Enigmes

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 #1 - 28-12-2010 17:08:22

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 163
Lieu: devant mon écran

Tout nombre réel est un multiple entier ed pi.

Toute personne ayant déjà suivi un cours sur les nombres complexes, sait qu'ils n'ont pas été inventés pour créer des solutions aux équations du style x² = -1, mais bien pour trouver des solutions réelles à certaines équations dont les méthodes de résolution nécessitaient la manipulation de racines carrées de nombres négatifs.

Ce que l'on sait moins c'est que ces nombres complexes permettent aussi de prouver que tout nombre réel est un multiple entier de π.

Vous ne me croyez pas... alors lisez ceci.

Considérons un angle complexe a tel que tan a = i
En prenant un nombre réel quelconque r et en utilsant la formule de la tangente d'une somme, il vient :

tan (a + r) = (tan a + tan r) / (1 - tan a tan r)

            = (i + tan r) / (1 - i tan r)

            = i (1 - i tan r) / (1 - i tan r)

Et comme r est réel, 1 – i tan r ne peut être nul.

Il en résulte donc que

tan (a + r)  = i = tan a, ce qui implique que a et a + r sont égaux à un multiple entier de pi près.

Finalement, il vient
a + r = a + npi et donc

r = npi avec r un réel quelconque et n un entier tout aussi quelconque...



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 #2 - 28-12-2010 17:19:53

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3764
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Tout nombrre réel est un multiple entier de pi.

Bah voyons... C'est très facétieux, tout ça... big_smile

Donc, si je choisis par exemple comme réel le nombre 1, alors 1 est un multiple entier de pi ? big_smile

J'ai comme l'impression que poser l'équation tan(a) = i est très hardi....


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #3 - 28-12-2010 17:21:54

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Tut nombre réel est un multiple entier de pi.

La formule de la tangente d'une somme ne me semble valable que pour une fonction tangente de R dans R. Il faudrait redéfinir tout le bazar correctement avant de pouvoir en tirer une conclusion.
En fait, tu as plutôt démontré que cette formule ne marche pas de C dans C.

 #4 - 28-12-2010 18:21:30

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 163
Lieu: devant mon écran

Tout nombre réel est un multpile entier de pi.

@milou

tan (3i) = -i (1 - exp 6) / (1 + exp 6)

si on utilise la formule, on obtient :

tan (i + 2i) = (tan i + tan (2i)) / (1 - tan i tan (2i))
                = ...
                = -i (1 - exp 6) / (1 + exp 6)

cela semble correct...


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 #5 - 28-12-2010 19:25:54

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

tout nombre réel est un multiple entirr de pi.

Si je ne m'abuse, la phrase "Considérons un angle complexe [latex]\alpha[/latex] tel que [latex]\tan \alpha= i[/latex]" est une arnaque :-)

un tel angle n'existe pas ! Sinon on aurait :
[TeX]\tan \alpha = i [/TeX]
[TeX] \Rightarrow \tan^2 a = -1[/TeX]
[latex] \Rightarrow \tan^2 a + 1 =0 [/latex] et en multipliant par [latex]\cos^2\alpha[/latex] de chaque côté on trouverait:
[latex]\sin^2 a + \cos^2\alpha = 0[/latex] d'où [latex]0=1[/latex] big_smile

 #6 - 29-12-2010 01:39:23

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

tout nombre eéel est un multiple entier de pi.

J'ai comme l'impression que définir la tangente d'un complexe est un viol de règles élémentaires des mathématiques... Et c'est dommage, car la démonstration est belle wink

Et je viens de penser à un truc : la formule pour [latex]tan(a+b)[/latex] est obtenue grâce à un passage aux complexes, non ? Un truc du genre [latex]tan(a+b) = \frac{Re(e^{i(a+b)})}{Im(e^{i(a+b)})}[/latex] ? Auquel cas a et b doivent être réels : on peut peut-être définir la tangente d'un complexe, mais la formule pour tan(a+b) ne s'applique alors pas à ce cas...

Pas sûr, mais à creuser.


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 #7 - 29-12-2010 08:35:33

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

tout nombre réel zst un multiple entier de pi.

Comme la conclusion est fausse, c'est qu'il y a une erreur glissée dans l'énoncé.

La trigonométrie avec des complexes n'est pas un domaine que je pratique tous les jours, c'est donc sans doute par là que se situe le piège...
La formule de la tangente d'une somme s'applique aux complexes.
2kpi est bien la période de la tangente complexe.
Il y a donc à parier que l'hypothèse "considérons a tel que tan a = i soit impossible"...
En effet, si on essaie de résoudre tan a = i dans C, on ne trouve pas de solution car il faudrait un réel x qui vérifie th(x)=1 (soit exp(-x)=0).

 #8 - 30-12-2010 15:18:44

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

tout bombre réel est un multiple entier de pi.

Amusant aussi smile
[TeX]tanz=\dfrac{e^{-iz}-e^{iz}}{e^{-iz}+e^{iz}}[/TeX][TeX]tanz=i \Leftrightarrow e^{-iz}-e^{iz}=1\text{ et }e^{-iz}+e^{iz}=1\Leftrightarrow e^{-iz}=1\text{ et }e^{iz}=0[/TeX]
Or cela n'est pas possible. Un tel a n'existe pas et donc toute la démonstration non plus... Ouf... smile

Merci pour cette amusette.

 #9 - 31-12-2010 00:22:14

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 163
Lieu: devant mon écran

Tout nombr réel est un multiple entier de pi.

Bravo à gasole, dylasse et rivas.

Contrairement à ce que certains ont écrit, la formule de la tangente d'une somme fonctionne très bien avec des nombres complexes.

Le seul problème de cette démonstration est qu'il n'existe pas de nombre complexe a tel que tan a = i, car comme l'a très bien montré rivas, cela équivaudrait à annuler une exponentielle, ce qui est évidemment impossible.

Il m'en reste une petite du même style mais plus géométrique, je vous la proposerai l'année prochaine...


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 #10 - 31-12-2010 13:36:56

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Tout nombre réel est un multple entier de pi.

C'est noté smile


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 #11 - 31-12-2010 22:50:54

safino
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 14
Messages : 9

TTout nombre réel est un multiple entier de pi.

chui nouveau dans ce site mais je croix que gasole ne peux pas multiplier par cos^2(x) que si x<>pi/2 alors la démonstration serait valable si x<>pi/2

 #12 - 01-01-2011 04:13:19

fred101274
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 163
Lieu: devant mon écran

Toutt nombre réel est un multiple entier de pi.

@safino

Si x = pi/2 alors tan x est différent de i...
Je suis peut-être saoul mais quand même...

Bonne année à tous.


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