Non, pas susceptible, j'avais juste pas compris que c'était justement ça, la question
(Bon en même temps, ça tombe toujours sur tes posts, donc je suis en train de me faire une sale image à tes yeux)

Pour revenir au sujet, j'ai eu des cours de "Logique & systèmes formels", mais même avant cela on faisait un peu de logique en prépa. Ok, à l'époque le fait de dire "faux implique vrai est vrai" à une classe de MP ça avait choqué plus d'un taupin, mais un de mes meilleurs souvenirs de sujets de khôlle était "Démontrer le principe de récurrence"

Dans le même genre, n'importe quel matheux te dira (ou plutôt récitera) "une relation d'ordre dans E est une relation réflexive, transitive et antisymétrique" et "une relation d'équivalence dans E est une relation réflexive, transitive et symétrique"; mais je suis pas sûr que le fait qu'une relation soit une fonction de ExE dans {Vrai, Faux} soit triviale

Une fourmi de dix-huit mètres
avec un chapeau sur la tête
ça n'existe pas, ça n'existe pas

pfff on vous apprend quoi en prépa ?

Je ne me souviens plus

Une récurrence doit s'appliquer sur un élément d'un ensemble qui a déjà la propriété concernée de l'ensemble.

2) si quelqu'un qui mesure x cm n'est pas très grand alors quelqu'un qui mesure x+1 cm non plus, n'est-ce pas ?

Est une affirmation fausse, car il y a contradiction interne entre le
"pas très grand" et le "+" de "x+1".
Tu as pris le "x+1" dans un ensemble qui n'a pas la propriété "pas très grand".

On peut dire :

si x est "très grand", alors x+1 est "très grand"
si y n'est pas "très grand", y-1 n'est pas "très grand".

On ne peut pas en dire plus, sinon qu'entre x et y il existe une plage limite
d'épaisseur indéfinie dans laquelle z n'est ni "très grand" ni "pas très grand".

Bon, allez, le débat ne passionne pas les foules, alors levons le voile.

C'est quoi finalement une propriété pour laquelle le principe de récurrence est applicable sans restriction ? C'est quoi une propriété "pas floue", "objective", "précise" ? Pourquoi certaines propriétés posent un problème de limites et d'autres pas ?

"numérique" ? c'est encore vague... à quelles opérations on a droit, etc etc

Dans la Grèce antique, ça portait un nom : un prédicat, la logique moderne lui a substitué la notion d'ensemble. Une propriété, c'est un ensemble.

Avoir ou pas la propriété revient à appartenir ou pas à l'ensemble associé.

Pour les entiers, une propriété c'est donc juste une partie de [latex]\mathbb{N}[/latex], autrement dit, on identifie [latex]P(n)[/latex] avec [latex]n\in P[/latex].

Ainsi, les nombres premiers forment une partie de [latex]\mathbb{N}[/latex], "être premier" est une propriété, en revanche les tailles humaines qu'on peut qualifier de "très grandes" ne forment pas une partie de [latex]\mathbb{N}[/latex], car étant donné une taille on ne peut pas toujours dans l'absolu (à moins de mettre un seuil arbitraire) la classer dans les très grandes ou pas. On peut en juger pour 2m50 ou 1m10, mais pas pour 1m82 ou 1m92. Idem pour les plages, impossible de dire à partir de quand on devient (potentiellement) une plage.

On peut ensuite prouver que si une propriété [latex]P[/latex] est un ensemble alors le principe de récurrence s'y applique correctement :
En effet, supposons que :
1) [latex]0\in P[/latex]
2) [latex]\forall n\geq 0 : n\in P \rightarrow (n+1)\in P[/latex]

et prouvons que : [latex]\forall n\geq 0 : n\in P[/latex]

Par l'absurde, si [latex]\exists n\geq 0 : n\not\in P[/latex] alors soit [latex]E=\{m\in\mathbb{N} : m\not\in P\}[/latex], or par hypothèse [latex]E\neq \emptyset[/latex].
Comme toute partie de [latex]\mathbb{N}[/latex] admet une borne inférieure, soit [latex]n_0=\inf(E)[/latex], [latex]n_0\neq 0[/latex] car [latex]0\in P[/latex], donc [latex]n_0[/latex] a un prédecesseur dans [latex]\mathbb{N}[/latex] qu'on appelle habituellement [latex]n_0-1[/latex]. Mais [latex]n_0-1 \in P[/latex], et donc, d'après l'hypothèse 2, [latex]n_0\in P[/latex] : contradiction.

Cette démonstration n'est possible que si l'on peut former l'ensemble [latex]E[/latex].

Mais si une propriété est une partie de [latex]\mathbb{N}[/latex], il y a donc autant de propriétés distinctes que de partie de [latex]\mathbb{N}[/latex], soit [latex]2^{\aleph_0}[/latex]. Pour ceux qui en ont entendu parler, ceci est à la base du théorème de Gödel : il y a plus de propriétés possibles que de formules les exprimant...