![](/img/vague-bas-gauche.png) |
#1 - 03-07-2012 12:07:15
- rivas
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 48
- Messages : 1106
- Lieu: Jacou
cafeaux cubiques
Cela fait bien longtemps que je n'ai pas proposé d'énigme et comme j'approche de mon 1000ème message, il est temps que je le fasse.
Deux amis mathématiciens ont le même anniversaire et le fêtent ensemble. Cette année, ils s'offrent mutuellement de beaux cadeaux, chacun dans un emballage cubique. Curieux de nature, chacun mesure le sien avant de l'ouvrir, et ils constatent que leur cadeaux sont bien cubiques et que la longueur des arêtes sont des nombres entiers de centimètres. Ils remarquent aussi que la différence des volumes de leurs cadeaux fait 805229 cm^3 et que ces seules informations suffisent à retrouver les dimensions de leurs cadeaux.
Quelles sont ces dimensions? La case réponse valide L1;L2 sans unité. Cela est très faisable sans excel ni programme ![smile](img/smilies/smile.png)
Spoiler : Indice J'y ai pensé en faisant cette énigme
#2 - 03-07-2012 13:03:54
- franck9525
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 48
- Messages : 1935
- Lieu: 86310
Cdeaux cubiques
43 et 96 cm. On note que 805229 est divisible par 53, différence entre les deux longueurs. Il ne reste plus qu'une equation simple du second degré, la racine à trouver étant entière.
The proof of the pudding is in the eating.
#3 - 03-07-2012 14:17:10
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 12,414E+3
- Lieu: Rouen
Cadeau xcubiques
Donc, on a des dimensions a^3 et b^3, avec a et b entiers, dont la différence fait 805229 :
a^3 - b^3 = 805229 (a-b)(a^2+ab+b^2) = 805229
805229 = 53 * 15193 (décomposition en facteurs premiers), donc a-b=53 et a^2+b^2+ab = 15193.
a=b+53, qu'on remplace dans l'équation de degré deux :
(b+53)^2+b^2+b(b+53) = 15193
Seule racine positive : b=43, d'où a=96.
Sont quand même bien tarés, ces matheux.
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#4 - 03-07-2012 14:24:16
- gwen27
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 5,952E+3
Cadeaux cubique
a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) = 53*15193
donc a-b=53 et (a-b)^2 + 3ab = 15193
a-b=53 et ab = 4128
D'ou a=96 et b= 43
#5 - 03-07-2012 15:35:51
- halloduda
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 24
- Messages : 495
- Lieu: Ardèche
Caddeaux cubiques
En dépit de la case réponse qui ne valide pas, L1=96 cm L1³= 884736 L2=43 cm L2³= 79507 différence 805229
méthode : 805229=53*15293 (x+53)³-x³=805229 donne x=43, x+53=96
#6 - 03-07-2012 16:13:50
- SHTF47
- Imprnnçbl de Prs2Tt
- Enigmes résolues : 39
- Messages : 1629
- Lieu: Autre nom du colin
xadeaux cubiques
En effet, la présentation de l'énigme suggère d'utiliser la même méthode qu'avec l'énigme du camion de Léon, pas avec des carrés mais des cubes cette fois-ci.
On a donc a^3 - b^3 = 805229, a et b étant les longueurs d'arête des deux cadeaux.
Si on décompose en facteurs premiers 805229, on trouve : 805229 = 53 * 15193
De plus, grâce aux identités remarquables, on peut exprimer a^3 - b^3 ainsi :
a^3 - b^3 = (a - b)(a² + ab + b²)
On peut donc en déduire que : a - b = 53 a² + ab + b² = 15193
Il suffit alors d'exprimer par exemple b en fonction de a (chose à laquelle je n'ai pas pensé automatiquement, c'est fou ces vieux réflexes qui nous laissent supposer que c'est d'emblée trop difficile quand on voit un tel système d'équations...), pour écrire la deuxième équation en fonction d'une seule inconnue : a² + a(a + 53) + (a+53)² = 15193 3a² + 159a + 53² = 15193 a² + 53a - 4128 = 0
Hop, équation du second degré à coefs constants !!! Le discriminant vaut : 53² + 4*4128 = 19321 = 139²
Une des deux racines est négative, l'autre positive. On prend donc la racine positive :
a = (139-53)/2 = 43
et donc a = 43cm et b = 96cm
La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]
#7 - 03-07-2012 16:24:01
- Vasimolo
- Le pâtissier
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 5,418E+3
Cadeaux ccubiques
Bonjour
On doit résoudre l'équation en entiers : [latex]y^3-x^3=805229[/latex] c'est à dire [latex](y-x)(x^2+y^2+xy)=53\times 15193[/latex] alors [latex]y-x=53[/latex] et en substituant [latex]x^2+159x-1384=(x-43)(x+96)=0[/latex] c'est à dire [latex]x=43[/latex] et [latex]y=96[/latex] .
L'exercice est sans doute bien plus long à mettre en place qu'à résoudre ![smile](img/smilies/smile.png)
Vasimolo
#8 - 03-07-2012 16:35:51
- Franky1103
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 3218
- Lieu: Luxembourg
Cadeau cubiques
Bonjour, On cherche a et b, avec a > b, tel que a³ - b³ = 805 229, soit encore (a - b)(a² + ab + b²) = 53 x 15193 Donc a-b prend l'une des 4 valeurs n suivantes: 1; 53; 15 193 ou 805 229. On a les relations: a - b = n; a² + ab + b² = m et n.m = 805 229, d'où: b = a - n et a² - n.a + (n² - 805 229 / n) / 3 = 0 D = (3 220 916 / n - n²) / 3 et a = n / 2 +- VD / 2 En passant à l'application numérique, et en gardant la racine positive, je trouve: n = 53; VD = 139; a = 96 et b = 43, qui est la seule solution entière possible. La valeur 43;96 est validée par la case-réponse. Même avec le troisième degré, ce problème est faisable avec peu de calcul, mais un peu de raisonnement, et c'est ainsi qu'on aime se prendre la tête. Merci pour cette énigme et bonne journée.
#9 - 03-07-2012 20:28:21
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 3801
cadezux cubiques
Cette fois je la fais à la machine: (96,43). Mais bon, c'est déja du vécu....
#10 - 03-07-2012 21:29:21
- Promath-
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 18
- Messages : 1416
- Lieu: Au fond de l'univers
cadezux cubiques
43;96
a^3-b^3=(a-b)(a²+ab+b²)
805229=53*15193 a-b=53, a-53=b on remplace l'expression pour obtenir une equation de degré 2 et voilà, on résout, discriminant et tout...
Merci pour l'énigme!
Un promath- actif dans un forum actif
#11 - 04-07-2012 10:21:56
- rivas
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 48
- Messages : 1106
- Lieu: Jacou
Cadeaux cubique
Que des bonnes réponses. Bravo à tous. Et pour ceux qui n'ont pas encore essayé, ne vous laissez pas impressionner par ces matheux qui mesurent les cadeaux au lieu de les ouvrir... ![smile](img/smilies/smile.png)
Spoiler : Indice Lorsqu'on cherche à résoudre des équations un peu complexes en nombres entiers, la factorisation et la décomposition en facteurs premiers est parfois très efficace.
#12 - 04-07-2012 22:02:46
- shadock
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 39
- Messages : 3334
Cadeax cubiques
It smells Diophante... x²-y²=805229 pas eu le temps de le faire. Si j'ai le temps... ![wink](img/smilies/wink.png)
Pour les nombres premiers, pour le moment je n'en vois pas l'usage. ![smile](img/smilies/smile.png)
Shadock
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#13 - 05-07-2012 22:29:14
- Echiquier
- Amateur de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 6
- Messages : 1
#14 - 06-07-2012 00:03:08
- elpafio
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 43
- Messages : 1015
Cadeau xcubiques
Décomposition de 805229 en facteurs premiers: 53 * 15193
Différence de volume entre les 2 cubes ayant des arêtes de longueurs a et b: [TeX]a^3-b^3=(a-b)*(a²+ab+b²)[/TeX][TeX](a-b) = 53[/TeX][TeX]a = b+53[/TeX][TeX](b+53)² + (b+53)b + b² = 15193[/TeX][TeX] b² + 106b + 53² + b² + 53b + b² = 15193[/TeX][TeX] 3b² + 159b + 2809 = 15193[/TeX][TeX] 3b² + 159b = 12384[/TeX] équation du second degré dont la solution est: b = 43
d'où a = 43 + 53 = 96
Merci rivas. Si après ça j'arrive à m'endormir, j'aurais bien de la chance ![smile](img/smilies/smile.png)
#15 - 06-07-2012 12:17:15
- Jackv
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 34
- Messages : 3483
- Lieu: 94110
Cadeaux cubbiques
On a donc : (a-b) * (a² + ab + b²) = 805229
Heureusement, ce nombre se décompose en 2 nombres premiers : a-b = 53 et (a² + ab + b²) = 15193 (merci dcode )
et la recherche devient beaucoup plus facile ! a = 43 et b = 96 ![smile](img/smilies/smile.png)
Bien vu !
#16 - 06-07-2012 12:57:32
- shadock
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 39
- Messages : 3334
caseaux cubiques
A oui je n'y avais pas pensé, la prochaine fois j'y penserai.
Shadock ![smile](img/smilies/smile.png) PS : Je n'étais pas loin
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#17 - 09-07-2012 09:49:44
- rivas
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 48
- Messages : 1106
- Lieu: Jacou
cadzaux cubiques
Je n'avais pas clôturé cette énigme dans les formes. Félicitations à tous.
L'astuce à utiliser était donc bien de factoriser (elle était simple à factoriser celle là) puis d'utiliser la décomposition en facteurs premiers pour finir en quelques lignes.
#18 - 09-07-2012 10:38:06
- MthS-MlndN
- Hors d'u-Sage
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 12,414E+3
- Lieu: Rouen
cadeauw cubiques
rivas a écrit:elle était simple à factoriser celle là
Ouais, tranquille. De tête, pépère, trente secondes, crac, t'as vu ![cool](img/smilies/cool.png)
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
Mots clés des moteurs de recherche
|
![](/img/vague-haut-droite.png) |