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 #1 - 03-05-2015 14:22:27

bilbo128
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 5

énigme mathmatico-géométrique

Je suis confronté à l'énigme suivante qui me donne du fil à retordre:

Le nombre minimum de cubes 1x1x1 pour couvrir toutes les faces visibles d'un parallélépipède rectangle de dimensions 3 x 2 x 1 est 22.

Si nous ajoutions ensuite une deuxième couche à ce solide, il faudrait 46 cubes pour couvrir tous les faces visibles, la troisième couche exigerait 78 cubes, et la quatrième couche exigerait 118 cubes.
Toutefois, la première couche sur un parallélépipède de dimensions 5 x 1 x 1 exige également 22 cubes. De même, la première couche sur des parallélépipèdes de dimensions 5 x 3 x 1, 7 x 2 x 1 et 11 x 1 x 1 demandent toutes 46 cubes.
Nous utiliserons la notation C(n) pour représenter le nombre de parallélépipèdes rectangles qui contiennent n cubes dans une de ses couches. Donc, C(22) = 2, C(46) = 4, C(78) = 5, et C(118) = 8.
Il s'avère que 154 est la plus petite valeur de n pour laquelle C(n) = 10.

Trouver la plus petite valeur de n pour laquelle C(n) = 100.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
J'ai trouvé une formule pour le nombre de cubes f1(3,2,1) de la 1ère couche englobant le parallé. de côté Lxlxh: c'est égal à sa surface, donc f1=2(Lxl+Lxh+lxh), mais le sujet précise que l'on ne doit pas se limiter à la 1ère couche(par ex pour 46, la 4ème possibilité est la 2ème couche du parallé. 3x2x1.
Je n'arrive pas à trouver de formule pour le nb de cubes de la 2ème ou 3ème couche d'un parallé. de dimensions Lxlxh. Quelqu'un a-t'il une idée?
dans l'énigme on a seulement l'exemple f1(3,2,1)=22 f2(3,2,1)=46 f3(3,2,1)=78 f4(3,2,1)=118



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 #2 - 03-05-2015 22:30:48

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

énigme mathématico-égométrique

Je pense qu'il est possible de déterminer une formule pour fn(a,b,c). Voici le principe.

Quand on va superposer les couches, pour n grand, si on regarde de loin, cela ressemblera à un octaèdre. Les sommets de l'octaèdre correspondent à f1(a,b,c), c'est-à-dire qu'aux sommets de l'octaèdre sont placés autant de cubes qu'il y avait de faces dans le parallélépipède de départ. Aux 12 arêtes de l'octaèdre est placé un nombre de cubes de l'ordre de n, et aux 8 faces de l'octaèdre, un nombre de cubes de l'ordre de n².

Dans le cas précis de fn(1,1,1) (le parallélépipède de départ est un unique cube), on a fn(1,1,1)=4n²+2. Pour le cas plus général de fn(a,b,c), je n'ai pas le temps ce soir, mais peut-être qu'une âme plus charitable s'en occupera d'ici demain smile

Après, pour le calcul de C(100), c'est une autre paire de manches, ça dépendra de l'allure de fn(a,b,c).

 #3 - 04-05-2015 09:52:08

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

éénigme mathématico-géométrique

Si je ne m'abuse, on a :

fn(a,b,c)=2(ab+ac+bc)+4(a+b+c)(n-1)+4(n-2)(n-1).

Applicable pour n>=1.

Le premier terme correspond aux sommets de l'octaèdre (égal à f1(a,b,c)), le deuxième aux arêtes (chaque "arête" est un "rectangle de cubes" de longueur le côté du pavé initial, soit a ou b ou c selon l'arête, et de largeur n-1), et le troisième aux faces (il y a 8 faces composées de 1+2+...+(n-2) cubes chacune).

Ca répond à ta question ?

(édité pour corriger la coquille dans le premier terme)

 #4 - 04-05-2015 10:07:45

bilbo128
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 5

énigme mathématic-ogéométrique

Je n'ai pas complètement vérifié la formule que tu as trouvé, mais ça peut être ça à une coquille prés dans la 1ère partie.
Ca donnerait   fn(a,b,c)=2(ab+ac+bc)+4(a+b+c)(n-1)+4(n-2)(n-1).

 #5 - 04-05-2015 11:20:26

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

énigme mathémmatico-géométrique

Il faudrait tout de même préciser à partir de quelle couche la formule est applicable (dès la 1ère ?)

 #6 - 04-05-2015 11:32:43

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

éénigme mathématico-géométrique

Oui, bien vu pour la coquille. Après, pour trouver la valeur de n recherchée, à part faire un programme qui mène une recherche exhaustive, je ne vois pas. On peut sans doute trouver des astuces pour accélérer la recherche, mais je doute qu'on puisse mener le calcul à la main en un temps raisonnable.

 #7 - 04-05-2015 11:32:43

bilbo128
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 5

énigme mathématico-géoméétrique

Pour la 1ère couche (n=1) la formule est valable et se réduit à celle-ci qui est la formule de la surface du parallélépipède de départ de côtés a,b,c:
f1(a,b,c)=2(ab+ac+bc)

 #8 - 04-05-2015 11:38:36

bilbo128
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 5

énigme mathémtico-géométrique

@Ebichu:
je pense que tu as raison pour le calcul de C(100), cela nécessite de faire un programme.
La partie mathématique du problème peut être considérée comme résolue.

 #9 - 04-05-2015 11:56:32

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

énigme mathématico-géométriue

Attention, la question posée est: trouver n tel que C(n)=100. et non pas C(100).

 

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