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 #26 - 24-04-2011 13:34:23

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1745

Pas d'impair !!

Bonjour

Exprimons la somme des inverses des cubes de tous les entiers sous la forme de la somme de la somme des inverses des cubes impairs et de celle inverses des cubes pairs (possible dans l'hypothèse d'entiers positifs)
[TeX]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n)^3}[/TeX]
(accessoirement [latex]\zeta (3) [/latex], constante d'Apery, où [latex]\zeta[/latex] est la fonction zeta de Riemann)

Revenons à nos sommes ...

On a donc
[TeX]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3} - \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n)^3} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}[/TeX]
soit [latex](1-\frac{1}{2^3})\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}[/latex]

soit :
[TeX](\frac{7}{8})\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n-1)^3}[/TeX]
et aussi :
[TeX](\frac{1}{8})\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n)^3}[/TeX]
d'où [latex]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n-1)^3} = 7 \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2n^3}[/latex]


La somme des inverses des cubes d'entiers impairs est 7 fois plus grande que la somme des inverses des cubes d'entiers pairs.


Application numérique :
[TeX]\zeta (3) = 1.20205...[/TeX][TeX]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2n^3} = 0,15025...[/TeX][TeX]\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n-1)^3} = 1,05180...[/TeX]
Merci pour cette révision du dimanche !


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

#0 Pub

 #27 - 25-04-2011 11:43:49

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Pas d'impairr !

Beaucoup de bonnes réponses, mais je trouve la solution de certains trop mathématique. Voici celle que j'ai envoyée à Kosmo (en plein désarroi... wink)

Soit S la somme de tous les inverses des cubes de tous les nombres entiers. La somme P des inverses des cubes des nombres pairs s'obtient en divisant cette dernière somme par 2^3 = 8.
La somme I des inverses des cubes des nombres impairs s'obtient en soustrayant P de S. Elle est donc égale à 7 fois la somme des inverses des cubes des nombres pairs.

Illustration: 1/1^3  +  1/2^3  +  1/3^3  +  1/4^3 = 8(1/2^3  +  1/4^3  + 1/6^3   +  1/8^3)

Quand le cube devient un jeu de grands ! smile

Et on ne peut guère y échapper, surtout quand on a des enfants, aujourd'hui, c'est lundi de Pâques et je voulais partager cette jolie phrase de Judith Viorst (bah quoi, vous ne la connaissez pas ?!) sur le chocolat, pas sur les oeufs, looozer a été très brillant sur le sujet...
"La force c'est de pouvoir casser une barre de chocolat en quatre et de n'en manger qu'un carré."
A bientôt,
SaintPierre.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
 

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