Bonjour

Exprimons la somme des inverses des cubes de tous les entiers sous la forme de la somme de la somme des inverses des cubes impairs et de celle inverses des cubes pairs (possible dans l'hypothèse d'entiers positifs)
[TeX]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n)^3}[/TeX]
(accessoirement [latex]\zeta (3) [/latex], constante d'Apery, où [latex]\zeta[/latex] est la fonction zeta de Riemann)

Revenons à nos sommes ...

On a donc
[TeX]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3} - \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n)^3} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}[/TeX]
soit [latex](1-\frac{1}{2^3})\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}[/latex]

soit :
[TeX](\frac{7}{8})\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}[/TeX]
et aussi :
[TeX](\frac{1}{8})\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n)^3}[/TeX]
d'où [latex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n-1)^3} = 7 \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2n^3}[/latex]


La somme des inverses des cubes d'entiers impairs est 7 fois plus grande que la somme des inverses des cubes d'entiers pairs.


Application numérique :
[TeX]\zeta (3) = 1.20205...[/TeX][TeX]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2n^3} = 0,15025...[/TeX][TeX]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n-1)^3} = 1,05180...[/TeX]
Merci pour cette révision du dimanche !