Enigme Triangle et allumettes @ Prise2Tete

schaff60 · #1

Classique mais pas évident : soit un triangle formé de 12 allumettes d' égale longueur.

Partager ce triangle en exactement 2 parties d'aire égale avec 3 allumettes identiques et entières !

Une démonstration simple que les aires sont bien égales sera la bienvenue.

Précision :

Les premières réponses à cette énigme sont géométriquement correctes, mais supposent que l'on a à sa disposition une règle graduée et/ou un compas qui permettent de déterminer avec précision le centre d'une allumette (par 2 fois), or ces instruments ne sont pas là !
Il faut donc trouver une solution qui puisse être construite avec uniquement ces 3 allumettes ( par exemple il est possible de placer exactement une allumette à 60 ° à partir de n'importe quel 'bout rouge', en faisant un triangle équilatéral avec une autre, ou de faire exactement un carré avec 2 allumettes et l'angle droit déjà en place).

Pour aider, je donne une petite astuce :

Spoiler : [Afficher le message]

zikmu · #2

Spoiler : [Afficher le message]

scrablor · #3

Une médiane [AI] partage le triangle en deux triangles de même aire.
Je centre une allumette au milieu de cette médiane et je la fais pivoter jusqu'à ce que ses extrémités soient à la bonne distance respectivement de A et de I pour placer les deux autres allumettes.
Sauf si la construction sort du triangle ou si la médiane excède 3 longueurs d'allumette, j'obtiens une ligne brisée qui partage le triangle en 2. Les parts sont de même aire puisque les petits triangles qui changent de côté par rapport à la médiane sont symétriques et se compensent donc.
Désolé, je n'ai pas le temps de faire un dessin, mais ici ça marche pour la médiane issue du sommet de l'angle droit.

scrablor · #4

J'ai réfléchi avec l'indice. C'est surprenant !

Les points E, J, F et H sont connus.
Avec deux allumettes : ED+DF... J'ai découvert que (BD) est bissectrice.
Donc avec trois allumettes : JD+DG+GH.

schaff60 · #5

Bravo à Scrablor pour la solution, et merci pour le très clair schéma qui va avec.

zikmu · #6

Et ma solution ne vous plait pas ?

schaff60 · #7

Non Zikmu, ta solution n'est pas valable. Suite à ta réponse et à la première de Scrablor, j'ai apporté une précision importante. Ta solution suppose que l'on puisse déterminer le milieu d'une allumette, or ce n'est pas possible avec seulement 3 allumettes à ta disposition.

Désolé !!

dhrm77 · #8

Mais si, avec 2 allumettes il est possible de trouver le milieu d'une troisieme. Il suffit de faire un triangle equilateral de chaque coté de cette allumette successivement, puis de joindre les sommets avec une regle. Et si on a pas de regle, on le fait au coup d'oeil.

Vasimolo · #9

Une petite question . Pourquoi trois allumettes et pas deux ?

Vasimolo

MthS-MlndN · #10

Parce que sinon, l'énigme n'aurait pas été la même

schaff60 · #11

Vasimolo a écrit:
Une petite question . Pourquoi trois allumettes et pas deux ?

Vasimolo

parce que avec 2 c'était plus facile, mais de 2 on pouvait déduire la solution à 3

schaff60 · #12

dhrm77 a écrit:
Mais si, avec 2 allumettes il est possible de trouver le milieu d'une troisieme. Il suffit de faire un triangle equilateral de chaque coté de cette allumette successivement, puis de joindre les sommets avec une regle. Et si on a pas de regle, on le fait au coup d'oeil.

Cette question par contre est une intéressante question qui mérite que tu t'y penches :

Connaissant un des théorèmes fondamentaux du XX eme siècle :

une figure est constructible à la règle et au compas si et seulement si elle peut être faite avec des allumettes.

Etant donné 2 points A et B , déterminer le centre de AB avec uniquement des allumettes, sachant qu'elles sont toutes d'égale longueur. Les solutions minimales dépendent de la distance entre A et B (AB < 1 allumette, AB = 1 allumette, AB > 1 allumette)

Vasimolo · #13

MthS-MlndN a écrit:
Parce que sinon, l'énigme n'aurait pas été la même

Qui peut le plus peut le moins !

schaff60 a écrit:
Parce que avec 2 c'était plus facile, mais de 2 on pouvait déduire la solution à 3

N'est-ce pas contradictoire ?

Vasimolo

MthS-MlndN · #14

C'est surtout que ta question n'avait pas vraiment de sens, je trouve... "Pourquoi avec 3 allumettes ?" Ben euh, je sais pas, ça devait donner un problème intéressant, ou c'était écrit comme ça, enfin, non, je ne vois pas la pertinence de ta question

Et il n'y a rien de contradictoire dans ce que dit Schaff : s'il faut d'abord trouver une solution pour deux allumettes, puis en déduire (avec quelques efforts de réflexion) la solution à trois allumettes, alors le problème à trois allumettes est plus dur que celui avec seulement deux. En plus de ça, il fallait déjà avoir l'idée de partir du cas à deux allumettes pour remonter à trois...

Vasimolo · #15

En fait je me plaçais dans un point de vue logique .

On demande d'utiliser trois allumettes pour partager le triangle en deux , or les deux allumettes [DF] et [DE] de la figure de scrablor suffisent clairement à répondre au problème . Si on demande d'utiliser les instruments de la géométrie pour construire une figure on n'est pas en tort si on n'utilise pas l'équerre alors pourquoi ici doit-on impérativement poser la troisième allumette ???

Vasimolo

MthS-MlndN · #16

Pour ajouter du challenge, je suppose ?..

Vasimolo · #17

schaff60 a écrit:
Connaissant un des théorèmes fondamentaux du XX eme siècle : une figure est constructible à la règle et au compas si et seulement si elle peut être faite avec des allumettes.

Ca m'a l'air juste , tu as des références ?

L'allumette est donc plus performante que la soucoupe ( clin d'oeil à un topic antérieur )

Merci d'avance

Vasimolo

Vasimolo · #18

MthS-MlndN a écrit:
Pour ajouter du challenge, je suppose ?..

La question est : "le sujet l'impose-t-il ?"

Vasimolo

schaff60 · #19

Vasimolo a écrit:
schaff60 a écrit:
Connaissant un des théorèmes fondamentaux du XX eme siècle : une figure est constructible à la règle et au compas si et seulement si elle peut être faite avec des allumettes.
Ca m'a l'air juste , tu as des références ?

L'allumette est donc plus performante que la soucoupe ( clin d'oeil à un topic antérieur )

Merci d'avance

Vasimolo

Ce théorème a été publié pour la première fois par Thomas Rayner Dawson en 1939, plus connu pour ses problèmes d'échec. En français il n'y a pas beaucoup de littérature mais ce site en fait référence (et donne quelques solutions ..

http://villemin.gerard.free.fr/Geometri … htm#depart

MthS-MlndN · #20

Vasimolo a écrit:
MthS-MlndN a écrit:
Pour ajouter du challenge, je suppose ?..
La question est : "le sujet l'impose-t-il ?"

Vasimolo

Plus ça va, moins je suis ta logique
Je propose que l'on arrête tout de suite le massacre.

schaff60 · #21

Vasimolo a écrit:
Une petite question . Pourquoi trois allumettes et pas deux ?

Vasimolo

Après mûre réflexion, ta question et surtout la réponse n'est pas simple. On peut effectivement se dire que le minimalisme devrait régler tous les problèmes du monde mais je n'en suis pas si sur.

Pourquoi vouloir gagner 3 mille Euros par mois alors que 2 mille me suffisent à vivre ?

Pourquoi faire une 3ème mi-temps alors que 2 suffisent à avoir le résultat du match ?

Pourquoi faut-il que Sarkozy soit réélu 3 fois alors qu'on pensait qu'avec 2 c'était déjà trop ?

Pourquoi des générations de mathématiciens ont essayé de diviser un angle en 3 parties avec la règle et le compas alors que c'est si facile en 2 ?

La réponse à ces questions n'est plus de l'ordre de ce site mais reste néanmoins valide et si jamais dans ta vie tu as une réponse je suis curieux de la connaître.

MthS-MlndN · #22

Pourquoi faut-il que Sarkozy soit réélu 3 fois alors qu'on pensait qu'avec 2 c'était déjà trop ?

L'apocalypse n'aura pas lieu en 2012 mais en 2017

Pourquoi des générations de mathématiciens ont essayé de diviser un angle en 3 parties avec la règle et le compas alors que c'est si facile en 2 ?

Parce que c'était un problème bien plus complexe, et qui, en plus, nous intéressait bien plus... Jusqu'à ce que démonstration soit faite que les trois problèmes fondamentaux de la géométrie (trisection de l'angle, quadrature du cercle, cubature de la sphère) n'étaient pas résolubles "pratiquement", donc inaccessibles à la règle et au compas. Et ça vaut aussi pour les allumettes

Vasimolo · #23

Un gros merci à schaff60 pour le lien

Je regarde en détail dès que je trouve un moment .

Vasimolo

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