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 #1 - 09-02-2011 17:52:17

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

L'astronome et les 2 cmètes !

I - Un astronome a vu , le 8 décembre 1999, une comète passée. De la même position, 6 jours plus tard il a vu une autre comète passée.
Après des recherches, il s'informe que la 1ere comète apparait périodiquement chaque 105 jours et la 2e tous les 81 jours.
- déterminez le prochain jour où l'astronome pourra voir les 2 comètes passées le même jour.
II - Cependant, cet astronome n'est pas aussi intelligent que vous, alors il rate le rendez vous à la suite d'un faux calcul : aidez le à déterminer le prochain rendez-vous de ces deux comètes.



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 #2 - 09-02-2011 18:29:22

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

l'astronpme et les 2 comètes !

Bien voila notre bon vieux PPCM je crois.  PPCM(81;105)=2835, 7 ans 3/4

La rencontre ratée a eu lieu le 12 septembre 2007.

Il lui faudra encore patienter jusqu'au 17 juin 2015.


The proof of the pudding is in the eating.

 #3 - 09-02-2011 18:57:21

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1988
Lieu: Paris

l'astronome rt les 2 comètes !

On cherche x et y tels que :
105x+6=81y (x et y sont les nombres de révolutions des 2 comètes)
Après un petit coup d'algo d'Euclide (que je détaille pas) on trouve :
6=26.81-20.105
Donc on peut dire que la 1ère comète est passée pour la 20ème fois depuis la dernière fois où elles sont passées ensemble, et la seconde est passée pour la 26ème fois 6 jours plus tard. Elles sont donc passées ensemble 20x105 jours avant le 8 décembre 1999, c'est-à-dire 5 ans et 275 jours avant, soit le 9 mars 1994.
Elles passeront ensemble le même jour après 35 révolutions de la seconde comète, et 27 de la première (quotients de 105 et 81 par le pgcd de 81 et 105 qui vaut 3), donc 35x81=27x105=2835 jours après cette date, soit le 12 décembre 2001

S'il rate ce jour, il pourra se consoler 2835 jours encore plus tard, soit le 16 septembre 2009

(fonction date() de PHP pour calculer les dates ...)

 #4 - 09-02-2011 19:16:12

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

L'astronom eet les 2 comètes !

L00ping007 : la méthode est juste , mais ta première équation manque un (-)


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #5 - 09-02-2011 20:40:36

Seanbateman
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 321
Lieu: Toujours à l'énigme 3

L''astronome et les 2 comètes !

I. Dans 2,835 jours, le 12 septembre 2007
105 (nb. jours pour la comète 1) x27 = 2835
81 (nb. jours pour la comète 2) x35= 2835

II. Dans 5,670 jours, le 17 juin 2015
105 (nb. jours pour la comète 1) x54 = 5670
81 (nb. jours pour la comète 2) x70= 5670


Quand on ne sait rien, on peut tout de même trouver des choses, avec de l'imagination. [Boris Vian]

 #6 - 10-02-2011 08:22:00

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2715
Lieu: Luxembourg

l'asteonome et les 2 comètes !

Bonjour,

I. Il faut que 6 + 81.n soit multiple de 105.
Pour n=9, on trouve donc le 735è jour.

II. Le PPCM de 81 et 105 est 2835.
cela se produit donc le 3570è jour.

Bonne journée.
Frank

 #7 - 10-02-2011 09:25:52

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

L'astronome et les 2 comète s!

L'énigme date un peu.
Le futur est déjà passé.

L'astronome a pu voir passER les comètes le même jour le 12 décembre 2001.

Puis après 2835 jours (ppcm de 105 et de 81)
soit le 16 septembre 2009.

 #8 - 10-02-2011 16:53:55

Azdod
Expert de Prise2Tete
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Lieu: In this universe ... !!

Lastronome et les 2 comètes !

Franky1103 : Bonne réponse big_smile


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 #9 - 10-02-2011 16:54:23

Azdod
Expert de Prise2Tete
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L'astronome et les 2 coètes !

halloduda : bravo ; l00ping aussii


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 #10 - 10-02-2011 17:17:56

logan
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 90

Lastronome et les 2 comètes !

SI je ne me suis pas trompé (ce qui est loin d'être sûr)
je dirais 1er RDV : le 12 décembre 2001
le rdv suivant le 6 septembre 2009 (en réalité c'est tous les 2835 jours : le PPMC de 105 et 81)

 #11 - 11-02-2011 07:51:15

joakdar
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

l'adtronome et les 2 comètes !

12 decembre 2001 pour le premier croisement des 2 comètes

 #12 - 11-02-2011 13:14:46

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

LL'astronome et les 2 comètes !

On appelle jour 0 le 8/12/1999, jour où l'on peut voir la comète 1.
On cherche un jour x tel que x soit un multiple de 135 jours pour qu'on puisse voir la comète 1 et qui soit un multiple de 81 plus 6. En effet la comète 2 passe le jour 6 et tous les multiples de 81 jours à partir de ce jour.

On cherche donc x tq:
[TeX]x\equiv0[135][/TeX]
[TeX]x\equiv6[81][/TeX]
81(=3^4) et 135(=3*5*7) n'étant pas premiers entre eux, il faut d'abord vérifier que ces équations ne sont pas incompatibles entre elle.
Le PGCD étant 3, on regarde x modulo 3 dans les 2 équations: il est bien congru à 0 modulo 3 dans les 2 équations donc on peut trouver des solutions. Si la 2ème équation avait été [latex]x\equiv7[81][/latex], on aurait eu x qui aurait du être congru à 0 modulo 3 dans la 1ère et à 1 modulo 3 dans la 2ème ce qui aurait été impossible.

x est donc divisible par 3. On pose donc y=x/3.
Les équations deviennent:
[TeX]y\equiv0[35][/TeX]
[TeX]y\equiv2[27][/TeX]
Cas classique.
On cherche une solution particulière.
On a 13x27-10x35=1 (Bezout).
Une solution particulière est donc 13x27x0-10x35x2=-700.
Toutes les solutions s'en déduisent modulo 35*27=945.
On a donc y=245+945k.
Et donc x=735+2835k.

La comète repassera donc le jour 735 puis le jour 3570, soit le 12/12/2001 et ensuite le 16/9/2009.

Puis le 21/6/2017.

Merci pour cette petite énigme permettant de retravailler notre théorème chinois.

 #13 - 11-02-2011 15:55:56

Azdod
Expert de Prise2Tete
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Lieu: In this universe ... !!

L'astronom eet les 2 comètes !

Seanbateman : malheureusement c'est faux : une nouvelle tentative smile


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 #14 - 13-02-2011 19:36:54

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,474E+3

l'astrobome et les 2 comètes !

Il les verra passer ensemble au bout de 735 jours, le 12 décembre 2001.

Puis une autre fois 2835 jours après ( PPCM de 105 et 81)
Euh.... le 16 septembre 2010 ?

 #15 - 13-02-2011 23:03:07

gwen27
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L'astroonome et les 2 comètes !

Zut 2009 !

 

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