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 #1 - 16-11-2007 11:45:08

FSRom1
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 74

Multiplications "N pour tous, tous puor N"

Soit N un nombre entier positif.
En utilisant l'addition, la soustraction, la multiplication et la division uniquement, comment peut-on obtenir N en utilsant une seule fois chacun des nombres de 1 à N-1 ? (Les parenthèses sont autorisées)

On pourra commencer avec les nombres de 3 jusqu'à 10, puis proposer une formule générale.

Spoiler : Résultats
sensini : Bonnes propositions. Il ne manque plus qu'une méthode permettant, pour N donné, de savoir comment combiner les nombres sans devoir revenir aux combinaisons de N-2, N-4 etc...



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 #2 - 16-11-2007 12:07:16

Ptitloup
Sage de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
Messages : 372
Lieu: Rennes (35)

Multiplicaations "N pour tous, tous pour N"

Spoiler : [Afficher le message] (1+2-3)*(4+5+6+7+8+9+....+[N-1]) + N = N

Dans la 2ème parenthèse, on peut même s'amuser à varier les signes vu que de toute façon on mutliplie par zéro !!

Bon, je suppose qu'on n'a pas le droit aux parenthèses, mais vu que c'est pas trop précisé dans l'énoncé, je msuis dit que pourquoi pas smile)

 #3 - 16-11-2007 12:34:49

FSRom1
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 74

multiplications &quor;n pour tous, tous pour n"

Ooops... hmm Ptitloup, ta réponse m'a fait réaliser que j'avais tapé quelque chose d'incorrect dans mon énoncé.
Par contre, on essayera de trouver une méthode qui fonctionne également pour les petits entiers (Ta proposition ne pouvait fonctionner pour 1, 2 et 3 par exemple)

 #4 - 16-11-2007 13:55:02

sensini
Sage de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 263

multuplications "n pour tous, tous pour n"

3=2+1
4=3+(2-1)
5=4+(3/(2+1))
6=5+(4/(3+(2-1)))
...
x=(x-1)+(x-2)/(x-2)
avec un des (x-2) écrit avec les entiers de 1 à x-3
Il y a surement d'autres techniques. Par exemple:
x=(x-1)+ [(x-2)-(x-3)]  //=(x-1)+1=x
- [(x-4)-(x-5)] + [(x-6) -(x-7)] //-1+1
- [(x-8)-(x-9)]+[(x-10)-(x-11)]//-1+1
qui marche pour x=4,8,12,...

Edit:
et x = x-1 + (x-2) / ( x-3 + (x-4)/ ( x-5 + (x-6) / (x-7 +....)  )  ) c'est bon ?

x-2           
---------------------------  + x-1
x-4
------------------   + x-3
x-5
------------ + x-6
x-7
----- + x-8
...

2nd Edit : j'avais mal lu la remarque, je repenche sur l'enigme ...


sensini.labrute.fr

 #5 - 17-11-2007 15:14:05

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2988
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

myltiplications "n pour tous, tous pour n"

Voici ma solution:
Spoiler : [Afficher le message]
de 3 a 6:
3 = 2+1
4= 3+(2-1)
5=4+(3/(2+1))
6=5+4-3*(2-1)
ensuite pour les autres nombres, on defini 4 formes de zeros:
Z3 = 3-2-1 = 0
Z4 = 4-3-2+1 = 0
Z5 = (5-4-3+2)*1 = 0
Z6 = 6-5+4-3-2*1 = 0
pour Z7 et au dela:
Zn = n-(n-1)-(n-2)+(n-3) + Z(n-4)  = 0

ensuite il suffit de dire que pour N superieur à 6 on utilise:
N = (n-1)+(n-2)-(n-3) + Z(n-4)
et ca marche jusqu'a l'infini.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #6 - 17-11-2007 17:23:44

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2988
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

multiplications "n pour tous, yous pour n"

Autre methode:
Spoiler : [Afficher le message]
pour 3 et 4, on a toujours:
3 = 2+1
4= 3+(2-1)
ensuite pour les autres nombres, on defini 2 formes de UNs:
U3 = 3/(2+1) = 1
U4 = (4+1)/(3+2) = 1
pour U5 et au dela:
Un = (n-(n-1)) * U(n-2)  = 1

ensuite il suffit de dire que pour N superieur à 4 on utilise:
N = (n-1)+U(n-2)
et ca marche jusqu'a l'infini.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #7 - 16-06-2008 07:06:55

rhaarezadejapris
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 9

multiplications "n pour tous, tous pout n"

Une solution sans divisions pour [latex]N\geq 3[/latex]:

Soit [latex]k\in\left\lbrace 0;1 \right\rbrace[/latex]
on pose [latex]U_k=\sum_{i=2+k}^{N-2}i\times(-1)^{\alpha_i}[/latex]

Lemme: pour [latex]k[/latex] égal à la parité de [latex]N-1[/latex], on peut choisir une suite [latex]{\alpha_i}[/latex] telle que [latex]U_k[/latex] vaille 0 ou 1.
[TeX]\bullet[/latex] Si [latex]k=0[/latex] et [latex]N-1[/latex] est pair alors [latex]U_k[/latex] contient un nombre pair de terme,
- Si [latex]|U_k|\equiv 0 [4] [/TeX][TeX]\underbrace{\underbrace{\underbrace{-2+3}_{=-1}+\ldots+
\underbrace{(\frac{N-3}{2}-1)-\frac{N-3}{2}}_{=-1}}_{=\frac{N-3}{2}\times -1} | \underbrace{\underbrace{-(\frac{N-3}{2}+1)+\frac{N-3}{2}+2}_{=1}+\ldots
\underbrace{-(N-3)+N-2}_{=1}}_{=\frac{N-3}{2}\times 1}}_{=0}[/TeX]
- Sinon [latex]|U_k|\equiv 2 [4] [/latex]
[TeX]\underbrace{\underbrace{\underbrace{-2+3}_{=-1}+\ldots- \underbrace{\frac{N-3}{2}-2-(\frac{N-3}{2}-1)}_{=-1}}_{=\frac{N-5}{2}\times -1}+\underbrace{\left(-\frac{N-3}{2} + \frac{N-3}{2}+1\right)}_{=1}-
\underbrace{\underbrace{(\frac{N-3}{2}+2)+\frac{N-3}{2}+3}_{=1}+\ldots-
\underbrace{(N-3)+N-2}_{=1}}_{=\frac{N-5}{2}\times 1}}_{=1}[/TeX][TeX]\bullet[/latex] Si [latex]k=1[/latex] et [latex]N-1[/latex] impair on obtient le même résultat en décalant d'un indice.




Si [latex]N-1\equiv 0 [4][/TeX]
[TeX]1\times U_0+(N-1)= 1\times 1+(N-1)=N [/TeX]
Si [latex]N-1\equiv 1 [4][/latex]
[TeX](-1+2)\times U_1+(N-1)= 1\times 1+(N-1)=N [/TeX]
Si [latex]N-1\equiv 2 [4][/latex]
[TeX]1+U_0+(N-1)= 1+0+(N-1)=N [/TeX]
Si [latex]N-1\equiv 3 [4][/latex]
[TeX](-1+2)+U_1 +(N-1)= 1+0+(N-1)=N [/TeX]
N.B.: ce que je poste ne semble pas exempt de coquilles, mais il est assez tard et je poste pour exposer l'idée (et ne pas la perdre ^^).
Il est peut-être possible de "factoriser" en deux cas,

Pour ce qui est de 1 et 2 ... [latex]exp(0)[/latex] et [latex]exp_2(1)[/latex] ? tongue

 #8 - 25-09-2008 19:42:35

elhierro
Visiteur

multiplications "n pour touq, tous pour n"

Ca ressemble au précédent que je n'ai pas eu le courage d'analyser.
Mon idée:

Pour les N pairs
on écrit la suite (en alternant les + et les - )
[(N-1)-(N-2)+(N-3)-(N-4)+.....  - 4 + 3  -1 ] x 2 = N
exemple pour N=12
[ 11 - 10 + 9 - 8 + 7 - 6 + 5 - 4 + 3 - 1 ] x 2 = 12

Pour les N impairs, on inverse ceux du rang N-2 et N-3
[(N-1)-(N-3)+(N-2)-(N-4)+.....  - 4 + 3  ] x 2 + 1 = N
exemple pour N=11
( [10 - 8 + 9 - 7 + 6 - 5 + 4 - 3] x 2 ) - 1 = 11

 #9 - 25-09-2008 19:47:08

elhierro
Visiteur

Multiplicattions "N pour tous, tous pour N"

Oups une coquille. Voici la version corrigée

Pour les N pairs
on écrit la suite (en alternant les + et les - )
[(N-1)-(N-2)+(N-3)-(N-4)+.....  - 4 + 3  -1 ] x 2 = N
exemple pour N=12
[ 11 - 10 + 9 - 8 + 7 - 6 + 5 - 4 + 3 - 1 ] x 2 = 12

Pour les N impairs, on inverse ceux du rang N-2 et N-3
[(N-1)-(N-3)+(N-2)-(N-4)+.....  - 4 + 3  ] x 2 - 1 = N
exemple pour N=11
( [10 - 8 + 9 - 7 + 6 - 5 + 4 - 3] x 2 ) - 1 = 11

 #10 - 26-09-2008 14:39:50

Bamby
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 4
Messages : 41

multoplications "n pour tous, tous pour n"

(N-1)+ (somme des N-2 à 6)*(5-4-3+2) +1 =
(N-1) +        X               *        0     +1 =
N.

apres, ca marche pas pour N inférieur a 7, je l'accorde.

Question pour ma recherche pour tout N ... doit on les utiliser dans l'ordre les chiffres?

 

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