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 #1 - 17-10-2010 18:48:01

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Sana Griego 4 - Aire d'un triangle dans un hexagone

L'hexagone fait 30 cm².

Quelle est l'aire de la zone verte ?

http://img695.imageshack.us/img695/4202/griego4.png

sur 2 points



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 #2 - 17-10-2010 20:27:14

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Santa Griego 4 - Aire d'un triangle dans un hexagon

Il faut que tu précises que l'hexagone est régulier dans ton énoncé, sinon on ne peut rien déduire.

Soit a la longueur d'un côté, donc a est aussi le rayon du cercle circonscrit (puisqu'en traçant les segments reliant le centre de l'hexagone à chacun de ses sommets on le découpe en six triangles équilatéraux).

On peut montrer très facilement que le triangle vert est rectangle : si on relie le point le plus à droite au centre de l'hexagone, on obtient le troisième segment d'un des six triangles équilatéraux cités au paragraphe ci-dessus, et le segment qui transperce le triangle vert (une de ses hauteurs) est la bissectrice d'un angle de ce triangle. L'angle entre les deux côtés "de droite" du triangle vert mesure donc 30°+60°, et voilà.

On "connaît" donc deux dimensions du triangle vert : le segment "du haut" mesure a, l'hypoténuse mesure 2a. Pythagore nous donne la longueur du troisième côté : [latex]a \sqrt{3}[/latex]. Et l'aire du triangle s'en déduit vite : le demi-produit des deux côtés formant l'angle droit, soit [latex]\frac{\sqrt{3} a^2}{2}[/latex].

Plus qu'à calculer a... Le plus simple : l'aire de l'hexagone vaut [latex]\frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2[/latex], et on sait que ça donne 30, donc [latex]a^2 = \frac{20}{\sqrt{3}}[/latex] (je serais censé mettre la racine au numérateur, mais j'ai la flemme).

L'aire du triangle est donc [latex]\frac{\sqrt{3} \frac{20}{\sqrt{3}}}{2}= 10 cm^2[/latex].





EDIT : en fait, on peut faire encore plus simple... On sépare l'hexagone en six triangles équilatéraux identiques (comme décrit plus haut), chacun d'aire [latex]5 cm^2[/latex]. Alors le triangle vert est formé d'un de ces triangles, et des moitiés de deux autres, d'où résultat... hmm


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 #3 - 17-10-2010 22:15:56

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

santa griego 4 - aire d'un trizngle dans un hexagone

10 cm²
Aire des 3 triangles = aire du triangle équilatéral au milieu = moitié de l'aire de l'hexagone=15 cm²
Aire d'un triangle 5 cm²
Aire du triangle vert=moiié de l'aire de l'hexagone - l'aire du triangle=15-5=10 cm²

 #4 - 18-10-2010 10:23:18

Yannek
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 60

santa friego 4 - aire d'un triangle dans un hexagone

Réponse : 10cm²

On admet que l'hexagone est régulier !

On note ABCDEF ses sommets (à partir du sommet du haut, dans le sens direct) et O son centre.

L'aire de ABCD est 15cm² (la diagonale [AD] joint de sommets opposés).

Le quadrilatère ODEF est un losange (l'hexagone est régulier) donc le triangle DEF fait la moitié de sa surface. Par rotations de centre O et d'angle 120°, 240° on remarque que l'aire de ODEF fait un tiers de l'aire de ABCDEF. Donc l'aire de DEF est de 5cm².

Par différence, l'aire de ADF est de 10cm².

 #5 - 18-10-2010 11:22:16

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Sanat Griego 4 - Aire d'un triangle dans un hexagone

Je vais tenter une réponse simple sans calcul en m'inspirant du style des autres membres (je suis un peu bourrin parfois).

Le triangle vert et le triangle à sa droite sur la figure ont un côté commun et un angle identique s'appuyant sur ce coté: l'angle en bas de la figure (ces 2 angles interceptent des arcs pour lesquels l'angle au centre est le même).
Le rapport de leur surface est donc égal au rapport des 2 autres côtés adjacents à leur angle commun.
Ces 2 côtés sont: le diamètre du cercle circonscrit pour le triangle vert et un des côtés de l'hexagone pour l'autre triangle. Or pour un hexagone, le côté est justement égal au rayon du cercle circonscrit. Le rapport de leur surface fait donc 2 (ou 1/2 au choix smile)
Si s'appelle S la surface du triangle vert, celle du triangle jaune mesure S/2 et la figure étant symétrique, la surface totale de l'hexagone fait 3.S=30 cm^2.

La surface du triangle vert est donc 10cm^2 (ah ben si j'ai fait 2 calculs: 2(1+1/2) et 30/3 smile)

Merci pour l'énigme.

 #6 - 18-10-2010 12:43:08

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1473

Santa Griego 4 - Aire d'un triangle ans un hexagone

L'aire d'un hexagone régulier de côté c est [latex]A=\frac{3\sqrt{3}}{2}c^2[/latex]
A=30, on en déduit la valeur de c: [latex]\sqrt{\frac{20\sqrt{3}}{3}}[/latex] en cm.

De plus dans un hexagone régulier, les angles font 120°. Avec un peu de trigo et le résultat précédent, on trouve la valeur d'une "demi petite diagonale" et en multipliant le résultat par 2, la longueur d'une petite diagonale: [latex]\sqrt{20\sqrt{3}}[/latex] en cm

De plus, toujours parce que les angles font 120°, on peut voir que triangle défini par la surface verte admet un angle droit (entre le côté de l'héxagone et la petite diagonale).

L'aire verte est donc égale à [latex]\frac{1}{2}*\sqrt{20\sqrt{3}}*\sqrt{\frac{20\sqrt{3}}{3}}= 10[/latex]
L'aire de la surface verte est dont le tiers de celle de l'hexagone, soit 10cm²

 #7 - 18-10-2010 20:13:47

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

santa griego 4 - aire d'un triabgle dans un hexagone

L'aire de la zone verte est de 10cm².


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #8 - 19-10-2010 00:55:11

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

Santa Grieg o4 - Aire d'un triangle dans un hexagone

le triangle équilatéral dessiné fait la moitie de l'hexagone.
lorsque l'on superpose 6 fois le triangle vert on obtient l'hexagone complet, mais il y a 2 fois le triangle en plus:
6*v = 30+2* (30/2)
v = 10.

 

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