Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 05-02-2019 11:10:30

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 812

un hzxagone

Bonjour à tous,

sur un triangle de côtés 2, 3, 4, placé au centre de la figure, j'ai tracé trois carrés. Pouvez-vous déterminer l'aire de l'hexagone qui englobe toute la figure ?

http://www.prise2tete.fr/upload/Ebichu-hexag.png

(inspiré d'un exercice du concours Kangourou)



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 05-02-2019 15:22:24

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2923
Lieu: Luxembourg

Un hexaagone

Les quatre triangles ont la même aire.
En effet, celui du centre a une aire de: A = ab.sinC = bc.sinA = ac.sinB,
et les trois triangles périmétriques ont l'une des trois aires précédents,
puisque: sin(pi-alpha) = sin(alpha).
La formule de Héron donne l'aire du triangle central: A = (3/4).(V15)
L'aire de l'hexagone est donc: S = 29 + 3.V15 = env. 40,619

 #3 - 05-02-2019 19:08:57

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 812

Un hexaggone

@Franky1103 : c'est parfait, bravo !

 #4 - 05-02-2019 19:30:36

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 550

Un hexaogne

Bonjour,
Deux triangles blancs ayant un sommet commun ont même aire (côtés issus de ce sommet respectivement égaux et angles supplémentaires). Les 4 triangles blancs ont donc la même aire S, calculée par la formule de Héron.
a=2; b=3; c=4; p=(a+b+c)/2; S=sqrt( p*(p-a)*(p-b)*(p-c) )=3/4*sqrt(15)

Aire de l'hexagone = 4*S + a*a + b*b + c*c = 29 + 3*sqrt(15) = 40.619

 #5 - 05-02-2019 21:59:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,174E+3

un hewagone

Bonjour

Les trois triangles extérieurs partagent deux côtés avec le triangle intérieur et les angles entre ces côtés sont supplémentaires à ceux du triangle donc tous ces triangles la même aire . Un coup de Héron plus trois carrés donnent [latex]H=3\sqrt{15}+29[/latex].

Vasimolo

 #6 - 05-02-2019 22:10:27

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 812

un hexzgone

Encore deux bonnes réponses smile

 #7 - 06-02-2019 10:52:01

Bastidol
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 94

un hexagine

Je trouve 40.62

En utilisant Heron et le fait que les 4 triangles ont la même aire.
Si l'on fait une rotation de 90° autour d'un des sommets du triangle initial d'un des autres triangles on obtient un triangle constitué de 2 triangles juxtaposés dont le coté commun est la médiane du grand triangle.  La médiane partage le triangle en deux aires égales.
@+

 #8 - 06-02-2019 19:28:56

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 812

un hexzgone

@Bastidol : tout à fait, très belle justification smile

 #9 - 06-02-2019 23:17:09

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 688
Lieu: Belgique

un hexagobe

Bonjour,


En utilisant la formule [latex]\frac{1}{2}ab\sin \alpha[/latex], on remarque les 3 triangles extérieurs ont la même aire que le triangle central, car ils ont avec lui des côtés isométriques formant deux angles supplémentaires (donc de même sinus).

La formule de héron donne pour l'aire du triangle central : [latex]\sqrt {\frac{9}{2}\left( {\frac{9}{2} - 2} \right)\left( {\frac{9}{2} - 3} \right)\left( {\frac{9}{2} - 4} \right)}  = \frac{{3\sqrt {15} }}{4}[/latex]

Pour l'aire totale nous avons donc [latex]\frac{{3\sqrt {15} }}{4} \cdot 4 + {2^2} + {3^2} + {4^2} = 29 + 3\sqrt {15}[/latex]

Merci smile

 #10 - 07-02-2019 19:14:24

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 812

Un hexgone

@loozer : tout à fait, bravo !

 #11 - 10-02-2019 16:23:02

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 812

un hzxagone

Félicitations aux participants qui ont tous bien analysé le problème. Si tout le monde a eu recours à la formule de Héron pour l'aire d'un triangle, l'égalité des aires des 4 triangles a été démontrée soit par le sinus, soit par un argument purement géométrique.

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Si il y a 63 pommes et que vous en prenez 23, combien en avez-vous ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
P2T
Hexagone par SaintPierre
18-05-2011 Enigmes Mathématiques
17-10-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
22-11-2013 Enigmes Mathématiques
P2T
Pliage par aunryz
07-12-2016 Enigmes Mathématiques
02-06-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
Balade sur un cube par McFlambi
29-06-2010 Enigmes Mathématiques
P2T
Billard par shadock
20-02-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
06-03-2011 Enigmes Mathématiques
11-05-2010 Enigmes Mathématiques

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete