Oui Caduk.

Mais de manière pratique ?

Calculer par exemple de gauche à droite : ( 1,2,1,1,2,2,1,3)

A la main bien entendu.

En utilisant ma méthode de calcul:
c
1+1/c = (c+1)/c
((2+1/c)+1)/(2+1/c) = ((3c+1)/c)/((2c+1)/c = (3c+1)/(2c+1)
(3(1+1/c)+1)/(2(1+1/c)+1) = ((4c+3)/c)/((3c+2)/c) = (4c+3)/(3c+2)
(4(1+1/c)+3)/(3(1+1/c)+2) = (7c+4)/(5c+3)
...

On peut expliciter un peu le calcul des coefficients.
Renommons d'abord les coefficients pour éviter les confusions
$$\frac{A}{B}=\dfrac{w_k  c_k + x_k}{y_kc_k + z_k}$$
On a:
$$w_0 = z_0 = 1, x_0=y_0=0$$
$$\frac{A}{B}=\cfrac{w_k \left(a_k+ \cfrac{1}{c_{k+1}}\right) + x_k}{y_k \left(a_k+ \cfrac{1}{c_{k+1}}\right) + z_k} = \cfrac{\cfrac{\left(w_ka_k+x_k\right)c_{k+1}+w_k}{c_{k+1}}}{\cfrac{\left(y_ka_k+z_k\right)c_{k+1}+y_k}{c_{k+1}}} = \dfrac{\left(w_ka_k+x_k\right)c_{k+1}+w_k}{\left(y_ka_k+z_k\right)c_{k+1}+y_k}$$
On obtient donc les relations de récurrence:
$$w_{k+1} = w_ka_k+x_k$$
$$x_{k+1} = w_k$$
$$y_{k+1} = y_ka_k+z_k$$
$$z_{k+1} = y_k$$
On peut donc dresser le tableau du calcul de cette suite:

  k    0  1  2  3  4  5   6   7
  a_k  1  2  1  1  2  2   1   3 
  w_k  1  1  3  4  7  18  43  61  226
  x_k  0  1  1  3  4  7   18  43  
  y_k  0  1  2  3  5  13  31  44  163
  z_k  1  0  1  2  3  5   13  31

La fraction recherchée est donc 226/163

A noter que l'on peut simplifier un peu la récurrence en:
$$w_{k+2} = w_{k+1}a_{k+1}+w_k$$
$$y_{k+2} = y_{k+1}a_{k+1}+y_k$$

Oui, bien sûr. On peut initialiser avec A0=1, B0=0, A1=a1, B1=1.