En me relisant, et en relisant les remarques du Ch'Ef, je me rends compte que j'ai fait l'approximation que chaque signe est équiprobable, avec une probabilité de 1/12.

1. Probabilité que 2 personnes aient le même signe du zodiaque
Il y a 12x12=144 couples de signes possibles, les signes étant égaux dans 12 cas, ce qui fait une probabilité de $\fbox{\frac1{12}}$

2. Probabilité que 2 personnes parmi N aient le même signe du zodiaque
On remarque déjà que si N > 12, la probabilité vaut 1 (principe des tiroirs)
Si N <= 12, on peut calculer la probabilité complémentaire, qui est celle d'avoir des signes tous différents.
C'est le nombre d'arrangements de N éléments parmi 12, rapporté au nombre de N-uplets d'éléments choisis parmi 12.
La probabilité cherchée est donc $\fbox{1-\frac{12!}{(12-N)!}.\frac1{12^N}}$
(on retrouve bien 1/12 avec N=2, ouf)

2. Probabilité que 2 personnes parmi N aient le même signe donné
On calcule la probabilité complémentaire : probabilité que parmi N, 1 personne au plus ait le signe donné.
Aucun n'a le signe donné : $\left(\frac{11}{12}\right)^N$
1 seul a le signe donné : N choix de la personne, 1/12 pour le choix de son signe, et $\left(\frac{11}{12}\right)^{N-1}$ pour les N-1 autres
On arrive donc à une probabilité de $\fbox{1-\frac{{11}^{N-1}}{12^N}(11+N)}$

Hypothèses :
- naissances équiréparties
- on néglige les années bissextiles (ça ne change pas grand chose)
- on suppose les signes d'égales durées, dans une année découpée en 12 signes.

1) $1/12$

J'ai interprété "2" par "au moins 2" :

2) la formule est donnée par :
[TeX]1-\left( \frac{12!}{(12-N)!} \times \frac{1 }{12^N}\right) [/latex]  (voir paradoxe des anniversaires)

3) un peu à l'arrache :

Soit S un signe.
Les cas défavorables sont :

- aucun du signe S ($11^N$ cas)

- et un seul du signe S ($N.11^{N-1}$ cas)

sur $12^N$ cas possibles au total.

la probabilité serait donc, cas favorables / cas possibles : [latex]\left( 12^N -11^N-N.11^{N-1}\right)/12^N[/TeX]

1: 1 sur 12

2a: 1-12!/[12-N!*12^N] si n inférieur ou égal à 12 (et supérieur à 1, forcément).
2b: 1 si n est supérieur à 12

3: 1-11/12^N - N*1/12*11/12^(N-1)

Q1: Il y a $C^2_{12}$ combinaisons de 2 signes du zodiaque. Il y a 12 possibilités que 2 personnes aient le même signe (belier, belier), ...
La probabilité que 2 personnes aient le même signe est donc: $\dfrac{12}{ C^2_{12} }=\dfrac{2}{11}\sim22,2$%.

Q2: Le problème des anniversaires est qu'au moins 2 personnes parmi N aient le même jour d'anniversaire et non pas exactement 2 personnes. C'est un peu plus facile. Je vais commencer par ça. C'est le complément de la probabilité de: "personne n'a le même signe du zodiaque". A partir de 13 personnes la probabilité est 1. En dessous, la probablité est: $1-\dfrac{12}{12}.\dfrac{12}{11}.(...).\dfrac{12}{13-N}$ (12 choix pour la première personne, 11 choix pour le seconde, ...) / (12*12*...) possiblités. Cette probabilité est >0,5 à partir de N=5: 61,8% (42,7% pour 4 personnes).

Q3: Il y a $12^N$ possibilités d'attribuer un signe du zodiaque à N personnes. Pour un choix d'un signe donné, il y a $C^2_N$ façons de choisir les 2 personnes ayant ce signe. Toutes les autres doivent avoir un des 11 autres signes soit $11^{N-2}$ possibilités. La probabilité cherchées est donc: $\dfrac{C^2_N.11^{N-2}}{12^N}$

C'est marrant comme je n'arrive jamais à être totalement convaincu de mes résultats dès qu'il s'agit de probas
Merci pour cette énigme.

On aurait dû faire une application numérique tiens !

Fini les "Ohhh mais on est du même signe ! C'est extraordinaire !" qui est parfois bien pratique pour draguer

J'ai oublié de donner ma réponse, mais pour moi, il s'agit des memes formules que du paradoxe des anniversaires en remplaçant 365 par 12.

Probabilité que 2 personnes sur n au moins aient le meme signe :
$$p(n)=1 - \frac{12!}{(12-n)!} \frac{1}{12^n}$$
Probabilité que 2 personnes sur n aient le meme signe donné :
$$p = 1 - (11/12)^{n-1}$$
Si vous voulez tenter la technique de drague, il vous faudra essayer en moyenne 4 à 5 personnes pour trouver une qui a le même signe que vous (en admettant les naissances équiprobables).

C'est probablement comme s'il y avait 12 x 12 = 144 signes.