Enigme La loterie des mathématiciens (série harmonique) @ Prise2Tete

EfCeBa · #1

SpikedMath a proposé une loterie un peu spéciale, ou la probabilité de gagner 750 000 000 000 000 € pour une mise de 50€ est de 100%.
La mise est de 50€, mais le gain n'est pas instantané, il est progressif. La première semaine, vous gagnerez 1€, la deuxième (1/2) = 0.5€, la troisième (1/3) = 0.33€, etc.
Cette suite tend vers l'infini donc le joueur gagnera bien la somme promise.

Petites questions (traduites du site)
1 : Combien de temps faudra-t-il pour les joueurs pour récupérer leur mise ?
2 : Combien de temps faudra-t-il pour que la loterie paie les 750 000 milliards ?

Source : http://spikedmath.com/486.html

racine · #2

Ça diverge trop lentement pour que je joue.

SHTF47 · #3

D'après les connaissances et le calcul des premiers termes de la série harmonique, les participants récupéreront seulement 21,3€ au bout d'un million de semaines... c'est-à-dire plus de 19230 ans !!! Alors, même avec un compte en banque tenu sur plusieurs générations, cette loterie est une arnaque logarithmiquement monumentale !!! A quoi bon calculer quand la mise sera récupérée ???

Pour la question suivante, on pourrait même se demander si d'ici là, les conditions propices à la vie sur Terre seront toujours réunies... Sans faire de calcul, j'ai bien peur que le soleil n'ait déjà plus la capacité de nous éclairer et nous chauffer

Encore une fois, c'est la banque qui gagne !!!

dhrm77 · #4

12367 semaines (soit 237 ans) pour atteindre 10 euros
2724400600 semaines (soit 52214088 ans) pour atteindre 20 euros...
6000022499693 semaines (soit 114992525507 ans) pour atteindre 30 euros
132159290357566703 semaines (soit 2532878929760274 ans) pour atteindre 40 euros
2911002088526872100231 semaines (soit 55790371108751321934 ans) pour atteindre 50 euros.
64119087931548061631271999 semaines (soit 1228864700906483860500637 ans) pour atteindre 60 euros
15092688622113788323693563264538101449859497 semaines (soit 289256645529467458649677797221754615492491 ans) pour atteindre 100 euros

Source pour au dela de 20 euros: http://oeis.org/A004080

Ceci, en supposant que l'on accumule les fractions de centimes a payer, sinon si on ne fait qu'arrondir, au dela de 200 semaines la lottery ne paye plus rien.

gilles355 · #5

En simplifiant fortement mais on ne joue pas à être parfaitement précis, je dirais que la somme des 1/k pour k=1 à n est ln n.

Pour récupérer 50 euros on résoud ln n = 50 d'où n= exp(50)=5*10^21 semaines soit environ 5 mille milliards de milliards de semaines.

Je pense ne pas jouer à ce jeu.

Franky1103 · #6

Bonjour,
Par les temps qui courent, les énigmes du Ch'Ef se font rares par ici
Si je ne m'abuse, il s'agit de la série harmonique, qui se comporte pour les "grands nombres" comme le logarithme népérien augmenté de la constante d'Euler: s=ln(n)+g, ce qui donne: n=exp(s-g), avec env. g=0,5772156649.
AN: Pour récupérer 50 €, il faut 2,9.10^21 semaines, soit env. 3,8 milliards de fois l'âge de l'univers, et pour récupérer 7,5.10^14 €, je n'ai pas osé faire le calcul.
Bonne journée à tous.

golgot59 · #7

Salut !

Il s'agit de la somme des 1/x. Pour avoir une idée en gros, il faut donc simplement intégrer 1/x qui donne ln(x).

On cherche ln(x)=50 soit x=e^50=5,2*10^21 semaines environ

Pour la question 2... x=e^750.000.000.000.000.000 que je vais laisser comme ça ^^

MthS-MlndN · #8

D'après la formule d'Euler, le énième terme de la série harmonique peut s'approximer par $H_n = \ln(n) + \gamma$ où $\gamma$ est la constante d'Euler $0,577 215 664 901 532...$
$\ln(n) + \gamma = 50 \Leftrightarrow n \approx 2,911 \times 10^{21}$
En semaines, donc... Environ $5,58 \times 10^{10}$ milliards d'années. Si on considère que l'Univers a actuellement environ 14 milliards d'années (légèrement moins, mais ne chipotons pas), il faudrait déjà plus de 4 milliards de fois l'âge actuel de l'Univers pour rembourser les 50 euros.

Pour atteindre les 750 000 milliards, euh... Il faudrait apparemment multiplier cette durée par environ $10^{3 \times 10^{14}}$ . Là, ça dépasse mes capacités d'imagination. Vertige.

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La loterie des mathématiciens (série harmonique

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