Formellement.
Soit a,b,c,d entiers compris entre 0 et 9.

"ab"*"cd"="ba"*"dc"
<==> (10a+b)(10c+d)=(10b+a)(10d+c).
<==> 100ac+10ad+10bc+bd=100bd+10ad+10bc+ac
<==> 100ac+bd=100bd+ac,
<==> bd=ac

Je laisse la liste à plus patient que moi.
A+

Il y a aussi les séries de nombres avec les chiffres inversés comme 12 X 21 = 21 X 12 = 252
Ok, c'est un peu tricher aussi car ça en fait pas mal mais bon...

Sans être certain que ceci couvre toutes les solutions,
en écrivant le premier nombre: 10A + B
.                         et le second: 10C + D
A, B, C et D ayant une valeur pouvant aller de 1 à 9; je remarque qu'il faut au moins que   A.C=B.D  pour que la condition soit remplie. Voici quelques exemples:
12 x 84 = 21 x 48 = 1008      ( 1 x 8 = 2 x 4 )
21 x 24 = 12 x 42 =   504      ( 2 x 2 = 1 x 4 )
31 x 26 = 13 x 62 =   806      ( 3 x 2 = 1 x 6 )
31 x 39 = 13 x 93 = 1209      ( 3 x 3 = 1 x 9 )
46 x 96 = 64 x 69 = 4416      ( 4 x 9 = 6 x 6 ) étant l'exemple de l'énoncé.
En outre, tous les couples de deux chiffres différents font de toute évidence partie de ce groupe  (mais là on parle de simple commutativité):
12 x 21 = 21 x 12 =     252    est sans doute le plus petit de ces produits,
...
98 x 89 = 89 x 98 =  8722    est sans doute le plus grand de tous.
Salut!

J'ai bien aimé et le résultat est surprenant

Appelons
A le chiffre des des dizaines du premier nombre
B le chiffre des des unités du premier nombre
C le chiffre des des dizaines du deuxième nombre
D le chiffre des des unités du deuxième nombre

Nous devons résoudre le système  à 4 inconnus suivant

(10a+b)(10c+d)=(10b+a)(10d+c)
=> 100ac+10ad+10bc+bd=100bd+10bc+10ad+ac
=>99ac=99bd
=>ac=bd

l'ensemble des couples respectant cette dernière égalité fonctionne

je n'ai pas le temps de tous les citer mais si l'on prend
46 et 32 ça marche ; ici 4*3 est bien égale à 6*2 (12)

Vérification
46*32=1474=64*23

Bon j'ai pris le temps et j'ai recensé 14 "belles" solutions

[21;24]
[21;36]
[31;26]
[31;39]
[21;48]
[28;41]
[32;46]
[36;42]
[42;48]
[32;69]
[39;62]
[43;68]
[48;63]
[64;69]

Bien entendu tous les couples de format [ab;ba] mais ce serait une insulte à notre intelligence (enfin surtout la votre) de les citer ici.

De même l'ensemble des couples [0a;b0] fonctionne mais ça aussi c'est pas du sport.

si on prend 4 chiffresa, b, c, d, la propriété s'écrit:
( 10 * a + b ) x ( 10 * c + d ) = ( 10 * b + a ) x ( 10 * d + c )
en développant, on arrive à la condition (nécessaire et sufffisante)
a*c = b*d
dans l'exemple : 4*9=6*6=36

on doit donc pouvoir les lister: (en enlevant aussi les solutions du type 12*21=21*12)
on trouve 14 solutions distinctes:

12 * 42 = 21 * 24 = 504
12 * 63 = 21 * 36 = 756
13 * 62 = 31 * 26 = 806
12 * 84 = 21 * 48 = 1008
14 * 82 = 41 * 28 = 1148
13 * 93 = 31 * 39 = 1209
23 * 64 = 32 * 46 = 1472
24 * 63 = 42 * 36 = 1512
24 * 84 = 42 * 48 = 2016
23 * 96 = 32 * 69 = 2208
26 * 93 = 62 * 39 = 2418
34 * 86 = 43 * 68 = 2924
36 * 84 = 63 * 48 = 3024
46 * 96 = 64 * 69 = 4416

réponse intuitive et non vérifiée
1 si le produit de ces chiffres ne varie pas aprés permutation, le produit des chiffres des unités et de celui des dizaines ne varie pas
2 je prends un table de multiplication et je cherche les couples de chiffres dont le produit est identique


1 -2x2=1x4=4.............12x42=21x24
2- 6x1=2x3=6.............26x31=62x13
3- 2x4=8x1=8.............82x14=28x41
4- 3x3=9x1=9.............93x13=39x31
5- 3x4=2x6=12............23x64=32x46
6- 4x4=8x2=16............24x84=42x48
7- 3x6=2x9=18............23x96=32x69
8- 4x6=3x8=24............34x86=43x68
9- 4x9=6x6=36............46x96=64x69

On recheche les couple de nombres "ab"=10 x a + b et "cd" = 10 x c +d tels que : "ab" x "cd" = "ba" x "dc". (où a,b, c et d sont des entiers compris entre 0 et 9).

celà revient à : (10a+b)(10c+d) = (a+10b)(c+10d) soit bd = ac (après simplifiage!).

Il y a donc 4 groupes de solutions :
1er groupe
(b=0 ou d=0) et (a=0 ou c=0)
ex 30 x 1 = 3 x 10

2ème groupe
(a=d et b=c)
ex : 12 x 21 = 21 x 12

3ème groupe
(a = b et c = d)
ex : 11 x 33 = 11 x 33

4ème groupe : les autres !! c'est à dire les solutions de bd = ac sans 0 ni double égalité.
Nous alons rechercher les nombres de 1 à 100 dont la décomposition en facteurs premiers permet de trouver 2 combinaisons
4 = 2 x 2 = 4 x 1 donc : 24 x 21 = 42 x 12
6 = 2 x 3 = 6 x 1 donc : 26 x 31 = 62 x 13 et 21 x 36 = 12 x 63
8 = 2 x 4 = 8 x 1 donc : 28 x 41 = 82 x 14 et 21 x 48 = 12 x 84
9 = 3 x 3 = 9 x 1 donc : 39 x 31 = 93 x 13
12 = 4 x 3 = 6 x 2 donc : 46 x 32 = 64 x 23 et 42 x 36 = 24 x 63
16 = 4 x 4 = 8 x 2 donc : 48 x 42 = 84 x 24
18 = 6 x 3 = 9 x 2 donc : 69 x 32 = 96 x 23 et 62 x 39 = 26 x 93
24 = 6 x 4 = 8 x 3 donc : 68 x 43 = 86 x 34 et 63 x 48 = 36 x 84
36 = 6 x 6 = 9 x 4 donc : 69 x 64 = 96 x 46...

et voilà!!!

Coucou à tous, content de passer dans le coin résoudre une petite énigme

1)
Evidemment, comme l'écrit EfCeBa dans l'énoncé, les nombres constitués des deux mêmes chiffres répondent aisément à la question.
Soit : 45 possibilités

2)
Une autre solution triviale consiste à prendre un nombre, et à inverser ses deux chiffres pour déterminer le deuxième nombre. Ainsi, par exemple, 67 x 76 donnera forcément le même résultat que 76 x 67.
Soit : 36 possibilités - si on exclut les 9 possibilités citées en 1) (11 x 11 ; 22 x 22 ; etc)

3)
Soit le premier nombre composé de a pour les dizaines et de b pour les unités.
Soit le deuxième nombre constitué de c pour les dizaines et de d pour les unités.
On a donc : (10a + b) x (10c + d)  =  (10b + a) x (10d + c)
Soit : ac  =  bd

En 1), on a considéré le cas particulier a=b et c=d
En 2), on a considéré le cas particulier a=d et b=c

Pour trouver les nombres restants, il faut chercher les nombres à deux chiffres qui admettent au moins deux couples de chiffres qui, multipliés, donnent le nombre cherché. Ces nombres sont :
4 : 1x4 et 2x2 (2 possibilités : 12-42 et 21-24)
6 : 1x6 et 2x3 (2 possibilités : 12-63 et 21-36)
8 : 1x8 et 2x4 (2 possibilités : 12-84 et 21-48)
9 : 1x9 et 3x3 (2 possibilités : 13-93 et 31-39)
12 : 2x6 et 3x4 (2 possibilités : 23-64 et 32-46)
16 : 2x8 et 4x4 (2 possibilités : 24-84 et 42-48)
18 : 2x9 et 3x6 (2 possibilités : 23-96 et 32-69)
24 : 3x8 et 4x6 (2 possibilités : 34-86 et 43-68)
36 : 4x9 et 6x6 (2 possibilités : 46-96 et 64-69)

Ce qui nous fait 18 possibilités.


Ainsi, il existe 18+36 = 54 couples qui répondent à l'énoncé !

gabriel, ton commentaire est simplement cité comme réponse sur le site de l'auteur, je vais faire pareil
Pour ceux qui auraient commencé comme toi, il fallait bien penser aux solutions croisées.
Enfin le brute force marche pas mal aussi ^^

12    42    21    24
    12    63    21    36
    12    84    21    48
    13    62    31    26
    13    93    31    39
    14    82    41    28
    21    24    12    42
    21    36    12    63
    21    48    12    84
    23    64    32    46
    23    96    32    69
    24    21    42    12
    24    63    42    36
    24    84    42    48
    26    31    62    13
    26    93    62    39
    28    41    82    14
    31    26    13    62
    31    39    13    93
    32    46    23    64
    32    69    23    96
    34    86    43    68
    36    21    63    12
    36    42    63    24
    36    84    63    48
    39    31    93    13
    39    62    93    26
    41    28    14    82
    42    12    24    21
    42    36    24    63
    42    48    24    84
    43    68    34    86
    46    32    64    23
    46    96    64    69
    48    21    84    12
    48    42    84    24
    48    63    84    36
    62    13    26    31
    62    39    26    93
    63    12    36    21
    63    24    36    42
    63    48    36    84
    64    23    46    32
    64    69    46    96
    68    43    86    34
    69    32    96    23
    69    64    96    46
    82    14    28    41
    84    12    48    21
    84    24    48    42
    84    36    48    63
    86    34    68    43
    93    13    39    31
    93    26    39    62
    96    23    69    32
    96    46    69    64

Je dis : prouve-le... Parce qu'il semble n'y en avoir que 14...

Arrakis a écrit:

Je dis: complètement secoués ces matheux!

C'est marrant ce que tu écris, car quand on secoue "ces matheux", ça fait "match sexué". Bien vu pour lesdits matheux, non ?