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 #26 - 10-03-2011 23:51:09

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

grznd paradoxe !

Non, pas susceptible, j'avais juste pas compris que c'était justement ça, la question smile smile
(Bon en même temps, ça tombe toujours sur tes posts, donc je suis en train de me faire une sale image à tes yeux)

Pour revenir au sujet, j'ai eu des cours de "Logique & systèmes formels", mais même avant cela on faisait un peu de logique en prépa. Ok, à l'époque le fait de dire "faux implique vrai est vrai" à une classe de MP ça avait choqué plus d'un taupin, mais un de mes meilleurs souvenirs de sujets de khôlle était "Démontrer le principe de récurrence"

Dans le même genre, n'importe quel matheux te dira (ou plutôt récitera) "une relation d'ordre dans E est une relation réflexive, transitive et antisymétrique" et "une relation d'équivalence dans E est une relation réflexive, transitive et symétrique"; mais je suis pas sûr que le fait qu'une relation soit une fonction de ExE dans {Vrai, Faux} soit triviale

#0 Pub

 #27 - 10-03-2011 23:58:19

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Grand paraoxe !

T'inquiète pas Scarta, je me suis fait à ton ton (ton taine)...

Je n'ai pas chipoté, mais (chut c'est un secret) : la logique ne se réduit pas à la logique booléenne (et la logique du premier ordre alors ??? et celle du second ordre ?) pfff on vous apprend quoi en prépa ? wink

 #28 - 11-03-2011 00:32:31

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2123

Grand paradooxe !

Une fourmi de dix-huit mètres
avec un chapeau sur la tête
ça n'existe pas, ça n'existe pas smile


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #29 - 11-03-2011 00:42:46

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

rand paradoxe !

@papiauche : mais si ça existe des fourmis de 18 mètres avec un chapeau sur la tête, la preuve on en parle.

Réponse typique de logicien que la mienne big_smile

 #30 - 11-03-2011 09:21:43

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Grand praadoxe !

pfff on vous apprend quoi en prépa ?

Je ne me souviens plus lol


http://enigmusique.blogspot.com/

 #31 - 11-03-2011 10:00:39

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Grand paradoxee !

Ouah que de souvenirs cette chanson smile

 #32 - 11-03-2011 10:29:16

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

grans paradoxe !

Une récurrence doit s'appliquer sur un élément d'un ensemble qui a déjà la propriété concernée de l'ensemble.

2) si quelqu'un qui mesure x cm n'est pas très grand alors quelqu'un qui mesure x+1 cm non plus, n'est-ce pas ?

Est une affirmation fausse, car il y a contradiction interne entre le
"pas très grand" et le "+" de "x+1".
Tu as pris le "x+1" dans un ensemble qui n'a pas la propriété "pas très grand".

On peut dire :

si x est "très grand", alors x+1 est "très grand"
si y n'est pas "très grand", y-1 n'est pas "très grand".

On ne peut pas en dire plus, sinon qu'entre x et y il existe une plage limite
d'épaisseur indéfinie dans laquelle z n'est ni "très grand" ni "pas très grand".

 #33 - 11-03-2011 12:17:12

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

grans paradoxe !

@halloduda : je ne suis pas d'accord, cite-moi un x tel que à x cm on n'est pas "très grand" et qu'on soit "très grand" à x+1 cm... non, le problème n'est pas là, il est, je le redis, dans la notion de propriété : quelles sont les propriétés sur lesquelles on peut raisonner par récurrence ?

 #34 - 11-03-2011 13:40:49

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Grand paradoe !

Bon, allez, le débat ne passionne pas les foules, alors levons le voile.

C'est quoi finalement une propriété pour laquelle le principe de récurrence est applicable sans restriction ? C'est quoi une propriété "pas floue", "objective", "précise" ? Pourquoi certaines propriétés posent un problème de limites et d'autres pas ?

"numérique" ? c'est encore vague... à quelles opérations on a droit, etc etc

Dans la Grèce antique, ça portait un nom : un prédicat, la logique moderne lui a substitué la notion d'ensemble. Une propriété, c'est un ensemble.

Avoir ou pas la propriété revient à appartenir ou pas à l'ensemble associé.

Pour les entiers, une propriété c'est donc juste une partie de [latex]\mathbb{N}[/latex], autrement dit, on identifie [latex]P(n)[/latex] avec [latex]n\in P[/latex].

Ainsi, les nombres premiers forment une partie de [latex]\mathbb{N}[/latex], "être premier" est une propriété, en revanche les tailles humaines qu'on peut qualifier de "très grandes" ne forment pas une partie de [latex]\mathbb{N}[/latex], car étant donné une taille on ne peut pas toujours dans l'absolu (à moins de mettre un seuil arbitraire) la classer dans les très grandes ou pas. On peut en juger pour 2m50 ou 1m10, mais pas pour 1m82 ou 1m92. Idem pour les plages, impossible de dire à partir de quand on devient (potentiellement) une plage.

On peut ensuite prouver que si une propriété [latex]P[/latex] est un ensemble alors le principe de récurrence s'y applique correctement :
En effet, supposons que :
1) [latex]0\in P[/latex]
2) [latex]\forall n\geq 0 : n\in P \rightarrow (n+1)\in P[/latex]

et prouvons que : [latex]\forall n\geq 0 : n\in P[/latex]

Par l'absurde, si [latex]\exists n\geq 0 : n\not\in P[/latex] alors soit [latex]E=\{m\in\mathbb{N} : m\not\in P\}[/latex], or par hypothèse [latex]E\neq \emptyset[/latex].
Comme toute partie de [latex]\mathbb{N}[/latex] admet une borne inférieure, soit [latex]n_0=\inf(E)[/latex], [latex]n_0\neq 0[/latex] car [latex]0\in P[/latex], donc [latex]n_0[/latex] a un prédecesseur dans [latex]\mathbb{N}[/latex] qu'on appelle habituellement [latex]n_0-1[/latex]. Mais [latex]n_0-1 \in P[/latex], et donc, d'après l'hypothèse 2, [latex]n_0\in P[/latex] : contradiction.

Cette démonstration n'est possible que si l'on peut former l'ensemble [latex]E[/latex].

Mais si une propriété est une partie de [latex]\mathbb{N}[/latex], il y a donc autant de propriétés distinctes que de partie de [latex]\mathbb{N}[/latex], soit [latex]2^{\aleph_0}[/latex]. Pour ceux qui en ont entendu parler, ceci est à la base du théorème de Gödel : il y a plus de propriétés possibles que de formules les exprimant...

 

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