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 #1 - 19-04-2011 18:50:08

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 663
Lieu: Belgique

Un quaad...

Quelle est l'aire maximale que peut prendre un quadrilatère s'appuyant sur deux cercles tangents de rayon 1? (justifier)

http://www.prise2tete.fr/upload/looozer-quad.jpg



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 #2 - 19-04-2011 19:41:46

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

Un quad....

Pour un rectangle, je crois que l'aire max est atteinte pour un angle trigonométrique en B de [latex]\frac{\pi}3[/latex] (avec le point en haut à droite du quadrilatère).

Pour un quadrilatère quelconque, je ne vois pas.

 #3 - 19-04-2011 20:26:27

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,520E+3

Un uqad...

D'instinct, je verrais un rectangle. Donc 4sinx(1+cosx) dans sa valeur maximum, mais je ne sais pas dériver ça.

Bon alors je vais tenter de préciser à l'instinct.

De mémoire (f.g)'=fg'+f'g
De wiki :  sin'=cos  cos'=-sin

[ 4sinx (1+cosx) ]' = 4 cosx ^2 + 4 cosx - 4 sinx ^2
= 8 cox^2 x + 4 cos x -4

8x^2 + 4x -4 = 0 ? donc cos x = 1/2 ou cos x =-1

cosx = -1 nous donne un carré de surface 0 (le minimum ?)
cosx = 1/2 donc sinx = rac3 /2 donne un rectangle de surface  5,196... ?

 #4 - 19-04-2011 22:03:37

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4753

Un qad...

Amusant smile

http://img846.imageshack.us/img846/5153/quadrimax.jpg
[TeX]A=3\sqrt{3}[/TeX]
Vasimolo

 #5 - 19-04-2011 22:57:28

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 663
Lieu: Belgique

U nquad...

Bien vu, Vasimolo!
Bonnes réponses incomplètes de Nombrilist et gwen27

 #6 - 19-04-2011 23:33:55

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1923
Lieu: UK

nU quad...

Par symetrie, l’amélioration apportée à chaque sommet peut être reproduite pour l'ensemble des sommets du quadrilatère qui est donc un rectangle.

Son aire est 4sin(x)(1+cox(x) avec x l'angle par rapport à l'horizontal.

La derivée est 4cos(x)+4cos²(x)-4sin²(x)
qui a pour maxima
2cos²(x)+cos(x)-1=0
(cos(x)+1)(cos(x)-1/2)=0
donc x egale 60 degres et l'aire [latex]3\sqrt3[/latex]


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 19-04-2011 23:39:02

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2006
Lieu: Paris

un suad...

Je pense que l'aire maximale obtenue vaut 4, avec soit un carré de côté 2, ou un rectangle de côtés [latex]2[/latex] et [latex]2\sqrt2[/latex].
Je me lance dans une démo analytique, on verra bien ...


J'ai bien fait de poser quelques calculs ...

Je pars du principe que notre quadrilatère est un rectangle, ayant pour axes de symétrie les tangentes communes aux cercles et passant par le point de tangence.
Ces axes de symétrie forment un repère.
Dans ce repère, le sommet haut droit du rectangle a pour coordonnées :
[TeX]x=1+\cos(\theta)
y=\sin(\theta)[/TeX]
avec \theta entre [latex]0[/latex] et [latex]\frac{\pi}4[/latex]
Il s'agit alors de maximiser xy. En effet l'aire du rectangle vaut 4xy

Je pose [latex]f(\theta)=(1+\cos(\theta))\sin(\theta)[/latex]

Je dérive f pour trouver ses extrama :
[TeX]f'(\theta)=2\cos^2(\theta)+\cos(\theta)-1[/TeX]
Cette fonction s'annule pour 2 valeurs de [latex]\cos(\theta)[/latex] : [latex]\frac12[/latex] et [latex]-1[/latex]
[TeX]-1[/latex] correspond à un minimum, [latex]\frac12[/latex] un maximum.

[latex]\cos(\theta)=\frac12[/latex] lorsque [latex]\theta=\frac{\pi}3[/TeX][TeX]f(\frac{\pi}3)=\frac{3\sqrt3}4[/TeX]
J'en déduis que l'aire maximale pour ce genre de configuration vaut : [latex]\fbox{3\sqrt3}[/latex]

Il ne me reste plus qu'à montrer que c'est cette configuration symétrique qui apporte l'aire la plus grande...
Je ne serai pas étonné que Steiner intervienne dans ce problème ...

 #8 - 20-04-2011 12:39:00

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 481
Lieu: Ardèche

nU quad...

Ça fait [latex]3\sqr3\approx5.196[/latex]
Pour la démonstration, c'est un peu comme pour l'arbre de Steiner.
Grosso modo, il faut annuler la dérivée de [latex]\sin\theta(1+\cos\theta)[/latex], soit [latex]\cos\theta+cos^2\theta-\sin^2\theta=0[/latex]
[TeX]\cos{2\theta}=-\cos\theta[/latex] et [latex]\theta=\frac{\pi}3[/TeX]
ce qui mène à un rectangle horizontal [latex]3[/latex]x[latex]\sqr3[/latex] dont les petits côtés sont vus de A et B sous 120°.

 #9 - 20-04-2011 19:33:54

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 663
Lieu: Belgique

un suad...

Bonnes réponses supplémentaires de franck9525, L00ping007 et halloduda.

gwen27 : une petite erreur dans le deuxième terme de ta dérivée.

 #10 - 23-04-2011 19:13:20

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 663
Lieu: Belgique

Un quad..

Franky1103, dans ta formule de la surface, il y a une inversion entre sin a et cos a (ou alors je n'ai pas le bon "a").


Merci à tous d'avoir participé, bravo à ceux qui ont trouvé [latex]3\sqr{3}[/latex] smile

Voici mon raisonnement (sans dérivée) que je vous demande de le vérifier car le problème est de moi.

Soit MNOP les sommets du quadrilatère, M et N sur le cercle de centre A ; O et P sur l'autre cercle.

On trace la diagonale [MO] et on optimise l'aire du triangle MNO.
La hauteur passant par N est maximale (donc l'aire également) lorsqu'elle passe par le centre du cercle. Même raisonnement pour le triangle MOP.

Pour des raisons de symétrie, ceci oblige l'autre diagonale [NP] à avoir pour milieu le point de tangence.

On tient le même raisonnement avec la diagonale [NP] et le quadrilatère est alors obligatoirement un rectangle dont la diagonale vaut deux fois la largeur avec l'angle MAN valant 120°.

On lui trouve une largeur de [latex]\sqr{3}[/latex] et une longueur de 3.

 #11 - 23-04-2011 19:19:19

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3065
Lieu: Au sud du Nord

Un quad....

looozer a écrit:

On tient le même raisonnement avec la diagonale [NP] et le quadrilatère est alors obligatoirement un rectangle dont la diagonale vaut deux fois la largeur avec l'angle MAN valant 120°.

je voudrait dire que contrairement à ce qui est écrit je n'y suis pour rien lol


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #12 - 23-04-2011 20:34:56

looozer
Expert de Prise2Tete
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Messages : 663
Lieu: Belgique

U nquad...

Yo man lol

 

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