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 #1 - 25-04-2011 21:46:35

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
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qyelque chose qui cloche après pâques...

L'énigme de Saint Pierre: Pas d'impair! :

http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=8743
m'a mis la tête au carré avec tous ces cubes.

Comme vous le savez, je suis un esprit simple.

Je pose donc la question suivante:

Ajoutez les inverses de tous les nombres pairs. Ensuite, faites-en autant pour les nombres impairs. Combien de fois cette 2e somme est-elle supérieure à la 1ère ?

En appliquant la méthode précédente, j'ai l'impression qu'il y a quelque chose qui cloche. 

Saurez-vous me dire quoi?



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 #2 - 25-04-2011 21:50:46

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

quemque chose qui cloche après pâques...

C'est une question Urbi et Orbi ?


http://enigmusique.blogspot.com/

 #3 - 25-04-2011 22:23:39

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Quelque chose qui cloche arpès Pâques...

somme P / 2 = somme I+ somme P ,
donc somme I= - somme P /2 ... Qu'est-ce qui cloche avec ce moins ?

C'est pas le truc avec les suites convergentes ou divergentes auquel je ne comprends rien ? Parce que, d'après ce que j'ai compris, ça ne vaut que si l'erreur (le fait d'utiliser 2 fois plus de termes de P que de I ) tend vers zéro à l'infini. Il me semble que ce n'est pas le cas de 1/x.

La série harmonique diverge bel et bien.

Donc

somme P/2 = somme I + Somme P  est faux car on oublie la moitié des nombres pairs dont la somme tend aussi vers l'infini. L'erreur n'est plus négligeable.

On peut raisonner avec un nombre n pair pour comprendre l'approximation :

1/1+1/2+1/3+1/4...+1/n
= 2x (1/2+1/4+1/6....+1/n ) + 2x ( 1/n+2 + 1/n+4...+1/2n )

Avec  les inverses des cubes, cette seconde partie tendait vers 0 avec n tendant vers l'infini, alors que cette fois-ci elle tend vers l'infini.

Même en prenant n aussi grand que l'on veut, il restera toujours une infinité de termes "négligés" mais non négligeables.  Je suis sûr que les mathématiciens du forum trouveront des formules et des termes   plus adéquats pour expliquer ça.

 #4 - 25-04-2011 22:48:13

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
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Quelque chose qui cloche après Pques...

Gwen est sur la piste ...


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 #5 - 25-04-2011 22:56:57

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
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Qulque chose qui cloche après Pâques...

Cette série est divergente.

 #6 - 25-04-2011 23:21:36

franck9525
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Lieu: UK

Quelque chose qui clohe après Pâques...

[TeX]P=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...[/TeX]
[TeX]I=\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...[/TeX]
Alors [latex]P=\frac{1}{2}(I+P)[/latex] donc [latex]I=P[/latex]

Or P - I = ln 2   si, si c'est noté ici

donc il y a un truc qui cloche de pâques. hmm


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 25-04-2011 23:32:04

Vasimolo
Le pâtissier
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quelque chose qui cloche aptès pâques...

On ne traîte pas l'infini à coup de "et hop" smile

Vasimolo

 #8 - 25-04-2011 23:43:54

papiauche
Sa Sainteté
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quelque chose qui cloche après pâqyes...

Et hop!

Vous avez tous vu qu'il y a quelque chose qui cloche smile

A vous de me dire quoi.


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #9 - 26-04-2011 00:55:24

L00ping007
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Lieu: Paris

Quelque chose qui cloche apès Pâques...

Les séries sont divergentes, on ne peut donc pas sommer sur tous les entiers smile

 #10 - 26-04-2011 01:12:00

dylasse
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quelque chose qui cloche après pâsues...

Soit S la limite de la série des inverses, on montre que S = I + P et que P = 1/2 S, donc I = P (=S/2).

Ce qui cloche n°1 : on sait que Sn diverge donc "Soit S la limite ..." n'a pas de sens.

Ce qui cloche n°2 : prenons le problème différemment, en raisonnant par l'absurde. Supposons que Sn ait une limite S.
Alors In et Pn, qui sont bornées (par S) et croissantes, sont convergentes. Leurs limites vérifient : I = P = S/2.

On voit que chaque terme de In est supérieur au terme de Pn correspondant, donc In - Pn > 1 - 1/2 (différence des premiers termes).
Au passage à la limite : I - P >= 1/2.
Donc I est différent de P : contradiction.

L'hypothèse est donc fausse : on vient de démontrer que Sn ne converge pas.

 #11 - 26-04-2011 09:31:37

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
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Quelque chhose qui cloche après Pâques...

Je ne comprends pas. Ce qui cloche, c'est qu'elle est divergente (vers l'infini) et que par conséquent, il y a au moins une des deux sous-série qui tend vers l'infini. Donc, on ne peut pas calculer le rapport qu'il y a entre elles.

 #12 - 26-04-2011 10:36:56

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Quelqe chose qui cloche après Pâques...

On aurait tendance à dire 2.
Mais ça n'a pas de sens, car les séries divergent.

Si on s'arrête à n pour les deux, alors, le rapport tend vers 1.
(comparaison terme à terme et adition, avec ou sans le premier terme)

 #13 - 26-04-2011 10:50:36

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Quelque chose qiu cloche après Pâques...

Soit [latex]P = \frac12 + \frac14 + \frac16 + \dots = \frac12 \left( 1 + \frac12 + \frac13 + \dots \right)[/latex]

Soit [latex]I = 1 + \frac13 + \frac15 + \dots[/latex]

On a donc [latex]P+I = 1 + \frac12 + \frac13 + \dots = 2 P[/latex], d'où [latex]I=P[/latex].

Bon, qu'est-ce qui cloche, a part que ça me semble bizarre ? Oh tiens : [latex]I-P = ln 2[/latex] d'après http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ … mEntie.htm

Bon... Alors, quoi qu'il se passe ? C'est a cause de la divergence des séries ?


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 26-04-2011 11:05:46

gasole
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Lieu: Toulouse

Quelque chose qui clohe après Pâques...

Si on l'applique "bêtement" la même méthode donne : (somme des inverses des impairs) / (somme des inverses des impairs) = 1.

En fait, ces deux sommes divergent, et ce quotient n'a a priori pas de sens... il ne faut pas oublier qu'une série n'est pas assimilable à une somme, sauf quand elle concerne une famille sommable, dans ce seul cas on peut s'amuser à changer l'ordre de sommation.

D'ailleurs Wolfram Alpha donnait bien 7 pour les cubes, et plante pour ta somme :

[latex]\frac{\sum_{i=0}^{\infty}1/(2 i+1)^3)}{\sum_{i=1}^\infty 1/(2 i)^3}=[/latex] cliquez ici

 #15 - 26-04-2011 11:09:32

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
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quelque chose qui cloche apeès pâques...

Si j'ai bien compris c'est marrant. On croit montrer à la fois que a=b et a > b. Mais pour a = b, en gros on s'est permis de faire ce genre de déduction erronée :
[TeX]\infty + 1 = \infty + 2 \Rightarrow 1 = 2[/TeX]

 #16 - 26-04-2011 11:59:17

Vasimolo
Le pâtissier
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Quelque chose qui cloche après Pâques..

Quelques détails en n'oubliant pas que la série harmonique diverge :
[TeX]I=1+\frac13+\frac15+...[/TeX]
[TeX]P=\frac12+\frac14+\frac16+...[/TeX]
[TeX]\frac12P=\frac12(1+\frac12+\frac13+\frac14+...)=\frac12(I+P)[/TeX]
Et en multipliant par 2 : [latex]P=I+P[/latex]
C'est à dire que [latex]\infty=\infty+\infty[/latex] lollollol

Vasimolo

 #17 - 26-04-2011 13:48:26

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 434

Quelquee chose qui cloche après Pâques...

Je comprend pas ce qu'il faut regarder.

La fonction inverse étant décroissante, 1/n est toujours supérieur à 1/n+1, que n soit paire ou impaire.
Le tout est de voir qu'on commence la somme à 1 qui est impair. La somme impaire est donc toujours supérieure à la somme pair de même taille (entendre par la que les deux sommes comportent le même nombre de termes).

1 > 1/2
1/3 > 1/4
1/5 > 1/6
...
1/n > 1/n+1

Implique que:

1 > 1/2
1 + 1/3 > 1/2 + 1/4
1 + 1/3 + 1/5 > 1/2 + 1/4 + 1/6
...
1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/n > 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... + 1/n+1

Quelque soit n.


Ah oui! J'avais pas suivi le lien de Saint Pierre. =D Et du coup j'ai rien compris à l'énoncé.

P = 1/2 + 1/4 + 1/6 + ...
I = 1/1 + 1/3 + 1/5 + ...

P = 2 P - I
P = I

^^

Je comprend mieux ton souci mais c'est l'énoncé qui coince. Pas étonnant de tomber sur des bizarrerie quand on joue avec l'infini. Tu compares deux séries qui divergent. J'ai envie de dire que même le problème initial n'avait pas trop de sens.

 #18 - 26-04-2011 14:57:22

Clydevil
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Quellque chose qui cloche après Pâques...

Tu veux juste qu'on dise que les deux divergent?

 #19 - 26-04-2011 16:24:55

rivas
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Qelque chose qui cloche après Pâques...

Les sommes divergent (en relation avec la série harmonique).
Il n'est donc pas valide de "manipuler" les sommes infinies, de faire des operations dessus.
Dit d'une autre façon, on peut faire des opérations sur des sommes partielles mais on ne peut pas passer à la limite comme si celles-ci étaient des nombres...

J'enrage de n'avoir pas plus de temps à consacrer à P2T ces temps-ci...
smile

 #20 - 26-04-2011 22:01:59

papiauche
Sa Sainteté
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Quelque chose qui cloche après Pques...

@Milou: et bien non, pas besoin de jeter le bébé avec l'eau du bain:).

@gasole:Wolfram nous aide à ne pas aller au bain. Une petite démo?

@autres: vous avez vu le coup, mais alors chez SaintPierre, ça marchait, ou pas ?


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #21 - 26-04-2011 22:10:12

L00ping007
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Quelqe chose qui cloche après Pâques...

Je ne comprends pas trop en quoi le sujet pose vraiment souci hmm
La série des inverses est divergente, donc on ne peut pas parler de somme infinie d'inverses. Pour une puissance strictement supérieure à 1, on a convergence, donc on peut écrire une somme infinie ...

Je dois être déformé par ma formation mathématique, et du coup ça ma paraît naturel.
Mais il est vrai que si l'on ne fait pas attention au fait que des sommes infinies existent ou non, on peut vite aboutir à des choses pas très propres smile

 #22 - 26-04-2011 22:40:28

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
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Quelque chose quii cloche après Pâques...

Chez Saint-Pierre, la série des inverses des cubes est convergente et les deux sous-séries sont strictement croissantes. Donc, les deux sous-séries convergent également. Le rapport de 7 est donc correct.

 #23 - 26-04-2011 23:16:37

gasole
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Quelque chse qui cloche après Pâques...

Une démo de quoi ?

Qu'elles divergent ? Ben celle des pairs c'est la moitié de la série harmonique donc ça m'étonnerait qu'elle converge, et l'autre est minorée par la série des inverses de nombres premiers qui diverge aussi, celle-là aussi il serait très étonnant qu'elle converge.

Que ça fait 7 avec des cubes et 1 dans ton cas ? Ben si on note P (resp. I et Q) la somme des inverses des puissances N-ièmes des nombres pairs (resp. impairs et quelconques), on trouve facilement que
P= 1/2^N.Q
  =1/2^N.(P+I),
d'où (2^N - 1)P=I et donc I/P = (2^N - 1)

Mais je crois que tel quel ce calcul n'est licite que dans la mesure où P et I sont sommables, ce qui donne I/P=7 quand N=3, et n'a pas de sens quand N=1 mais donne I/P=1 si on le fait quand même.

Si on le fait plus proprement : soit In (resp. Pn)  la somme des n premiers inverses des nombres pairs (resp. impairs), et H(n) la fonction harmonique

On a In/Pn = [H(2n+1)-(H(n)/2)] / (H(n)/2) = 2H(2n+1)/H(n) - 1 et ce rapport tend vers 1 quand n tend vers l'infini... mais on ne peut pas écrire I/P=1, ni I, ni P n'étant des nombres réels.

C'est vraiment bien foutu  Wolfram Alpha.

 #24 - 26-04-2011 23:19:03

Vasimolo
Le pâtissier
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quelque chose qui cloche après pâqyes...

Les séries de Saint Pierre sont convergentes mais pas les tiennes , à l'infini l'arithmétique n'est plus tout à fait la même tongue

Ils me feraient peur ces deux là si je n'avais pas été nourri à la sauce Bourbaki !

Vasimolo

 #25 - 27-04-2011 10:02:30

rivas
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Quelque chose qui clohe après Pâques...

Ca marche chez Saint-Pierre parce que la série des inverses des cubes converge ainsi que les sous-séries considérées (sommes des impairs et somme des pairs).
Le raisonnement rigoureux doit être fait sur des sommes partielles (finies) et les égalités écrites sur des sommes finies. Ensuite on passe à la limite de chaque coté de l'égalité.
Le raisonnement rigoureux de passage à la limite est d'établir que la série de chaque côté de l'égalité à une limite et que la limite de la différence vaut 0, ce qui implique la même limite et donc l'égalité des limites.
C'est une forme d'inversion des limites (limite de l'égalité => égalité des limites)

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