43 et 96 cm.
On note que 805229 est divisible par 53, différence entre les deux longueurs. Il ne reste plus qu'une equation simple du second degré, la racine à trouver étant entière.

a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) = 53*15193

donc a-b=53 et (a-b)^2 + 3ab = 15193

a-b=53 et  ab = 4128

D'ou a=96 et b= 43

En effet, la présentation de l'énigme suggère d'utiliser la même méthode qu'avec l'énigme du camion de Léon, pas avec des carrés mais des cubes cette fois-ci.

On a donc a^3 - b^3 = 805229, a et b étant les longueurs d'arête des deux cadeaux.

Si on décompose en facteurs premiers 805229, on trouve :
805229 = 53 * 15193

De plus, grâce aux identités remarquables, on peut exprimer a^3 - b^3 ainsi :

a^3 - b^3 = (a - b)(a² + ab + b²)

On peut donc en déduire que :
a - b = 53
a² + ab + b² = 15193

Il suffit alors d'exprimer par exemple b en fonction de a (chose à laquelle je n'ai pas pensé automatiquement, c'est fou ces vieux réflexes qui nous laissent supposer que c'est d'emblée trop difficile quand on voit un tel système d'équations...), pour écrire la deuxième équation en fonction d'une seule inconnue :
a² + a(a + 53) + (a+53)² = 15193
3a² + 159a + 53² = 15193
a² + 53a - 4128 = 0

Hop, équation du second degré à coefs constants !!! Le discriminant vaut :
53² + 4*4128 = 19321 = 139²

Une des deux racines est négative, l'autre positive. On prend donc la racine positive :

a = (139-53)/2 = 43

et donc
a = 43cm et b = 96cm

Bonjour,
On cherche a et b, avec a > b, tel que a³ - b³ = 805 229, soit encore
(a - b)(a² + ab + b²) = 53 x 15193
Donc a-b prend l'une des 4 valeurs n suivantes: 1; 53; 15 193 ou 805 229.
On a les relations: a - b = n; a² + ab + b² = m et n.m = 805 229, d'où:
b = a - n et a² - n.a + (n² - 805 229 / n) / 3 = 0
D = (3 220 916 / n - n²) / 3 et a = n / 2 +- VD / 2
En passant à l'application numérique, et en gardant la racine positive, je trouve:
n = 53; VD = 139; a = 96 et b = 43, qui est la seule solution entière possible.
La valeur 43;96 est validée par la case-réponse.
Même avec le troisième degré, ce problème est faisable avec peu de calcul, mais
un peu de raisonnement, et c'est ainsi qu'on aime se prendre la tête.
Merci pour cette énigme et bonne journée.

43;96

a^3-b^3=(a-b)(a²+ab+b²)

805229=53*15193
a-b=53, a-53=b
on remplace l'expression pour obtenir une equation de degré 2 et voilà, on résout, discriminant et tout...


Merci pour l'énigme!

It smells Diophante...
x²-y²=805229 pas eu le temps de le faire. Si j'ai le temps...

Pour les nombres premiers, pour le moment je n'en vois pas l'usage.

Shadock

Décomposition de 805229 en facteurs premiers: 53 * 15193

Différence de volume entre les 2 cubes ayant des arêtes de longueurs a et b:
[TeX]a^3-b^3=(a-b)*(a²+ab+b²)[/TeX][TeX](a-b) = 53[/TeX][TeX]a = b+53[/TeX][TeX](b+53)² + (b+53)b + b² = 15193[/TeX][TeX] b² + 106b + 53² + b² + 53b + b² = 15193[/TeX][TeX] 3b² + 159b + 2809 = 15193[/TeX][TeX] 3b² + 159b = 12384[/TeX]
équation du second degré dont la solution est:
b = 43

d'où a = 43 + 53 = 96

Merci rivas.
Si après ça j'arrive à m'endormir, j'aurais bien de la chance

A oui je n'y avais pas pensé, la prochaine fois j'y penserai.

Shadock
PS : Je n'étais pas loin

rivas a écrit:

elle était simple à factoriser celle là

Ouais, tranquille. De tête, pépère, trente secondes, crac, t'as vu