J'ai jeté un coup d'oeil, je ne sais pas trop ou aller, ni quelles congruences utiliser.

J'écris des choses en vrac :
5^100 = 7888609052210118054117285652827862296732064351090230047702789306640625
les puissances de 5 se terminent toutes par 5.
les puissances de 5^2=25 se terminent toutes par 25.
les puissances de 5^4=625 se terminent toutes par 625.

Ca ne prouve pas grand chose...
Alors j'ai programmé un peu en javascript :

a = new BigInt('7888609052210118054117285652827862296732064351090230047702789306640625');
for (i=0;i<10000;i++) {
 b = bigint_mul(a,i);
 b = b.toString();
 if (b.indexOf(0) < 0) {
  document.write(i+' '+b+'<br>');
  break;
 }
}

Le premier multiple trouvé ne contenant pas de 0 est le 1451 ème pour
11446371734756881296524181482253228192558225373431923799216747283935546875

Je me secoue les méninges depuis deux jours, et je ne vois pas quel bout la prendre.

Grâce à toi, j'ai découvert le site Wolfram et plein d'autres trucs mais pas la solution.

Première formule miracle:

DigitCount[5^100, 10]

{6,11,4,4,6,8,7,8,4,12}

On a donc douze zéros disséminés dans [latex]5^100[/latex]

Deuxième formule miracle:

Où?

Integerdigits[5^100, 10]

Résultat: ben un peu partout

{7 8 8 8 6 0 9 0 5 2 2 1 0 1 1 8 0 5
4 1 1 7 2 8 5 6 5 2 8 2 7 8 6 2 2
9 6 7 3 2 0 6 4 3 5 1 0 9 0 2 3 0
0 4 7 7 0 2 7 8 9 3 0 6 6 4 0 6 2 5}

Je continue: une spéculation brillante sur un forum permet d'établir qu'il existe toujours une puissance de 5 contenant n zéros successifs dans son écriture en base 10. Il faut en passer par l'indicatrice d'Euler et jouer avec les puissances de 2.
Mais là je m'égare...

Avec tout ça, je suis bien avancé
L'examen des premières puissances de 5 décourage d'agir directement par récurrence.

Je ne sais même pas si je dois trouver un multiple "zeroless" ou établir qu'il n'y a pas de multiple "zeroless".
Le seul truc que j'ai pu piger que si c'est vrai, c'est un multiple impair    


Soit je n'ai pas vu le truc d'évidence, mais je ne suis manifestement pas le seul, il y a toujours un dhrm ou un scarta pour nous trouver ça.
Soit, c'est du lourd...


Elève papiauche: 0,5/20 pour s'être présenté et pour avoir rédigé quelque chose.


Curieux de voir comment on débrouille ça.

5 puissance 100 =
7888609052210118054117285652827862296732064351090230047702789306640625

Il y aura toujours des 0

Je n'ai pas eu le temps de faire les calculs, ni pour 5^100 ni pour 5^1000. Mais au hasard je dirais qu'ils ont tous un 0 quelque part. mais je ne saurais pas le demontrer pour l'instant. J'ai besoin de voir des repetitions pour pouvoir tirer des conclusions.

J'ai ajouté un troisième indice.
Il vous reste jusqu'à ce soir pour trouver .
Ou alors demain si j'oublie de corriger ce soir :-p.

Soit [latex]N=5^{1000}[/latex], il contient x chiffres et k zéros aux positions [latex]p_1, p_2, ..., p_k[/latex] (en partant des unités = 0)

On peut remarquer que [latex]10^x N[/latex] contient k+x zéros aux positions [latex]1,2,...x, p_1+x, p_2+x, ..., p_k+x[/latex] et contient un 5 en position x+1;

Si maintenant on prend [latex]10^{p_1} N+N[/latex] alors il n'y a plus de zéro en position p1. Si on continue et que l'on prend [latex]10^{p_2} N + 10^{p_1} +N[/latex] alors il n'y a plus de zéro en position p1 et p2.

Reste à savoir si on ne rajoute pas plus de zéros au début du nombre qu'on en enlève. En effet si la position du zéro le plus à droite est inférieure à la position du zéro le plus à gauche, alors cette méthode n'admet pas de solution.

exemple : 5^15 = 30517578125 et 10^9*5^15+5^15 vaut 30517578155517578125

Il faut donc multiplier par un nombre autre que [latex]10^{p_1} N+N[/latex] mais conservant ses propriétés comme par exemple [latex]m \times 10^{p_1} N+N[/latex] où m est un nombre impair.

Ca ne prouve pas que la méthode marchera toujours mais la probabilité de ne pas trouver un nombre satisfaisant la condition sur la position du 0 de gauche tend vers ... 0 ^_^'

"c'est pas faux"

Si on prend N=10^1000, on a bien un multiple de 5^1000.
Le premier chiffre avec un 0 est à la position k=0.
On ajoute donc 5^1000*2^0=5^1000
N1=10^1000+5^1000
On recommence l'opération suivante avec le kème chiffre ayant un 0 et on ajoute le chiffre 5^1000*2^k de sorte que N2=N1+5^1000*2^k
Le problème est que l'on risque de créer des zero à gauche en supprimant ceux de droite. Montrons que ce n'est pas le cas car le nombre ne grandit pas en terme de bits.
En effet on ajoute une somme de 5^1000*2^k, celle ci est majorée par la somme de 5^1000*2^k avec k allant de 0 à 999. Or cette somme est égale à
5^1000*(2^1000-1)=10^1000-5^1000. L'ensemble des nombres que l'on rajoute est donc majoré par un nombre ayant un bit de moins que le N de départ, on ne rajoute donc pas de zéro sur la gauche en enlevant ceux de droite.
Qu'en pensez-vous?

Bravo gonzague ça a l'air pas mal du tout !
Je vais regarder plus en détail dès que j'ai un peu temps.