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 #1 - 22-04-2011 15:44:02

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Pa d'impair !

Ajoutez les inverses des cubes de tous les nombres pairs. Ensuite, faites-en autant pour les nombres impairs. Combien de fois cette 2e somme est-elle supérieure à la 1ère ?



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 #2 - 22-04-2011 16:11:04

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

pas d'impaor !

1 de plus pour 1
2 de plus pour 3
3 de plus pour 5
...

1000 de plus pour 1999

n / (2n-1)  qui  donne 2 de rapport en limite à l'infini.


Même pas fichu de lire l'énoncé correctement ! A suivre...

 #3 - 22-04-2011 17:37:49

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1988
Lieu: Paris

Pas d'impiar !

C'est 7 !
Welcome back :-)

 #4 - 22-04-2011 18:25:54

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Pas d'imair !

7 (je ne l'ai pas fait mentalement)

 #5 - 22-04-2011 18:33:21

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Pas d'impair !!

Celle-ci est simple, son explication aussi. Looozer et L00ping: OK !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #6 - 22-04-2011 18:37:23

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

pzs d'impair !

Tes sommes se font sur les nombres relatifs ou les entiers naturels (sauf zéro)?

 #7 - 22-04-2011 18:41:45

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

pas d'imoair !

Nombres entiers, sauf zéro.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #8 - 22-04-2011 19:16:56

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Pas 'impair !

Quelques notations :
[TeX]P=\frac{1}{2^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{6^3}+...[/TeX]
[TeX]I=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+...[/TeX]
Alors [latex]P=\frac{1}{2^3}(I+P)[/latex] donc [latex]I=7P[/latex]

Vasimolo

 #9 - 22-04-2011 20:01:03

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1988
Lieu: Paris

Pas dimpair !

Si je ne m'abuse, on ne sait exprimer aucune des 2 sommes ?
(fonction zêta de Riemann a puissance impaire)

 #10 - 22-04-2011 20:02:56

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Pas d'imair !

Vasimolo, voilà une solution claire, nette et précise. Bravo !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #11 - 22-04-2011 21:13:29

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Pas d'iimpair !

La somme des inverses de cubes de nombres impairs est toujours superieure a la somme des inverses de cubes de nombres pairs, pour la simple raison que 1 donne un avantage considerable au depart.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #12 - 22-04-2011 21:18:23

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Pas d'immpair !

aucune idée, je dis donc : blanc-bonnet et bonnet-blanc


http://enigmusique.blogspot.com/

 #13 - 22-04-2011 21:19:53

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Pas d'impai !

Je ne pensais pas que ce petit problème vous collerait...


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #14 - 22-04-2011 21:23:53

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Pas d'imppair !

désolé d'être aussi nul !


http://enigmusique.blogspot.com/

 #15 - 22-04-2011 21:25:40

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Pass d'impair !

Primo, les deux séries convergent (important). La somme des 1/(2k)^3 vaut 1/8 de la somme des k^3. Donc, la somme des 1/(2k+1)^3 vaut 7/8 de la somme des k^3.

Il y a donc un rapport de 7. Etonnant !

 #16 - 22-04-2011 21:30:27

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

pas d'impaur !

Excellent, Nombrilist !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #17 - 22-04-2011 21:54:52

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

Pa sd'impair !

[TeX]
\sum_{n\ pair}\frac{1}{n^3}=\sum_{k=1}^{+\infty}\bigg(\sum_{m\ impair}\frac{1}{(2^k.m)^3}\bigg)
=\bigg(\sum_{m\ impair}\frac{1}{m^3}\bigg).\bigg(\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{8^k}\bigg)
=\bigg(\sum_{m\ impair}\frac{1}{m^3}\bigg).\frac{1}{7}
[/TeX]
C'est le retour du chiffre fétiche...

 #18 - 22-04-2011 22:03:34

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Pas d'impar !

Irmo, oui. Attention, tes formules peuvent choquer les non-initiés !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #19 - 23-04-2011 04:01:22

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Pas d''impair !

[TeX]\sum \frac 1 {n^3}=\sum \frac 1 {pair^3}+\sum \frac 1 {impair^3}[/TeX]
[TeX]\sum \frac 1 {n^3}=8 \sum \frac 1 {pair^3}[/TeX]
donc [latex]\sum\frac 1 {impair^3}=7\sum \frac 1 {pair^3}[/latex]

 #20 - 23-04-2011 07:48:24

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

pas d'impaie !

Soit Np la somme des inverses des cubes des nombres pairs
et Ni la somme des inverses des cubes des nombres impairs.

Np = 1/2^3 +1/4^3 + 1/6^3 ....
Np = 1/2^3  ( 1/1^3 + 1/2^3 + 1/3^3 + 1/4^3 ....)

Donc Np = 1/8 ( Ni + Np )  D'où Ni = 7 Np

Bon , d'accord, on utilise deux fois plus de termes de Np que de Ni, mais si on va suffisamment loin, l'erreur doit tendre vers 0.

 #21 - 23-04-2011 10:30:43

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2126

aPs d'impair !

J'appelle S1 la série avec les impairs et S2 celle avec les pairs.

8*S2 vaut la série avec les pairs et les impairs, donc S1+S2.

donc S1 = 7*S2

La réponse est 7.

Les savants noteront que S2 =zeta(3)/8, mais c'est une autre histoire.


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #22 - 23-04-2011 11:42:57

thefinder
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 31
Messages : 4

Pas d'impairr !

7 fois

 #23 - 23-04-2011 11:49:42

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Pas d'impairr !

On doit donc comparer
[TeX]S_1 = \sum_{i=1}^{+ \infty} \frac{1}{(2i)^3}[/TeX]
et
[TeX]S_2 = \sum_{i=1}^{+ \infty} \frac{1}{(2i-1)^3}[/TeX]
On peut ruser (et cette ruse est délirante, d'ailleurs) : la somme des deux rassemble les pairs et les impairs, donc vaut la somme des inverses des cubes de tous les entiers
[TeX]S_1 + S_2 = \sum_{i=1}^{+ \infty} \frac{1}{i^3}[/TeX]
et [latex]2^3[/latex] fois [latex]S_1[/latex] donne la même chose, en simplifiant tous les dénominateurs ([latex]2^3[/latex] devient [latex]1^3[/latex], [latex]4^3[/latex] devient [latex]2^3[/latex], etc.) :
[TeX]8 S_1 = \sum_{i=1}^{+ \infty} \frac{1}{i^3}[/TeX]
Donc [latex]S_1 + S_2 = 8 S_1[/latex] d'où [latex]S_2 = 7 S_1[/latex].



Classe.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #24 - 23-04-2011 18:35:13

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Pas d'imppair !

Chaque nombre pair s'écrit de façon unque comme le produit d'un nombre impair (éventuellement 1) et une puissance de 2 (et réciproquement).

Donc la somme des inverses pairs au cube est égal à la somme des impairs multiplié par 1/8, 1/8², ....

En mettant la somme des cubes impairs en facteur, il nous reste la somme de la série géométrique de raison 1/8 et de premier terme 1/8, qui a pour valeur 1/8 (1/(1-1/8)) = 1/7.

La réponse est donc 7 !

 #25 - 23-04-2011 20:02:01

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Pas d'impairr !

Attends, je n'ai peut-etre pas compris le probleme,..que veut tu dire "Combien de fois cette 2e somme est-elle supérieure à la 1ère" ?
veut tu dire:
- quel est le rapport somme-imparire / somme-paire ?
ou
- en progressant vers l'infini, combien de fois est ce que les sommes se depassent mutuellement?
J'avais reponsdu a la 2eme question, mais je soupconne que tu voulais demander la premiere...
Auquel cas la reponse est 7


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