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 #1 - 19-08-2011 18:08:00

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

MathO'

Bon, ça fait longtemps que je n'ai pas mis une énigme, moi... Corrigeons cet impair. lol

Le rayon des cercles vaut 1. Que vaut BC ?

http://nsa28.casimages.com/img/2011/08/19/110819061456329029.jpg



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 #2 - 19-08-2011 18:40:46

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

mayh'o

BC=1.6
AO3=5 et O3T=1 perpendiculaire à AO3 ce qui donne AT et l'angle en A
AO2=3 et O2B=1 noud donne AB
O3C et O3T nous donne CT
BC = AT-AB-CT


The proof of the pudding is in the eating.

 #3 - 19-08-2011 18:47:19

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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marh'o

Pas de problème, franck ! wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #4 - 19-08-2011 21:57:43

gabrielduflot
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Enigmes résolues : 34
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mzth'o

Soit M milieu de [BC] alors O2M mediatrice de [BC] et donc (O2M) // (O3T) donc d'apres le théoreme de Thalès
AO2/AO3=O2M/O3T d'où O2M=3/5

Le triangle MBO2 est rectangle en M donc MB=rac(1-(3/5)²)=4/5 donc BC=8/5

 #5 - 19-08-2011 22:07:30

SaintPierre
Banni
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matg'o

Bien vu, gabriel !


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 #6 - 19-08-2011 22:12:59

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

Math'

Bonsoir,

Je pense que BC = 8/5

Si on appelle H le projeté orthogonal de O_2 sur (BC),
H est aussi le milieu de [BC].

Les triangles ATO_3 et AHO_2 sont homothétiques.
AO_3=5, AO_2=3 et TO_3=1
donc HO_2=3/5
Un petit coup de Pythagore dans CHO_2
nous donne HC=4/5 donc BC=8/5

 #7 - 19-08-2011 22:16:25

SaintPierre
Banni
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Mathh'O

Bonne réponse, esereth. wink


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 #8 - 19-08-2011 22:43:30

L00ping007
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Math''O

[latex]BC=\frac85[/latex] ?

 #9 - 19-08-2011 22:54:31

Franky1103
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Lieu: Luxembourg

Maath'O

Bonjour,
Soit I le milieu de [BC]: on a IO2 / TO3 = AO2 / AO3 et donc IO2 = 0,6
Par ailleurs BC = 2 IB = 2 V(BO2² - IO2²) = 2 V0,64 = 2 x 0,8 soit BC = 1,6
On aura successivement utilisé Thalès et Pythagore: plutôt sympa cette énigme.
Merci et bonne soirée.
Frank

 #10 - 20-08-2011 06:10:22

halloduda
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Lieu: Ardèche

MathO

BC=1.6

Car la distance de O2 à BC est 0.6 (TO3 par homothétie de centre A)

 #11 - 20-08-2011 08:50:09

gwen27
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marh'o

En prenant A comme centre et AO comme axe des x d'un repère orthonormé :

L'équation du cercle: (x-3)^2 + y^2=1
L'équation de la droite : 0,2 x = rac(0,96) y

Deux solutions :

x1 = 2,09616  y1 = 0,427878
x2 = 3,66384  y2 = 0,747878

BC^2 =  ( x1 - x2 )^2 + ( y1 - y2 )^2
BC = rac (2.4576 + 0,1024 )

BC= 1,6   smile  ???

 #12 - 20-08-2011 09:39:38

Promath-
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Mat'O

1,6 exactement!


Un promath- actif dans un forum actif

 #13 - 20-08-2011 11:51:28

SaintPierre
Banni
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matj'o

Oui !  Rien de bien sorcier là encore. wink


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 #14 - 21-08-2011 01:39:36

dhrm77
L'exilé
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Maht'O

1.6


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #15 - 21-08-2011 01:49:43

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

mayh'o

Exact, dhrm.


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 #16 - 21-08-2011 07:42:05

golgot59
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Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Math'OO

Soit le repère orthonormé de centre A et d'axe des abscisses (AO1)

Les coordonnées de O2(3;0) et O3(5;0)
L'équation du cercle C3 de centre O3 est : (x-5)²+y²=1
Celle de la droite (AT) : y="a"x

On cherche "a" en écrivant que (AT) ne coupe C3 qu'un un point, donc on remplace y par ax dans l'équation de C3 sadx-5)²+a²x²=1

(1+a²)x²-10x+24=0

on ne veut qu'un point d'intersection donc delta=0
100-96(1+a²)=0
1+a²=100/96=25/24
a²=1/24
a=1/racine(24)

on sait donc que (AT) : y=x/racine(24)

dans (C2) pour obtenir les points d'intersection : (x-3)²+y²=1
(x-3)²+x²/24=1
25x²/24-6x+8=0

delta=36-800/24=36-100/3=8/3

xB=24(6-racine(8/3))/50 et xC=24(6+racine(8/3))/50
yB=a*xB=racine(24)(6-racine(8/3))/50 et yC=racine(24)(6+racine(8/3))/50

finalement, BC=racine[(xB-xC)²+(yB-yC)²]
BC=racine(2²*24²*8/3/50² + 2²*24*8/3/50²)
BC=2*racine(24*8/3)*racine(24+1)/50
BC=2*8*5/50
BC=8/5=1.6cm

 #17 - 21-08-2011 10:42:38

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

Math'OO

C'est un peu compliqué, golgot... mais au final, c'est bien ça ! wink


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 #18 - 21-08-2011 12:00:44

cachette
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 31
Messages : 14

mayh'o

Comment on fait pour cacher sa réponse?

 #19 - 21-08-2011 12:13:12

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

math'p

Les réponses des joueurs sont cachées pendant encore 30 heures. Moi seul pourra la voir. Tu peux aussi m'envoyer un MP. wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #20 - 22-08-2011 11:17:35

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Math'

On utilise intensément dans cet exercice la puissance d'un point par rapport à un cercle.
[TeX]AB.AC=(3R)^2-R^2=8R^2[/TeX]
[TeX]TC.TB=O_2T^2-R^2[/latex] (1)

Cherchons [latex]O_2T[/latex].

Pythagore:
[latex]AT^2=(5R)^2-R^2=24R^2[/TeX]
et [latex]AT^2=(5R)^2+R^2-2R^2cos(O_3)[/latex]

D'où [latex]cos(O_3)=\dfrac25[/latex]

Pythagore toujours:
[TeX]O_2T^2=(2R)^2+R^2-2R^2cos(O_3)[/TeX]
D'où d'après (1):
[TeX]TC.TB=\dfrac{16}5.R^2[/TeX]
Mais [latex]TC.TB=(AT-AC).(AT-AB)=AT^2+AB.AC-AT(AB+AC)[/latex]

On en déduit: [latex]AB+AC=\dfrac{72}{5\sqrt6}.R^2[/latex]

La suite, ne pose aucun problème: on connait AB.AC et AB+AC.
On résout l'équation du second degré: [latex]X^2-(AB+AC)X+AB.AC=0[/latex] ce qui nous donne AB et AC et la différence AC-AB nous donne BC.
A noter: pour gagner du temps, pas besoin de calculer AB et AC puisque AC-AB vaut [latex]\sqrt{\Delta}[/latex].

On trouve finalement BC=1,6.

Merci pour cette piqure de rappel. smile

 #21 - 22-08-2011 11:51:57

cachette
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 31
Messages : 14

Mathh'O

Thales puis pytagore donne BC=1,6

 #22 - 22-08-2011 14:37:29

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

mzth'o

@rivas: parfait !
@cachette: oui, et j'ai fait comme toi.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #23 - 22-08-2011 15:31:34

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

mzth'o

Il faut calculer la distance des deux points solutions de [latex](x-2)^2+y^2=1[/latex] et [latex]y=\frac{1}{4}x[/latex] cette distance au carrê est la somme des discriminants des deux équations du second degré unitaires associêes. La valeur exacte ne m'intéresse pas plus que ça.smile


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #24 - 23-08-2011 02:51:04

dhrm77
L'exilé
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Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

matg'o

Je n'ai pas mis d'explication, mais apres lecture de ce que vous avez fait (et c'est parfois plus compliqué que nécessaire), J'ai fait comme gabrielduflot.


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 #25 - 23-08-2011 15:12:43

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

MathO'

rivas a une très belle solution (comme d'hab'), mais sur ce coup-là, oui, on pouvait faire plus simple, comme Gabriel ou Esereth.


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