Enigmes

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 #1 - 03-07-2012 12:07:15

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Cadeaux cubiuqes

Cela fait bien longtemps que je n'ai pas proposé d'énigme et comme j'approche de mon 1000ème message, il est temps que je le fasse.

Deux amis mathématiciens ont le même anniversaire et le fêtent ensemble.
Cette année, ils s'offrent mutuellement de beaux cadeaux, chacun dans un emballage cubique.
Curieux de nature, chacun mesure le sien avant de l'ouvrir, et ils constatent que leur cadeaux sont bien cubiques et que la longueur des arêtes sont des nombres entiers de centimètres.
Ils remarquent aussi que la différence des volumes de leurs cadeaux fait 805229 cm^3 et que ces seules informations suffisent à retrouver les dimensions de leurs cadeaux.

Quelles sont ces dimensions?
La case réponse valide L1;L2 sans unité.
Cela est très faisable sans excel ni programme smile

Spoiler : Indice J'y ai pensé en faisant cette énigme



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 #2 - 03-07-2012 13:03:54

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Cadeaux cubiiques

43 et 96 cm.
On note que 805229 est divisible par 53, différence entre les deux longueurs. Il ne reste plus qu'une equation simple du second degré, la racine à trouver étant entière.


The proof of the pudding is in the eating.

 #3 - 03-07-2012 14:17:10

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Cadeau xcubiques

Donc, on a des dimensions a^3 et b^3, avec a et b entiers, dont la différence fait 805229 :

a^3 - b^3 = 805229
(a-b)(a^2+ab+b^2) = 805229

805229 = 53 * 15193 (décomposition en facteurs premiers), donc a-b=53 et a^2+b^2+ab = 15193.

a=b+53, qu'on remplace dans l'équation de degré deux :

(b+53)^2+b^2+b(b+53) = 15193

Seule racine positive : b=43, d'où a=96.


Sont quand même bien tarés, ces matheux.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 03-07-2012 14:24:16

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

aCdeaux cubiques

a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) = 53*15193

donc a-b=53 et (a-b)^2 + 3ab = 15193

a-b=53 et  ab = 4128

D'ou a=96 et b= 43

 #5 - 03-07-2012 15:35:51

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Cadeaux cubiqus

En dépit de la case réponse qui ne valide pas,
L1=96 cm       L1³= 884736
L2=43 cm       L2³=   79507
      différence          805229

méthode :
805229=53*15293
(x+53)³-x³=805229 donne x=43, x+53=96

 #6 - 03-07-2012 16:13:50

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

Cadeaux ucbiques

En effet, la présentation de l'énigme suggère d'utiliser la même méthode qu'avec l'énigme du camion de Léon, pas avec des carrés mais des cubes cette fois-ci.

On a donc a^3 - b^3 = 805229, a et b étant les longueurs d'arête des deux cadeaux.

Si on décompose en facteurs premiers 805229, on trouve :
805229 = 53 * 15193

De plus, grâce aux identités remarquables, on peut exprimer a^3 - b^3 ainsi :

a^3 - b^3 = (a - b)(a² + ab + b²)

On peut donc en déduire que :
a - b = 53
a² + ab + b² = 15193


Il suffit alors d'exprimer par exemple b en fonction de a (chose à laquelle je n'ai pas pensé automatiquement, c'est fou ces vieux réflexes qui nous laissent supposer que c'est d'emblée trop difficile quand on voit un tel système d'équations...), pour écrire la deuxième équation en fonction d'une seule inconnue :
a² + a(a + 53) + (a+53)² = 15193
3a² + 159a + 53² = 15193
a² + 53a - 4128 = 0


Hop, équation du second degré à coefs constants !!! Le discriminant vaut :
53² + 4*4128 = 19321 = 139²

Une des deux racines est négative, l'autre positive. On prend donc la racine positive :

a = (139-53)/2 = 43

et donc
a = 43cm et b = 96cm


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #7 - 03-07-2012 16:24:01

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

cadeaux cuboques

Bonjour

On doit résoudre l'équation en entiers : [latex]y^3-x^3=805229[/latex] c'est à dire [latex](y-x)(x^2+y^2+xy)=53\times 15193[/latex] alors [latex]y-x=53[/latex] et en substituant [latex]x^2+159x-1384=(x-43)(x+96)=0[/latex] c'est à dire [latex]x=43[/latex] et [latex]y=96[/latex] .

L'exercice est sans doute bien plus long à mettre en place qu'à résoudre smile

Vasimolo

 #8 - 03-07-2012 16:35:51

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

Cadeaux cubiquues

Bonjour,
On cherche a et b, avec a > b, tel que a³ - b³ = 805 229, soit encore
(a - b)(a² + ab + b²) = 53 x 15193
Donc a-b prend l'une des 4 valeurs n suivantes: 1; 53; 15 193 ou 805 229.
On a les relations: a - b = n; a² + ab + b² = m et n.m = 805 229, d'où:
b = a - n et a² - n.a + (n² - 805 229 / n) / 3 = 0
D = (3 220 916 / n - n²) / 3 et a = n / 2 +- VD / 2
En passant à l'application numérique, et en gardant la racine positive, je trouve:
n = 53; VD = 139; a = 96 et b = 43, qui est la seule solution entière possible.
La valeur 43;96 est validée par la case-réponse.
Même avec le troisième degré, ce problème est faisable avec peu de calcul, mais
un peu de raisonnement, et c'est ainsi qu'on aime se prendre la tête.
Merci pour cette énigme et bonne journée.

 #9 - 03-07-2012 20:28:21

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Caadeaux cubiques

Cette fois je la fais à la machine: (96,43).
Mais bon, c'est déja du vécu....

 #10 - 03-07-2012 21:29:21

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Cadeaux cuiques

43;96

a^3-b^3=(a-b)(a²+ab+b²)

805229=53*15193
a-b=53, a-53=b
on remplace l'expression pour obtenir une equation de degré 2 et voilà, on résout, discriminant et tout...


Merci pour l'énigme!


Un promath- actif dans un forum actif

 #11 - 04-07-2012 10:21:56

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Cadeaux cbuiques

Que des bonnes réponses. Bravo à tous.
Et pour ceux qui n'ont pas encore essayé, ne vous laissez pas impressionner par ces matheux qui mesurent les cadeaux au lieu de les ouvrir... smile

Spoiler : Indice Lorsqu'on cherche à résoudre des équations un peu complexes en nombres entiers, la factorisation et la décomposition en facteurs premiers est parfois très efficace.

 #12 - 04-07-2012 22:02:46

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Cadeaux cubiqeus

It smells Diophante...
x²-y²=805229 pas eu le temps de le faire. Si j'ai le temps... wink

Pour les nombres premiers, pour le moment je n'en vois pas l'usage. smile

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #13 - 05-07-2012 22:29:14

Echiquier
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 6
Messages : 1

Cadeaux cubiquues

96;43

 #14 - 06-07-2012 00:03:08

elpafio
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
Messages : 828

Caedaux cubiques

Décomposition de 805229 en facteurs premiers: 53 * 15193

Différence de volume entre les 2 cubes ayant des arêtes de longueurs a et b:
[TeX]a^3-b^3=(a-b)*(a²+ab+b²)[/TeX][TeX](a-b) = 53[/TeX][TeX]a = b+53[/TeX][TeX](b+53)² + (b+53)b + b² = 15193[/TeX][TeX] b² + 106b + 53² + b² + 53b + b² = 15193[/TeX][TeX] 3b² + 159b + 2809 = 15193[/TeX][TeX] 3b² + 159b = 12384[/TeX]
équation du second degré dont la solution est:
b = 43

d'où a = 43 + 53 = 96

Merci rivas.
Si après ça j'arrive à m'endormir, j'aurais bien de la chance smile


Rendez les choses aussi simples que possible, mais pas plus simples. Albert Einstein

 #15 - 06-07-2012 12:17:15

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

cadeaux cuboques

On a donc : (a-b) * (a² + ab + b²) = 805229

Heureusement, ce nombre se décompose en 2 nombres premiers :
a-b = 53 et (a² + ab + b²) = 15193   (merci dcode wink )

et la recherche devient beaucoup plus facile !
                 a = 43 et b = 96 smile

Bien vu !

 #16 - 06-07-2012 12:57:32

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

czdeaux cubiques

A oui je n'y avais pas pensé, la prochaine fois j'y penserai.

Shadock smile
PS : Je n'étais pas loin


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #17 - 09-07-2012 09:49:44

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

cadeaux cubiquzs

Je n'avais pas clôturé cette énigme dans les formes.
Félicitations à tous.

L'astuce à utiliser était donc bien de factoriser (elle était simple à factoriser celle là) puis d'utiliser la décomposition en facteurs premiers pour finir en quelques lignes.

 #18 - 09-07-2012 10:38:06

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Cadeaux cuubiques

rivas a écrit:

elle était simple à factoriser celle là

Ouais, tranquille. De tête, pépère, trente secondes, crac, t'as vu cool


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
 

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