Bien voila notre bon vieux PPCM je crois.  PPCM(81;105)=2835, 7 ans 3/4

La rencontre ratée a eu lieu le 12 septembre 2007.

Il lui faudra encore patienter jusqu'au 17 juin 2015.

L00ping007 : la méthode est juste , mais ta première équation manque un (-)

Bonjour,

I. Il faut que 6 + 81.n soit multiple de 105.
Pour n=9, on trouve donc le 735è jour.

II. Le PPCM de 81 et 105 est 2835.
cela se produit donc le 3570è jour.

Bonne journée.
Frank

Franky1103 : Bonne réponse

SI je ne me suis pas trompé (ce qui est loin d'être sûr)
je dirais 1er RDV : le 12 décembre 2001
le rdv suivant le 6 septembre 2009 (en réalité c'est tous les 2835 jours : le PPMC de 105 et 81)

On appelle jour 0 le 8/12/1999, jour où l'on peut voir la comète 1.
On cherche un jour x tel que x soit un multiple de 135 jours pour qu'on puisse voir la comète 1 et qui soit un multiple de 81 plus 6. En effet la comète 2 passe le jour 6 et tous les multiples de 81 jours à partir de ce jour.

On cherche donc x tq:
[TeX]x\equiv0[135][/TeX]
[TeX]x\equiv6[81][/TeX]
81(=3^4) et 135(=3*5*7) n'étant pas premiers entre eux, il faut d'abord vérifier que ces équations ne sont pas incompatibles entre elle.
Le PGCD étant 3, on regarde x modulo 3 dans les 2 équations: il est bien congru à 0 modulo 3 dans les 2 équations donc on peut trouver des solutions. Si la 2ème équation avait été [latex]x\equiv7[81][/latex], on aurait eu x qui aurait du être congru à 0 modulo 3 dans la 1ère et à 1 modulo 3 dans la 2ème ce qui aurait été impossible.

x est donc divisible par 3. On pose donc y=x/3.
Les équations deviennent:
[TeX]y\equiv0[35][/TeX]
[TeX]y\equiv2[27][/TeX]
Cas classique.
On cherche une solution particulière.
On a 13x27-10x35=1 (Bezout).
Une solution particulière est donc 13x27x0-10x35x2=-700.
Toutes les solutions s'en déduisent modulo 35*27=945.
On a donc y=245+945k.
Et donc x=735+2835k.

La comète repassera donc le jour 735 puis le jour 3570, soit le 12/12/2001 et ensuite le 16/9/2009.

Puis le 21/6/2017.

Merci pour cette petite énigme permettant de retravailler notre théorème chinois.

Il les verra passer ensemble au bout de 735 jours, le 12 décembre 2001.

Puis une autre fois 2835 jours après ( PPCM de 105 et 81)
Euh.... le 16 septembre 2010 ?