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 #1 - 05-02-2019 11:10:30

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 888

un hecagone

Bonjour à tous,

sur un triangle de côtés 2, 3, 4, placé au centre de la figure, j'ai tracé trois carrés. Pouvez-vous déterminer l'aire de l'hexagone qui englobe toute la figure ?

http://www.prise2tete.fr/upload/Ebichu-hexag.png

(inspiré d'un exercice du concours Kangourou)

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#0 Pub

 #2 - 05-02-2019 15:22:24

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3177
Lieu: Luxembourg

in hexagone

Les quatre triangles ont la même aire.
En effet, celui du centre a une aire de: A = ab.sinC = bc.sinA = ac.sinB,
et les trois triangles périmétriques ont l'une des trois aires précédents,
puisque: sin(pi-alpha) = sin(alpha).
La formule de Héron donne l'aire du triangle central: A = (3/4).(V15)
L'aire de l'hexagone est donc: S = 29 + 3.V15 = env. 40,619

 #3 - 05-02-2019 19:08:57

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 888

un hexagobe

@Franky1103 : c'est parfait, bravo !

 #4 - 05-02-2019 19:30:36

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 561

un hexzgone

Bonjour,
Deux triangles blancs ayant un sommet commun ont même aire (côtés issus de ce sommet respectivement égaux et angles supplémentaires). Les 4 triangles blancs ont donc la même aire S, calculée par la formule de Héron.
a=2; b=3; c=4; p=(a+b+c)/2; S=sqrt( p*(p-a)*(p-b)*(p-c) )=3/4*sqrt(15)

Aire de l'hexagone = 4*S + a*a + b*b + c*c = 29 + 3*sqrt(15) = 40.619

 #5 - 05-02-2019 21:59:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,343E+3

Un hxagone

Bonjour

Les trois triangles extérieurs partagent deux côtés avec le triangle intérieur et les angles entre ces côtés sont supplémentaires à ceux du triangle donc tous ces triangles la même aire . Un coup de Héron plus trois carrés donnent [latex]H=3\sqrt{15}+29[/latex].

Vasimolo

 #6 - 05-02-2019 22:10:27

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 888

un gexagone

Encore deux bonnes réponses smile

 #7 - 06-02-2019 10:52:01

Bastidol
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 152

Un hexgone

Je trouve 40.62

En utilisant Heron et le fait que les 4 triangles ont la même aire.
Si l'on fait une rotation de 90° autour d'un des sommets du triangle initial d'un des autres triangles on obtient un triangle constitué de 2 triangles juxtaposés dont le coté commun est la médiane du grand triangle.  La médiane partage le triangle en deux aires égales.
@+

 #8 - 06-02-2019 19:28:56

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 888

Un hexagoone

@Bastidol : tout à fait, très belle justification smile

 #9 - 06-02-2019 23:17:09

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 694
Lieu: Belgique

un hexagonr

Bonjour,


En utilisant la formule [latex]\frac{1}{2}ab\sin \alpha[/latex], on remarque les 3 triangles extérieurs ont la même aire que le triangle central, car ils ont avec lui des côtés isométriques formant deux angles supplémentaires (donc de même sinus).

La formule de héron donne pour l'aire du triangle central : [latex]\sqrt {\frac{9}{2}\left( {\frac{9}{2} - 2} \right)\left( {\frac{9}{2} - 3} \right)\left( {\frac{9}{2} - 4} \right)}  = \frac{{3\sqrt {15} }}{4}[/latex]

Pour l'aire totale nous avons donc [latex]\frac{{3\sqrt {15} }}{4} \cdot 4 + {2^2} + {3^2} + {4^2} = 29 + 3\sqrt {15}[/latex]

Merci smile

 #10 - 07-02-2019 19:14:24

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 888

Un hhexagone

@loozer : tout à fait, bravo !

 #11 - 10-02-2019 16:23:02

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 888

un hzxagone

Félicitations aux participants qui ont tous bien analysé le problème. Si tout le monde a eu recours à la formule de Héron pour l'aire d'un triangle, l'égalité des aires des 4 triangles a été démontrée soit par le sinus, soit par un argument purement géométrique.

 

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