Enigmes

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 #1 - 09-03-2011 15:41:35

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Tri_1_lge

http://www.prise2tete.fr/upload/looozer-un.jpg

Que vaut BD ?



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 #2 - 09-03-2011 16:53:27

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

Trii_1_gle

On va donner du Pythagore !

Dans AEB : [latex]1 + BE^2 = (1 + BD)^2[/latex]
Dans ABC : [latex](1+BD)^2 + BC^2 = (1+EC)^2[/latex]
Dans BCD : [latex]BD^2+BC^2=1[/latex]
En notant BD=x :
[TeX]BC=\sqrt{1-x^2}
BE=\sqrt{x^2+2x}
[/TeX]
Ensuite un petit coup de tangente en [latex]\hat A[/latex] :
[TeX]tan(\hat A) = \frac{BE}1=\frac{BC}{AC}[/TeX]
alors [latex]BE.AB=BC[/latex], ce qui donne en remplaçant tout en fonction de x :
[TeX]\sqrt{x^2+2x}(1+x)=\sqrt{1-x^2}[/TeX]
après simplifications :
[TeX]x^3+3x^2+3x-1=0[/TeX]
Je pourrais faire appel à un solveur, mais faut être plus malin smile
Je remarque une quasi identité remarquable :
[TeX]x^3+3x^2+3x+1-2=0
(x+1)^3=2
x=2^{\frac13}-1[/TeX]
(bon ok j'ai d'abord fait appel à un solveur pour me rendre compte de l'astuce big_smile)

Et donc [latex]BD = 2^{\frac13}-1[/latex]

 #3 - 09-03-2011 17:46:53

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Tri_1_ggle

Je trouve [latex]\sqrt[3]2-1\approx 0.2599210498948731647672106072782[/latex]

La construction de [latex]\sqrt[3]2[/latex] me rappelle l'origami.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9 … s_origamis

 #4 - 09-03-2011 18:03:43

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Tri_1_gel

Quatre triangles rectangles pour quatre inconnues, on devrait s'en sortir, non ?

Alors :
[TeX](1+BD)^2 = 1 + BE^2
BE^2 = BC^2 + CE^2
BD^2 + BC^2 = 1
(1+CE)^2 = (1+BD)^2 + BC^2[/TeX]
Je remplace [latex]BC^2[/latex] par [latex]1-BD^2[/latex] grâce à la troisième équation :
[TeX](1+BD)^2 = 1 + BE^2
BE^2 = 1 + CE^2 - BD^2
(1+CE)^2 = (1+BD)^2 + 1 - BD^2[/TeX]
Je remplace [latex]BE^2[/latex] par [latex](1+BD)^2 - 1[/latex] grâce à la première et je réagence tant bien que mal :
[TeX]2 BD^2 + 2 BD = 1 + CE^2
(1+CE)^2 = 2 BD + 2[/TeX]
J'additionne les deux et je simplifie :
[TeX]BD^2 + CE = 1[/TeX]
Je remplace [latex]CE[/latex] par [latex]1-BD^2[/latex] dans la deuxième :
[TeX](2-BD^2)^2 = 2 BD + 2[/TeX]
soit
[TeX]BD^4 - 4 BD^2 - 2 BD + 2 = 0[/TeX]
Wolfram|Alpha me donne 0,511306 comme valeur approchée (l'expression exacte est atroce).

Il devait y avoir plus simple hmm


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #5 - 09-03-2011 20:57:51

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Tri_1_ge

pinklady452 : c'est AD qui vaut 1, pas AB

Mathias : une petite erreur à la deuxième ligne.

Bonnes réponses de L00ping007 et halloduda

 #6 - 10-03-2011 08:25:00

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Tri_1_ggle

Bonjour,
Je considère les 4 triangles rectangles suivants ABC, DBC, AEB et BEC et j'écris pour chacun d'eux le théorème de Pythagore (quoi ? encore lui ? mdr):
(1+CE)2 = (1+BD)2 + BC2
1 = BD2 + BC2
(1+BD)2 = 1 + BE2
BC2 = CE2 + BE2
On a 4 équations à 4 inconnus BD (qui m'intéresse), BC, BE et CE.
Après résolution (pourtant pas trop fastidieuse), je trouve:
BD = (racine cubique de 2) - 1 soit environ 0,25992
Bonne journée.
Frank

 #7 - 10-03-2011 12:56:56

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Tri_1_gl

BD vaut un certain X qui repond a l'equation:
X^4+4X^3+6X^2+2X-1 = 0
soit...0.259921049894873


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #8 - 10-03-2011 15:55:18

franck9525
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Messages : 1922
Lieu: UK

Tri_1_glle

soit [latex]\alpha[/latex] l'angle en A
[TeX]\rm AB=\frac{AE}{cos\alpha}=\frac{1}{cos\alpha}

DB=sin(90-2\alpha)=cos2\alpha=2cos^2\alpha-1
AB=1+DB

on note X=cos(\alpha)
X^3=\frac{1}2
AB=2^{1/3}[/TeX][TeX]\red \fbox{DB=2^{1/3}-1}[/latex][latex] \approx 0.26[/TeX]


The proof of the pudding is in the eating.

 #9 - 12-03-2011 12:48:46

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

Tri_1g_le

H milieu de AC et projection de D sur AC
ADH semblable à ABE
AD/AB = DH/BE= AH/AE=AC/2AE= AC/2

AEB semblable à ABC

AE/AB=BE/BC=AB/AC=1/AC

AC/2=AD/AB=1/AB
AC= AB/AE=AB

AB^2 =2

BD= 2^0,5   -1

 #10 - 12-03-2011 15:15:17

dylasse
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Enigmes résolues : 21
Messages : 374

ri_1_gle

Plus qu'1 heure pour résoudre cette énigme...

Je ressors l'artillerie de la géométrie analytique, dans le repère orthonormé (E,ECx, EBy), les points ont les coordonnées suivantes :
A(-1;0), E(0;0), C(xc;yc), B(0;yb) et D(xd;yd)

Les indications non encore prises en compte sont : DC=1 et AD=1 et D appartient à (AB) et ABC rectangle en B.

DC=1 : (xd-xc)²+yd² = 1
AD=1 : (xd+1)²+yd² = 1
D app (AB) : (xd+1) / (yd) = 1/yb
ABC rest B : (xd)²+(yd-yb)²+yb²+xc²=1

résoudre ce système de 4 équations à 4 inconnues est fasidieux....

Donc je change de méthodes, je fais du pythagore dans les 4 triangles rectangles : ABC, AEB, BDC et BEC

ABC : (BD+1)²+BC²=(1+EC)²
AEB : 1 + BE² = (BD + 1)²
BDC : BD² + BC² = 1
BEC : EC² + BE² = BC²

En remplaçant successivement BC, EB puis EC, on obtient :
BD^4+2BD^3+6BD²+2BD-1=0

Avec Excell (!!!), j'obtiens 0,26614 comme valeur approchée de BD.

 #11 - 12-03-2011 15:47:58

LeSingeMalicieux
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Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Tri_11_gle

Quand je vois la simplicité de la réponse de franck9525, j'ai envie d'aller me pendre...

Chapeau !


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #12 - 12-03-2011 16:52:01

looozer
Expert de Prise2Tete
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Ti_1_gle

Merci à tous d'avoir participé, bravo à tous ceux qui ont trouvé la bonne réponse: 

Mention spéciale à franck9525 qui a su éviter l'équation de degré 4 smile

 #13 - 12-03-2011 19:15:23

dhrm77
L'exilé
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Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

tri_1_gme

Oui bravo a ceux qui ont trouvé en utilisant uniquement les mathématiques.
Personnellement je suis suit servi d'un tableur pour trouver X.
Je me rends compte maintenant que
X^4+4X^3+6X^2+2X-1 = 0
se factorise par:
((x+1)^3 -2)*(x+1) = 0
qui a pour solutions:
x = -1 qui n'est pas possible (donc qui s'élimine)
et il reste les vraies solutions de l'équation (x-1)^3 = 2


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