n
Si m²-m+1-(i+1)m+i(i+1)/2 < n <= m²-m+1 -im+(i-1)i/2 , alors x = m²-m+1-i, pour 0<= i <= m-1
Si n<=m+1, x=n*m – (n-1)n/2

 #4 - 26-03-2010 19:14:38

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

cartes et symnoles

Le jeu en question est 'Dobble', intéressant petit jeu rapide.

Il comporte effectivement 57 symboles différents, bravo à Klimrod et Dylasse pour leur réponse.

Je n'avais pas la réponse à une généralisation du problème, mais la démonstration de Dylasse me semble tout à fait cohérente, ce qui signifie aussi qu'il ne semble pas y avoir de réponse 'simple' à ce problème.


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #5 - 27-03-2010 10:20:09

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3791
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Cares et symboles

Bravo à Dylasse pour sa magistrale démonstration.
Effectivement, au bout de quelques heures de concentration sur ce problème, j'étais arrivé à la même conclusion, mais Dylasse a surmonté la difficulté consistant à formuler la démonstration.
Encore bravo !
Cela dit, j'ai un très gros doute sur l'exactitude de nos deux réponses. J'ai l'impression que notre raisonnement est vrai quand M-1 est un nombre premier (M = nombre de symboles par carte). C'est le cas de nos deux exemples M=3 et M=8 (donc M-1=2 et M-1=7 qui sont tous les deux premiers). Je ne suis pas sûr que le raisonnement soit correct si M-1 n'est pas premier, par exemple avec M=5.
Qu'en pensez-vous ?

A+,
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #6 - 25-10-2010 18:47:35

ginettedez
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

Catres et symboles

Bonjour j'aurais besoin d'aide, ayant aucune logique, pour un petit projet.

J'aurais besoin de faire des cartes (environ une Quinzaine) sur lesquels se trouvent à chaque fois un motif en fond, une écriture et un dessin. Et sur le même principe du dobble à chaque fois que l'on pioche deux cartes au hasard il y a un seul de ses éléments en commun (deux fois le même fond ou deux fois le même dessin...)

Est-ce réalisable et si oui combien d'éléments je devrais avoir par catégorie ?
Merci bcppppp !
Bonne soirée .

 #7 - 05-10-2011 15:46:43

wonderf
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

cartes et symbolzs

Bonjour à tous,

bravo à dylasse pour la démo,
j'ai moi aussi été très intrigué par Dobble, et j'avais pris la question par l'autre bout (avant de tomber sur ces échanges) : comment fabriquer un jeu de cartes "optimal" possédant chacune m symboles : combien de cartes , combien de symboles ?

J'étais arrivé empiriquement à un nombre de cartes égal au nombre de symbôles n=m(m-1)+1, en construisant des combinaisons pour m=1,2,3,4,5,6 symbôles; par contre je n'arrive pas à "construire" le jeu pour n>7 de manière systématique...

En reprenant la construction proposée par Dylasse :
Nous construisons ensuite la suite de ce jeu en prenant comme premier symbole des m-1 cartes suivantes un des symboles de lapremière carte (S2) puis en plaçant une permutation de la matrice (m-1) x (m-1) des symboles des cartes 2 à m (sans le premier S1).
Toutes les permutations ne sont pas forcément valables ? De plus, à partir du rang suivant (cartes contenant S3), comment choisir les permutations pour être sûr de ne pas avoir 2 symbôles en communs avec l'une des cartes commençant par S2 ? idem pour les rangs suivants ? y a-t-il règle pour la construction à coup sûr ?


Deux autres remarques :
- pourquoi Dobble a-t-il seulement 55 cartes, et pas 57 comme dans la formules ?
- c'est un des rares jeux de cartes qui permette de continuer à jouer (quasiment) sans biais même si on perd quelques cartes (et vous savez comment les cartes, données à des enfants, ont tendance à s'enfuire sous les meubles/tapis/....)

A vous lire,

Raf

 #8 - 13-12-2012 22:24:06

Pompom2309
Visiteur

Cartes et symboes

Coucou, en effet je me posait la question, et je tombais bien sur 57 (même système de formule que cite précédemment). Le jeu ne contenant que 55 cartes, je me suis aussi demande si il était possible de construire les 2 dernières restantes.

La réponse est oui et il Y a une seule solution possible:

-1ere carte
Coccinelle
Exclamation
Oeuil
Ampoule
Tete de mort
Bonhomme de Neige
STOP
Chien

-2eme carte
interrogation
Bonhomme de Neige
Fleur
Bonhomme
cactus
glacon
erable
Dinosaure.

Sympas de savoir que je suis pas le seul a se poser ce genre de questions ;-P

 

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