Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 31-08-2011 15:24:40

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

un coup dz chapeau !

Papy Georges apprend comment cueillir des champignons à son petit-fils Matthieu. Au fur et à mesure des jours, leur technique s'affine et ils récoltent chacun un champignon de plus par jour en commençant par un champignon le premier jour. Mais Matthieu n'a pas le courage de son papy et arrêtera la récolte une semaine avant lui. Fier de son travail malgré tout, Matthieu s'exclame : "on a de quoi se faire une grosse omelette! Ensemble, on a récolté 836 champignons !". Et Papy Georges de répondre "ah non, tu as fait une erreur dans ton comptage ! Mais il n'y a pas de problème pour l'omelette !"
Comment Papy Georges a-t-il pu se rendre compte de l'erreur de son petit-fils aussi vite, alors qu'il n'avait pas encore pris le temps de compter les champignons ? Combien de champignons ont-ils ramassé si Papy Georges a récolté pendant 16 jours ?

(les deux questions sont indépendantes)



Annonces sponsorisées :

C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 31-08-2011 16:56:57

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

un coup de chapezu !

Bonjour,

Soit n le nombre de jours de récolte de Papy Georges.
Le nombre de jours de récolte de son petit-fils Matthieu est n-7.
Papy Georges aura récolté n(n+1)/2 champignons et Matthieu (n-7)(n-6)/2.
Ensemble, ils auront récolté n(n+1)/2 + (n-7)(n-6)/2 = n²-6n+21 champignons.

Question 1
n²-6n+21=836 donne n²-6n-815=0
Le discriminant 36+4.815=3296 n'est pas un carré parfait.
Donc Matthieu s'est trompé. Mais Papy Georges calcule vite.

Question 2
Si n=16, alors n²-6n+21 vaut 181

Bonne journée.
Frank

 #3 - 31-08-2011 17:19:11

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Un coup de cchapeau !

Une petite mise en bouche, bravo Franky.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #4 - 31-08-2011 17:44:04

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Un coup dde chapeau !

Mathieu a cueilli des champignons pendant N jours, et son papy pendant N+7 jours.

Ils ont donc cueilli à eux deux :
[TeX]\sum_{i=1}^N i + \sum_{i=1}^{N+7} i = \frac{N(N+1)+(N+7)(N+8)}{2} = N^2+8N+28[/TeX]
Avec N=9, ça donne 181 champignons. Voici pour la deuxième question. Je ne vois pas trop pour la première...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #5 - 31-08-2011 23:15:21

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Un coup d echapeau !

Je croix que Papy George a regardé le nombre modulo 3, ce qui donne 2 modulo 3, et ça c'est impossible. Mais il a surement fait une étude préalable smile

Tout d'abord calculons combien de champignons sont récolté si Matthieu a récolté n jours: 2*n(n+1)/2 + 7(2n+8)/2 = n(n+1) + 7(n+4) = n²+8n+28
= n² - n + 1 modulo 3 = n(n-1) + 1 modulo 3
0*(0-1)+1 = 1
1*0+1 = 1
2*1+1 = 0
2 est donc impossible

Après 16 jours de récolte ils ont rassemblé 9(9+8)+28 = 181 champignons

 #6 - 01-09-2011 00:20:50

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

Un coup de chaepau !

Pour la première question, la somme des champignons sera impair.

Pour la deuxième, papy a ramassé 16 jours de champignon et mathieu 9 jours.
donc ça fait (16+1)*16/2 + (1+9)*9/2 = 181 champignons !

 #7 - 01-09-2011 10:23:47

SIM_bn
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 17

Un coup de chaapeau !

mathieu a donc recolter des champignons pendant n jours
georges a récolté des champignons pendant n+7 jours

comme ils récoltent chaque jour un champignon de plus que la veille , le décompte total par personne vaut la somme des n

à eux deux , ils ont donc ramassé somme de 1 à n + somme de 1 à n+7

soit 2 fois la somme de 1 à n + la somme de N+1 à N+7

soit le nombre total de champignon ramassé (X) donne une racine entiere positive à l'équation X = n*(n+1) + 7*n + 28

papy georges a donc su dire que son petit fils mathieu a fait une erreur de calcul car X=836 ne donne pas un n entier !



si papy george a ramassé pendant 16 jours , N+7 = 16 , donc mathieu a ramassé pendant N = 9 jours

d'ou en remplacant dans l'équation trouvée au point précédent :
9*10 + 7*9 + 28 = 181 champignons au total

 #8 - 01-09-2011 14:47:32

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

Un coup de chapea !

Chalut à tous,

Georges ramasse 1 champignon de plus par jour,
soit g(j)=g(j-1)+1, et g(1)=1.
Idem pour Matthieu : soit m(j)=m(j-1)+1, et m(1)=1
Le jour j, ils ont la même récolte, donc g(j)=m(j).

À partir d'une semaine de récolte, leur récolte totale est :
S(j) =g(j)+m(j-7), avec n>7

g est une suite arithmétique, de raison 1, de somme j(j+1)/2.
Idem pour m.  Donc S(j)=j(j+1)/2+(j-7)(j-6)/2=j²-6j+21

M a compté 836 champignons, donc on aurait j²-6j+21=836
or delta =36+4*1*815 =3296
57²<3296<58², 3296 n'est pas un carré parfait,
donc j ne sera pas un entier parfait, c'est impossible,
M s'est trompé (il a dû goûter des champis vénéneux en route),
et entre guillemets, G calcule drôlement vite  :^)

b/
Si Georges a récolté pdt 16j, alors j=16,
et S(16) =16²-6*16+21 =256-96+21 =181.  Une belle poêlée quand même!

Par principe, une tite vérif dans Excel :
S(8)=37  S(9)=48  S(10)=61  S(11)=76  S(12)=93  S(13)=112 
S(14)=133  S(15)=156  S(16)=181  S(17)=208  S(18)=237 
S(19)=268  S(20)=301  S(21)=336  S(22)=373  S(23)=412 
S(24)=453  S(25)=496  S(26)=541  S(27)=588  S(28)=637 
S(29)=688  S(30)=741  S(31)=796  S(32)=853  S(33)=912

Merci ô St-Pierre ^!^

 #9 - 01-09-2011 14:50:00

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Un coup de chapeau

Pas d'hallucination, vous avez trouvé la bonne réponse ! wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #10 - 01-09-2011 18:04:43

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

un coup de vhapeau !

Ah oui !! Les champignons étaient halucinogènes !! big_smile
C'est toujours mieux que des champignons vénéneux.

 #11 - 02-09-2011 16:14:00

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Un cop de chapeau !

Voyons d'abord comment Papy Georges a pu se rendre compte de l'erreur de son petit-fils.
- M. récolte 1 champignon le premier jour, 2 le deuxième, 3 le troisième, etc. On a donc une suite arithmétique des N premiers entiers consécutifs. Soit N le nombre de jours que M. a travaillé. Le nombre de champis qu'il a récoltés s'obtient en faisant (1+N)*N/2.
- Papy Georges a travaillé 7 jours de plus que Matthieu. On a donc un nombre de champignons récoltés qui vaut : (1+(N+7))*(N+7)/2
En additionnant ces deux expressions, on a la formule du nombre de champis récoltés par le duo. Après simplification, cette formule s'écrit sous la forme
nombre de champignons = N²+8N+28
Étant donné qu'ils ont travaillé un nombre entier de jours, il faut que la solution de l'équation ci-dessus avec le nombre de champis égal à 836 soit un nombre entier. Or ce n'est pas le cas! Par conséquent Matthieu a fait une erreur de comptage.

Si Papy a travaillé 16 jours, Matthieu a travaillé 9 jours. Il suffit de remplacer N par 9 dans la formule et on trouve que le nombre de champignons est 181.

wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #12 - 02-09-2011 17:08:56

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

in coup de chapeau !

Étant donné qu'ils ont travaillé un nombre entier de jours, il faut que la solution de l'équation ci-dessus avec le nombre de champis égal à 836 soit un nombre entier. Or ce n'est pas le cas! Par conséquent Matthieu a fait une erreur de comptage.

Je peux me tromper, mais je crois que 836 est un nombre entier smile

 #13 - 02-09-2011 17:17:49

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

un coup dr chapeau !

Relis bien la phrase, godisdead. wink
C'est de la solution de l'équation dont il est question...


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #14 - 02-09-2011 17:20:40

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Un coup de chapau !

Il faut que la solution de N²+8N+28=836 soit un nombre entier... Si on commence à confondre "second membre d'une équation" et "solution d'une équation", on ne va pas aller bien loin lol

Je suis néanmoins légèrement déçu de cette solution, qui implique que notre papy cueilleur de champignons est également capable, soit de dresser mentalement la table des valeurs d'un polynôme du second degré appliqué aux entiers naturels successifs, soit (encore mieux) de résoudre de tête une équation du second degré. Rien que le calcul du discriminant impliquerait entre autres, en imaginant qu'il connaisse déjà ce satané polynôme, le calcul de la racine carrée d'un nombre à trois chiffres, ou tout du moins la vérification que ce nombre (8^2+4*808, rien que ça) n'est pas un carré d'entier. Balaise, le sucreur de fraises !


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #15 - 02-09-2011 17:25:05

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Un coup de chhapeau !

Il y a des papys (*) sur le site qui feraient cela au p'tit dej en beurrant leurs biscottes.

(*) ce n'est pas une question d'age mais de reproduction.


The proof of the pudding is in the eating.

 #16 - 02-09-2011 17:33:55

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

un ciup de chapeau !

Mouais... L'énoncé nous laisse imaginer que le papy a quand même la réponse très rapide, et s'il a déjà fait au moins le calcul de la fonction (à mon avis une condition sine qua non pour pouvoir valider ou invalider le résultat du comptage de son petit-fils en moins de dix secondes, à moins que ce ne soit ce qu'on appelle communément "un p**ain d'autiste" lol), c'est qu'il est vachement plus tordu que l'immense majorité des papys foulant actuellement la surface de la Terre.

Ce que j'entends par cette "déception", c'est que je m'attendais à une astuce de calcul, une factorisation magique du polynôme qui donne une condition simple à vérifier de tête, un modulo quelque-chose indépendant de N, je sais pas... Je suis sûr qu'on aurait pu trouver ce genre d'astuces avec un autre décalage de jours entre Papy Werthers et Bob La Fouine.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #17 - 02-09-2011 17:34:01

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

Un coup de chapeau

He on remarquera que les facultés de comptage du papy ne sont pas héréditaires sur 2 générations,   836 non petite erreur 181... tongue

(Rq Avec N=25 ca donne 853 le plus proche)

Au bilan le plus étonnant c'est surtout qu'ils soient parfaitement au courant d'avoir un champignon de plus par jour qu'avant, ce qu'il sait forcement puisque d'après la solution il calcule des polynômes.
Enfin il y a un peu plus simple, c'est qu'entre le 10eme jour et le 16eme papy ajoute un nombre impair de champignons. (car il y a 11,13,15)
Hors comme avant le 10eme jour ils ont fait autant chacun, ca ne peut pas au total donner un nombre pair tongue

 #18 - 02-09-2011 17:34:56

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

un coup de chapzau !

Tu supposes la non-indépendance des deux questions, là, non ? tongue


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #19 - 02-09-2011 17:37:05

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3767
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Un coup de cahpeau !

La solution de w9Lyl6n est une bonne idée :
w9Lyl6n a montré que le nombre total de champignons ne peut pas être congru à 2 modulo 3, mais il a quand même posé l'équation du second degré....
Peut-on faire sans cette équation ?


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #20 - 02-09-2011 17:39:16

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 808
Lieu: Seahaven island

Un coup de chapeau

C'est plus une forme d'humour que la revendication d'une solution tongue
En fait il ne faudrait pas donner toute la seconde partie mais uniquement la premier partie, comme a priori une erreur c'est plus subtil que (181 -> 836) il faudrait supposer que ce n'est pas loin et comme papy sait combien de jours dure la cueillette commune et peut faire le raisonnement par parité vu ci dessus ca peut confirmer que le plus proche avec N=25 convient.   

J'ai oublié de vous dire que l'ainée est blonde...

 #21 - 02-09-2011 17:42:23

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Un cou de chapeau !

J'ai prouvé que le reste par la division par 3 du nombre de champignons récolté vaut successivement 1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,... avec les n croissants.

La preuve demande juste la connaissance du modulo et ne demande aucun calcul lourd, et pour calculer le reste par 3 il suffit de faire la somme des chiffres, ça se fait très bien de tête :
8 + 3 + 6 = 17
1 + 7 = 8 = 3*2 + 2 -> le reste de 836 par 3 est 2

C'est plus simple a faire de tête, il me semble, que le calcul d'un discriminant et ensuite la vérification que ce discriminant est un carré parfait big_smile

 #22 - 02-09-2011 17:42:34

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Unn coup de chapeau !

En bidouillant, oui.

Je garde N comme nombre de jours de cueillette commune (le papy continue sur les jours (N+1) à (N+7), donc).

On peut facilement vérifier au cas par cas : si N est multiple de 3, le nombre de champis cueillis les N premiers jours par les deux zigotos est multiple de 3, et le nombre de champis cueillis par le papy est congru à 1 modulo 3 (car constitués de nombres de la forme 3k+1, 3k+2,...,3k+7).

Si N est congru à 1 modulo 3, le nombre de champis des N premiers jours est congru à 2 modulo 3, et le nombre de champis cueillis en solo par le papy sur les sept jours suivants est congru à 2 modulo 3 pour le même genre de raisons.

Si N est congru à 2 modulo 3, le nombre de champis des N premiers jours est multiple de 3 et le papy cueillera, en plus, un nombre de champis multiple de 3.

J'obtiens au final que le nombre total de champignons ainsi cueillis n'est jamais congru à 2 modulo 3, et ce sans avoir sorti mes formules de somme et mes études de polynômes.

C'est quand même super vicelard lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #23 - 02-09-2011 17:49:17

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

Un coup d echapeau !

MthS-MlndN a écrit:

Il faut que la solution de N²+8N+28=836 soit un nombre entier... Si on commence à confondre "second membre d'une équation" et "solution d'une équation", on ne va pas aller bien loin lol

Je suis néanmoins légèrement déçu de cette solution, qui implique que notre papy cueilleur de champignons est également capable, soit de dresser mentalement la table des valeurs d'un polynôme du second degré appliqué aux entiers naturels successifs, soit (encore mieux) de résoudre de tête une équation du second degré. Rien que le calcul du discriminant impliquerait entre autres, en imaginant qu'il connaisse déjà ce satané polynôme, le calcul de la racine carrée d'un nombre à trois chiffres, ou tout du moins la vérification que ce nombre (8^2+4*808, rien que ça) n'est pas un carré d'entier. Balaise, le sucreur de fraises !

Le calcul du discriminant de tête j'avoue c'est pas facile.
Mais si tu connais le produit des racines (c/a) et la somme des racines (-b/a) ça se fait de tête ! cool


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #24 - 02-09-2011 17:57:07

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Un ccoup de chapeau !

MthS-MlndN : C'est juste mais il faut quand même vérifier qu'à la fonction qui donne le nombre de champignons il correspond bien un endomorphisme sur le groupe modulo 3.
Par exemple la fonction :
f(0) = 0 ,
f(1) = 0 ,
f(2) = 0 ,
f(3) = 1 ,
f(n) = 0 si n>3
n'est pas transposable modulo 3.
Mais là je chipote vraiment lol

 #25 - 02-09-2011 18:23:14

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

Un coup de chapeauu !

MthS-MlndN a écrit:

Il faut que la solution de N²+8N+28=836 soit un nombre entier... Si on commence à confondre "second membre d'une équation" et "solution d'une équation", on ne va pas aller bien loin lol

J'invoque l'article 1 de la futur constitution de P2T qui dit que j'ai le droit de me planter smile
L'article 2 étant le fait que j'ai en plus le droit de dire n'importe quoi !

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Tim, Tam et ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
P2T
Coup de "Pouker" par titoufred
23-03-2014 Enigmes Mathématiques
P2T
La couleur du chapeau par PRINCELEROI
03-08-2013 Enigmes Mathématiques
P2T
Supercherie radine par Griimm
14-03-2016 Enigmes Mathématiques
P2T
Un point, c'est tout ? par SaintPierre
02-01-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
American problem par SaintPierre
26-04-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
27-08-2007 Enigmes Mathématiques
P2T
16-10-2015 Enigmes Mathématiques
20-11-2015 Enigmes Mathématiques
P2T
Propriétés de la variance par Missreglisse21
15-02-2012 Enigmes Mathématiques

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete