Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 15-02-2011 15:31:20

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

applique à sion (encore et toyjours ...)

Encore une application fonctionnelle, pas simple non plus :

Soit f une fonction de  [latex]R_+[/latex] dans lui-même, qui vérifie les 3 conditions suivantes :

(1) Pour tous réels positifs x et y : f(y.f(x)).f(x)=f(x+y)
(2) f(2)=0
(3) Pour tout réel x de [0;2[, f(x) non nul

Déterminer f (existence et unicité d'une telle fonction)

Je donnerai des indices au fur et à mesure pour la marche à suivre.

Indication 1 : Spoiler : [Afficher le message] Déterminer f sur [latex][2;+\infty[[/latex]

Indication 2 : Spoiler : [Afficher le message] Comparer f(x) et [latex]\frac2{2-x}[/latex], en prenant y=2-x pour x < 2

Indication 3 : Spoiler : [Afficher le message] Comparer f(x) et [latex]\frac2{2-x}[/latex], en prenant [latex]y=\frac2{f(x)}[/latex] pour x < 2. Et conclure !



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 15-02-2011 16:04:44

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

appliquz à sion (encore et toujours ...)

Bon, on commence.Soit X > 2, soit x = X-2
f(X) = f(x) + 2 = blablabla * f(2) = 0
Donc f(x) = 0 pour tout x supérieur à 2

Soit a < 2 (donc 2-a >0), soit epsilon positif tel que 2-a-epsilon > 0 (blabla on est dans R, blabla densité, bref on a le droit)

f(a+ 2-a-epsilon) = f(a). f( (2-a-epsilon).f(a)) = f(2-epsilon) > 0
f(a) >0, ça c'est bon
f(f(a)(2-a-epsilon)) > 0 donc f(a)(2-a-epsilon) < 2
f(a) < 2/(2-a-epsilon)

On va considérer un cas limite: epsilon tends vers 0: f(a) = 2/(2-a)
Est ce que ça marche ? (pour x et y tels que 0<x+y<2)
[TeX]f(x).f(y.f(x)) = \\
\frac{2}{2-x} . \frac{2}{2-(y\frac{2}{2-x})} = \\
\frac{2}{2-x} . \frac{1}{1-(y\frac{1}{2-x})} = \\
\frac{2}{2-x} . \frac{2-x}{2-x-(y)} = \\
\frac{2}{2-x-y} = \\
f(x+y)[/TeX]
Badaboum, ça marche !!
Donc f est définie par f(x) = 2/(2-x) pour 0 < x < 2, et 0 sinon

 #3 - 15-02-2011 16:34:48

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

apploque à sion (encore et toujours ...)

J'applique (1) avec x=2 et y quelconque:
f(y.f(2)).f(2)=f(2+y), on a donc f(2+y)=0.
Donc f est nulle sur [2, +infini[.


Soit x dans [0, 2[.

Soit y=2-x.
(1) donne: f((2-x).f(x)).f(x)=f(x+y)=f(2)=0,
or f(x) non nul car x<2 donc f((2-x).f(x))=0.
Donc (2-x).f(x)>=2.
Donc f(x)>=2/(2-x).

Prenons maintenant y=2-x-h avec h strictement positif tel que y positif.
(1) donne f((2-x-h).f(x)).f(x)=f(x+y)=f(2-h) non nul.
Donc f((2-x-h).f(x)) est non nul et donc:
(2-x-h).f(x)<2.
Donc f(x)<2/(2-x-h).
En faisant tendre h vers 0, on a que f(x)<=2/(2-x).

Les deux inégalités nous donnent: f(x)=2/(2-x).


La solution est donc:
f(x)=2/(2-x) si x<2,
f(x)=0 sinon.


PS: Merci pour cette énigme plus abordable!

 #4 - 15-02-2011 17:05:33

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Applique à Sion (encore te toujours ...)

Je commence par le plus facile :

y=0 => f(0).f(x) = f(x) => [ f(0)=1 ou  pour tout x f(x)=0 (impossible par condition 3)] => f(0) = 1

quelques essais :
f(2)=0=f(1+1) = f(1.f(1)).f(1)= f^2(1).f(1), or f(1) différent de 0 car 1€[0,2[, donc f^2(1) = 0, et donc f(1) n'est pas dans [0,2[

pour f(x) non nul (il y en a) : f(1/f(x).f(x)).f(x) = f(x+1/x) = f(1).f(x)


(suite)
soit e>0, f(2+e) = f(e.f(2)).f(2) = 0, donc f est nulle sur [2,+infini[

 #5 - 15-02-2011 17:32:27

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Applique à SSion (encore et toujours ...)

Si y=0 alors f(0)*f(x)=f(x) pour x>0 alors f(0)=1
pour y reel positif
f(2+y)=f(yf(2))*f(2)=0 donc pour x>2 f(x)=0

0=f(1+1)=f(f(1))*f(1) or f(1) different de 0 alors f(f(1))=0 donc f(1)>=2

Si f(x)=[latex]2\over{2-x}[/latex] alors f(x+y)=[latex]2\over{2-x-y}[/latex]
f([latex]2y\over{2-x}[/latex])=[latex]2(2-x)\over{2(2-x)-2y}[/latex] d'où f(y*f(x))*f(x)=[latex]2\over{2-x-y}[/latex]=f(x+y)

pour x<2 y=2-x on a 0=f((2-x)f(x))*f(x) puisque f(x) different de 0 alors
(2-x)*f(x)>=2 d'où f(x)>=[latex]2\over {2-x}[/latex]

pour y=[latex]2\over {f(x)}[/latex] on a f(2)f(x)=f(x+[latex]{2\over{f(x)}})[/latex] d'où x+[latex]2\over{f(x)}[/latex]>=2 donc f(x)<=[latex]2\over {2-x}[/latex]
donc f(x)=[latex]2\over {2-x}[/latex]

 #6 - 15-02-2011 19:29:51

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

Applique à Siion (encore et toujours ...)

je trouve par tâtonnement

f(x) = (1/(x+1))* E(2/ 1+|1-x|)

 #7 - 15-02-2011 20:49:49

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

Applique à Sion (encore et toujours ....)

@irmo : parfait, rien à dire !

@gasole : bon début wink

@scarta : tu as trouvé une solution, oui, mais je ne suis pas sûr que tu montres que c'est la seule

@debutant1 : il y a moyen d'exprimer la fonction beaucoup plus simplement

 #8 - 15-02-2011 21:29:21

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

Applique à Sion (encore et toujours ...))

Oh tu chipotes ! Je pourrais te rétorquer que tu parles "d'une" fonction et pas "de la" fonction smile

Bon allez, et au passage je ça fera tout ça au propre smile

Soit x>0, f(x+2) = f(2).f(...) = 0
Donc pour tout x >= 2, f(x) = 0

Soit a <2, 2-a >0, et 0 = f(2) = f(a + 2-a) = f(a).f((2-a).f(a))
Or f(a) > 0, donc f((2-a).f(a)) = 0, donc (2-a).f(a) >=2, et donc f(a) >= 2/(2-a)
Soit epsilon tel que 2-a-epsilon > 0. (vu que a<2 on peut trouver un tel epsilon dans R)
f(a + 2-a-epsilon) = f(2-epsilon) > 0
f(a).f((2-a-epsilon).f(a)) > 0
Donc f((2-a-epsilon).f(a)) > 0, donc (2-a-epsilon).f(a) < 2, donc f(a) < (2-a-epsilon)

Au final donc, 2/(2-a) <= f(a) < 2/(2-a-epsilon) pour epsilon aussi petit qu'on veut; ce qui implique donc f(a) = 2/(2-a)

On vérifie tout de même que 2/(2-a-b) = 2/(2-a) . 2/(2-(2b/(2-a))), ce qui est le cas.

La réponse est donc la fonction f définie par f(x) = 2(1-H(x-2))/(2-x) pour x<2, avec H la fonction de Heaviside smile

 #9 - 15-02-2011 21:51:59

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

Applique à Sion (encore et tooujours ...)

@scarta : ok j'ai rien dit, fallait pas te provoquer lol

 #10 - 15-02-2011 21:59:52

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

applisue à sion (encore et toujours ...)

Je poursuis, au compte goutte smile

soit 0<x<2, 0=f(2)=f((2-x)+x)=f((2-x).f(x)).f(x), or f(x) =/= 0,
donc f((2-x).f(x))=0,
donc (2-x).f(x) >= 2
donc f(x)>= 2/(2-x)... ce qui implique que lim_{x=>2} f(x)=+infini

et cool, ça marche, 2/(2-x), en voilà une.

 #11 - 15-02-2011 22:01:17

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

Applique à Sion (encore t toujours ...)

@gasole : le plus dur est fait, reste l'autre moitié de l'égalité pour conclure wink

 #12 - 15-02-2011 22:29:16

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Applque à Sion (encore et toujours ...)

j'arrive, j'arrive smile

toujours 0<= x < 2 (et donc f(x) =/= 0) :

0=f(2) = f(2/f(x).f(x)).f(x) = f(2/f(x)+x),
donc 2/f(x)+x >= 2
donc 2+xf(x) >= 2f(x)          f(x) positive
donc f(x) <= 2/(2-x)            2-x positif

d'où l'égalité.

 #13 - 15-02-2011 22:30:16

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Applique à Sion (encoore et toujours ...)

Tu le sors d'où celui-là ?

 #14 - 15-02-2011 22:44:57

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

pAplique à Sion (encore et toujours ...)

Un truc intéressant: on peut remplacer 2 par n'importe quel autre réel r>0, on trouvera une réponse similaire du genre r/(r-x)

 #15 - 15-02-2011 23:16:11

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

Applique à Sion (encoer et toujours ...)

@gasole : tombé dessus par hasard sur le net en cherchant des équations fonctionnelles, je l'ai trouvé rigolo

@irmo : vive les fonctions homographiques

 #16 - 15-02-2011 23:19:57

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Applique à Sion (encore et toujour s...)

@irmo : homo-quoi ?

... ah oui ! ça me dit vaguement quelque chose... j'ai vu ça au lycée je suppose.

 #17 - 16-02-2011 22:23:27

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

applique à sion (encore et touhours ...)

Pour tout y>=0 : f(y.f(2)).f(2)=f(2+y) donc pour tout x>=2 : f(x)=0.

f(0.f(0)).f(0)=f(0+0) donc f(0)=f(0).f(0) donc f(0)=1 (puisque f(0)!=0)

Pour tout x et y strictement compris entre 0 et 2 avec x+y=2 :
f(y.f(2-y)).f(2-y)=f(x+y)=0 donc f(y.f(2-y))=0 (puisque f(2-y)!=0) donc y.f(2-y)>=2.

Donc f(x)>=2/(2-x)

Et comme par hasard pour f(x)=2/(2-x) :
f(x+y)=2/(2-x-y)
f(y.f(x)).f(x)=f(y.2/(2-x)).2/(2-x)=2/(2-(2y/(2-x))).2/(2-x)=2/(2-x-y) !

f vérifie donc :
Pour tout réel x de [0;2[, f(x)=2/(2-x)
Pour tout réel x de [2;infini[, f(x)=0

Par contre pour l'unicité...


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #18 - 17-02-2011 00:00:40

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

Applique à Sion (encore et toujjours ...)

@fix33: dans la dernière partie tu montres l'existence, mais au milieu il manque une partie : l'autre égalité, pour assurer l'unicité !

 #19 - 18-02-2011 17:42:35

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

applique à dion (encore et toujours ...)

Indice supplémentaire. Là c'est cadeau wink

 #20 - 20-02-2011 17:21:11

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

Applique à Sion (encore et toujous ...)

Pas beaucoup de participations, mais toutes de qualité smile

Je rédige une démo, même si toutes celles ci-dessus sont correctes et identiques

(i) Prenons y=0, et x dans [0;2[
[TeX]f(0.f(x)).f(x)=f(x+0)[/latex], donc [latex]f(0).f(x)=f(x)[/TeX]
Comme f(x) non nul d'après (3), f(0)=1

(ii) Prenons x=2 et y positif
[TeX]f(y.f(2)).f(2)=f(2+y)[/TeX]
D'après (2), f(2)=0 donc [latex]f(y+2)=0[/latex]
On en déduit que f est nulle sur [2;+[latex]\infty[/latex][

(iiI) Prenons x dans [0;2[ et y=x-2
[TeX]f((2-x).f(x)).f(x)=f(x+2-x)[/TeX]
donc [latex]f((2-x).f(x)).f(x)=f(2)=0[/latex]
Or f(x) est non nul d'après (3), donc [latex]f((2-x).f(x)) = 0[/latex]
Nécessairement, on a alors [latex](2-x)f(x)[/latex] dans [2;+[latex]\infty[/latex][ (f ne s'annule pas sur [0;2[)
Et on a bien [latex]f(x) \ge \frac2{2-x}[/latex] (j'ai divisé par [latex]2-x > 0[/latex])

(iv) Prenons x dans [0;2[ et [latex]y=\frac2{f(x)}[/latex] (possible car f ne s'annule pas sur [0;2[)
[TeX]f(\frac2{f(x)}.f(x)).f(x)=f(x+\frac2{f(x)})[/TeX]
donc [latex]f(x+\frac2{f(x)})=0[/latex]
On en déduit :
[TeX]x+\frac2{f(x)} \ge 2
\frac1{f(x)} \ge \frac{2-x}2 \g 0[/TeX]
En passant aux inverses : [latex]f(x) \le \frac2{2-x}[/latex]

Et finalement :
[TeX]\forall x \in [2;+\infty[, f(x)=0
\forall x \in [0;2[, f(x)=\frac2{2-x}[/TeX]

 #21 - 21-02-2011 12:30:19

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Applique à Sion (encore et ttoujours ...)

Jolie trouvaille en tout cas !

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Pim, Pam et ?

Sujets similaires

Mots clés des moteurs de recherche

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete