J'imagine qu'on parle d'une matrice à coefficients dans Z

Je note \lambda_1,...,\lambda_n les valeurs propres de A
$$tr(A)=\sum_{k=1}^n\lambda_k$$ $$tr(A^p)=\sum_{k=1}^n(\lambda_k)^p$$
car les valeurs propres de $A^p$ sont les $(\lambda_k)^p$
$$tr(A)^p=\left(\sum_{k=1}^n\lambda_k\right)^p =\sum_{k=1}^n(\lambda_k)^p [p]$$
La dernière égalité se montre par récurrence et en utilisant le résultat suivant :
$$\forall 0 < k < p, p|C_p^k$$
Outre les puissances p-ièmes des différents $\lambda_k$, il y a toujours un facteur p dans les autres termes.

On arrive donc à l'égalité :
$$tr(A^p)=tr(A)^p [p]$$
Et on utilise le petit théorème de Fermat sur l'entier tr(A) :
$$tr(A)^p=tr(A)[p]$$
On a donc bien l'égalité cherchée :
$$tr(A^p)=tr(A)[p]$$

Pour  L00ping007 (et autres) s'occuper du cas n=2 donc des matrice 2*2 en faisant les calculs explicitement.

Sa sainteté arrive-t-il a trigonaliser dans $Z$?

Ma seule erreur est de ne pas avoir fait attention au fait que les \lambda sont au pire algébriques, mais certainement pas nécessairement entiers. Mon facteur p n'est donc pas utilisable pour un modulo.

Je ne vois pas ma seconde erreur ?

EDIT
D'ailleurs, je pense que je peux m'en sortir avec le développement de la trace puissance p, grâce aux relations coeff/racines, les différents produits de valeurs propres ne doivent pas être bien loin d'être entiers. Du coup le modulo serait valable. Mais ça reste à prouver, j'ai la flemme

"c'est pas faux"

Yanyan a écrit:

Sa sainteté arrive-t-il a trigonaliser dans $Z$?

Loin d'en être sûr.


Tout au plus l'énoncé m'a-t-il laissé penser que les valeurs propres étaient dans $Z$ et le cas général amène à une matrice trigonalisée.

L'invariance de la trace par similitude demeure. Même si cette trace est réelle, la matrice inverse pour trace l'inverse de la trace.
Le produit des deux est donc égal à 1.

On enchaîne ensuite valeur propre par valeur propre. 

la question devient me semble-t-il: une matrice à coefficients dans $Z$ a-t-elle ses valeurs propres dans $Z$.
Je serai tenté de répondre oui, mas il faut que je vérifie.

Et donc, on veut prouver quoi?

On travaille sur $Z$, $Q$ ou $R$?

Donc, sauf erreur, les valeurs propres sont entières et tout a été dit...

Je maintiens mon premier post, jolie énigme, pas simple

Il me semble que tout ceci n'est pas très compliqué!

On commence par réduire modulo p notre petite matrice...

Ensuite, le truc est de travailler dans la cloture algébrique de $\mathbb{F}_p$ dans laquelle la matrice réduite est trigonalisable (comme toute matrice à coefficients dans un corps clos).

Par l'invariance de la trace par changement de base, on se ramène à une matrice triangulaire. Comme vous l'avez dit, si on pose $\lambda_i$ les valeurs propres de la matrices, on a:
$$Tr(A^p)=\sum \lambda_i^p= (\sum \lambda_i)^p=Tr(A)^p \sim Tr(A)$$
la derniere congruence provenant de  ce qu'on est alors dans le corps premier.

Et le tour est joué.

Bravo à tout le monde. C' était trop dur et infaisable dans l'esprit du site, désolé.
Vous vous étonnerez peut-être de la puissance du peintre mais c'est un être polycéphale!