Enigmes

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 #1 - 06-03-2011 16:14:29

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Sortons de la ggéométrie!

http://nsa25.casimages.com/img/2011/03/06/110306041746705584.jpg
Simplifier au maximum.



Annonces sponsorisées :

C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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#0 Pub

 #2 - 06-03-2011 16:23:25

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1986
Lieu: Paris

Sortons de laa géométrie!

[TeX]x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)[/TeX]
Et [latex](x+y)^2=x^2+y^2+2xy[/latex]
Donc [latex]xy=\frac{a^2-b}2[/latex]
et [latex]x^3+y^3=a(b-\frac{a^2-b}2)[/latex]
[TeX]x^3+y^3=\frac{a(3b-a^2)}2[/TeX]

 #3 - 06-03-2011 16:28:51

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

Sortons d ela géométrie!

Oui, sans problème !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #4 - 06-03-2011 16:36:27

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Rouen

sortons de ma géométrie!

Mon flair des identités remarquables m'a sauvé sur celle-là lol

Je commence par récupérer la valeur de [latex]xy[/latex], parce que j'en aurai besoin ensuite :
[TeX](x+y)^2 = x^2+y^2+2xy \Rightarrow xy = \frac 12 [ (x+y)^2 - (x^2+y^2) ][/TeX]
Donc [latex]xy = \frac 12 (a^2-b)[/latex]

Maintenant, passons à la puissance supérieure :
[TeX](x+y)^3 = x^3 + 3x^2y+3xy^2+y^3 \Rightarrow x^3+y^3 = (x+y)^3-3xy(x+y)[/TeX]
Et hop : [latex]x^3+y^3 = a^3-\frac 32 (a^2-b) a[/latex]

En développant un chouia : [latex]x^3+y^3 = \frac 32 ab - \frac 12 a^3[/latex] (j'ai vérifié, ça marche).


Une question pas très dure mais intéressante, j'aime beaucoup !


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #5 - 06-03-2011 16:38:17

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 479
Lieu: Ardèche

sortobs de la géométrie!

x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)
=(x+y)(3x²+3y²-x²-2xy-y²)/2
=a(3b-a²)/2

 #6 - 06-03-2011 16:40:05

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

Sortons de la géométtrie!

Merci, Mathias. J'essaie au maximum de diversifier la nature des problèmes. wink ... et bonne réponse, bien sûr !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #7 - 06-03-2011 16:41:09

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Sortons de lla géométrie!

OK, halloduda. wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #8 - 06-03-2011 16:44:19

Memento
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 176

sortons de la géométriz!

[TeX](x+y)(x^2+y^2)=(x^3+xy^2+yx^2+y^3)[/TeX]
Donc
[TeX]x^3+y^3
=(x+y)(x^2+y^2)-xy^2-yx^2
=(x+y)(x^2+y^2)-xy(x+y)
=(x+y)(x^2+y^2-xy)
=(-\frac1{2})(x+y)(-2x^2-2y^2+2xy)
=(-\frac1{2})(x+y)((x+y)^2-3x^2-3y^2)
=(-\frac1{2})(x+y)((x+y)^2-3(x^2+y^2))
=(-\frac1{2})a(a^2-3b)
[/TeX]

 #9 - 06-03-2011 16:52:43

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Sortons de lla géométrie!

Oui, Memento. Il y a un peu plus simple... wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #10 - 06-03-2011 16:55:19

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
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Sortosn de la géométrie!

x^3+y^3= a/2   * (3b-a^2)

 #11 - 06-03-2011 16:58:54

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Sortons de la géomtérie!

debutant1, oui !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #12 - 06-03-2011 17:15:51

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1998
Lieu: 94110

sortons de la géométeie!

1) [latex](x+y)^3=x^3+3x^2y+3 x y^2 + y^3 [/latex]
2) [latex](x+y)^2=x^2+2xy+ y^2 = b + 2 xy[/latex]
1) --> [latex]x^3+y^3=a^3- 3xy(x+y)[/latex]
2 ) --> [latex]xy = (a^2-b)/2[/latex]

Sauf erreur de transcription : [latex]x^3+y3 = a^3-3a(a^2-b)/2[/latex]

Joli ! smile

(Il y avait effectivement une petite erreur de retrancription dans une étape.)

 #13 - 06-03-2011 17:18:16

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

oSrtons de la géométrie!

Jack, la réponse telle quelle n'est pas correcte. hmm


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #14 - 06-03-2011 17:33:19

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

Sortons de la gémétrie!

a³ = (x+y)³ = x³+3x²y+3xy²+y³ = (x³+y³)+3xy(x+y) = (x³+y³)+3axy (1)

(x+y)² = x²+2xy+y²  , ou encore: a² = b+2xy , et donc xy = (a²-b)/2 (2)

On utilise (2) dans (1) :

a³ = (x³+y³)+3a(a²-b)/2 , ou encore: (x³+y³) = a³-3a(a²-b)/2

(x³+y³)=a³-3a³/2+3ab/2 , soit après simplification : x³+y³ = a(3b-a²)/2


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #15 - 06-03-2011 17:45:18

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Sortons de la éométrie!

SHTF47, nickel !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #16 - 06-03-2011 18:20:27

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Sortons de la goémétrie!

On a [latex]x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2-xy)[/latex] et [latex]2xy=(x+y)^2-(x^2+y^2)[/latex] donc [latex]x^3+y^3=\frac{3ab-a^3}{2}[/latex]

Vasimolo

 #17 - 06-03-2011 18:35:10

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Sortons de la géométriee!

Vasimolo: oui ! wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #18 - 06-03-2011 19:31:13

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Sortons de la géométrie

[TeX](x+y)(x^2+y^2)=x^3+y^3+x^2y+y^2x[/latex] d'où [latex]x^2y+y^2x=ab-(x^3+y^3)[/latex] et [latex](x+y)^3=x^3+y^3+3(x^2y+y^2x)[/latex] donc [latex]a^3=x^3+y^3+3(ab-(x^3+y^3)[/latex] donc [latex]2(x^3+y^3)=3ab-a^3[/latex] donc [latex]x^3+y^3={{3ab-a^3}\over 2}[/TeX]

 #19 - 06-03-2011 19:49:08

jomarch
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 83
Lieu: Pyrénées

Sortons ed la géométrie!

1.5 * a * b - 0.5 * a^3

 #20 - 06-03-2011 20:06:59

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Sortons de la géomérie!

(x+y)²=x²+y²+2xy

Donc :
a²=b+2xy
xy=(a²-b)/2  (1)

Or x³+y³=(x+y)(x²+y²-xy)

Donc x³+y³=a(b-xy)

En remplaçant xy par l'expression calculée en (1), on obtient :

x³+y³
=a(b-(a²-b)/2)
=a(3b-a²)/2
=(3ab-a³)/2

 #21 - 06-03-2011 20:28:48

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

sortons fe la géométrie!

Oui, oui, oui !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #22 - 06-03-2011 23:23:04

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

soryons de la géométrie!

[TeX]x^3+y^3=\frac{a(3b-a^2)}2[/TeX]


The proof of the pudding is in the eating.

 #23 - 06-03-2011 23:37:29

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

sortpns de la géométrie!

OK, Franck !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #24 - 07-03-2011 07:11:33

mitsuidewi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 250
Lieu: dans une chambre universitaire

Sortons de la géométri!e

J'étais tenté de répondre [latex]x^3+y^3=c[/latex] tout simplement, mais je suppose que tu cherches la valeur de c en fonction de a et b.
[TeX]x+y=a \\
x^2+y^2=b[/TeX][TeX](x+y)(x^2+y^2)=ab\\
x^3+yx^2+xy^2+y^3=ab[/TeX]
et
[TeX](x+y)^3=x^3+3yx^2+3xy^2+y^3=a^3\\[/TeX]
Donc [latex]2yx^2+2xy^2=a(a^2-b)\\
yx^2+xy^2=\frac{a}{2}(a^2-b)[/latex]

Donc : [latex]x^3+y^3=ab-\frac{a}{2}(a^2-b)=\frac{3ab}{2}-\frac{a^3}{2}\\[/latex]

 #25 - 07-03-2011 09:07:13

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Sorotns de la géométrie!

Bonjour,
ab=x3+x2y+xy2+y3 d'où x3+y3=ab-axy
a2=x2+2xy+y2 donne xy=(a2-b)/2
au final x3+y3=a(3b-a2)/2
Bonne journée.
Frank

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