On sait qu'une somme S placée à un taux d'intérêt i devient au bout de n années :
$$S_n=S.(1+i)^n$$
Partant de là, en notant x,y,z,t les montant initiaux des 4 frères (rangés par âge décroissant) :
$x+y+z+t=51894$ (1)
$x(1+i)=y(1+i)^2=z(1+i)^5=t(1+i)^{10}$ (2)

Tu peux exprimer chacun des x,y,z en fonction de t grâce aux égalités (2), et en reportant dans (1), tu obtient t.
Ne te reste plus qu'à calculer x,y,z ensuite

@Looping Il me semble que ta formule donne le capital placé à intérêts composés... hors dans l'énoncé, on parle d'intérêts simples.

La formule serait donc, pour moi,     S(n) = S (1 + 0.05 n)

LOOping, je ne suis pas sûr que le jeune "amateur" auquel tu réponds soit capable de te suivre ...
Je crois que tu as confondu "intérêt simple" et "intérêt composé".
En réalité, c'est un plus simple, ton expression (2) devient :
x (1 + i) = y (1 + 2 i) = z (1 + 5 i) = t (1 + 10 i),
soit :  105 x = 110 y = 125 z = 150 t

Pour la suite, ton explication devrait suffire.
Mais même en ayant exposé tout cela, je crois qu'il reste suffisamment de grain à moudre à notre jeune tête blonde (ou brune ? ou ...?)

EDIT
Mais je vois que je me suis fais griller la réponse ...

Oui je me suis mélangé les pinceaux Et ça ne tombait pas sur des valeurs entières, j'aurais dû tilter.

Finalement je suis allé au bout du calcul, j'ai pas pu m'en empêcher

Sauf qu'en vrai, au-delà d'un an, les intérêts sont composés, donc le petit dernier, il aura plus d'argent ... 16932,36 en fait.

Non, en actions Eurotunnel