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 #26 - 22-05-2011 13:46:40

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1772

Dés trquués

Re Re !
Une équiprobabilité nulle pour les sommes de 2 à 12 ?
Avec un dé dont chaque face serait supérieure ou égale à 12 alors ?
OU deux dés commençant l'un à n, l'autre à 13-n ?


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

#0 Pub

 #27 - 22-05-2011 14:24:01

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Dés trqués

Je ne suis en mesure de répondre que dans le cas où les deux dés sont truqués de la même manière.

Il y a onze résultats possibles (de 2 à 12).
Ainsi, chacun de ces résultats doit apparaître avec une probabilité de 1/11.

Je note P(x) la probabilité d'obtenir la valeur x sur un dé, avec x dans {1;2;3;4;5;6}.


Le résultat 2 n'est possible que d'une seule manière : il faut que les deux dés tombent sur un 1.
Or, ce résultat, comme tous les autres, doit arriver avec une probabilité de 1/11.
Ainsi, on en déduit que P(1) x P(1)  =  1/11
Donc P(1)  =  1 / √11

On applique le même principe au résultat 12, pour en déduire que P(6)  =  1 / √11


Intéressons-nous maintenant au résultat 3.
Il n'y a que deux possibilités de jets de deux dés pour l'obtenir : 1 et 2, ou bien 2 et 1.
Sachant que le résultat 3 doit avoir une probabilité de 1/11 de sortir, on peut en déduire que :
P(1) x P(2) + P(2) x P(1)  =  1/11
1/√11 x P(2) + P(2) x 1/√11  =  1/11
P(2)  =  1/(2√11)

En utilisant la même démarche avec le résultat 11, on trouve P(5)  =  1/(2√11).


Regardons ensuite le résultat 4, qui a, comme tous les autres, une probabilité de 1/11 d'être obtenu.
Seules trois possibilités sur le jet simultanés des deux dés permettent d'avoir ce résultat : 1 et 3, 2 et 2, ou encore 3 et 1.
Ainsi, on sait que : P(1) x P(3) + P(2) x P(2) + P(3) x P(1)  =  1/11
1/√11 x P(3) + 1/(2√11) x 1/(2√11) + P(3) x 1/√11  =  1/11
P(3)  =  3 / (8√11)

En utilisant la même démarche avec le résultat 10, on trouve P(4)  =  3 / (8√11).


Je résume donc les probabilités, pour chaque dé, d'obtenir les valeurs de 1 à 6 :
P(1)  =  1 / √11
P(2)  =  1/(2√11)
P(3)  =  3 / (8√11)
P(4)  =  3 / (8√11)
P(5)  =  1/(2√11)
P(6)  =  1 / √11

S'il tout va bien, la somme de ces six probabilités doit nous donner 1.
Mais ce n'est pas le cas : cette somme est de 15 / (4√11)

J'en conclus donc qu'il n'est pas possible d'obtenir de façon équiprobable les valeurs de 2 à 12 avec deux dés truqués de la même manière.


Maintenant, je ne suis pas capable de résoudre ce problème avec deux dés truqués différemment...


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #28 - 22-05-2011 14:32:53

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

dés trusués

Contrairement à ce que j'avais ajouté ne prenez que des probabilités strictement positives....
Ne nous embêtons avec des cas bizarres.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #29 - 23-05-2011 17:06:03

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

dés tryqués

Je ne serais pas là à la levée de l'énigme donc en attendant lire L00ping007
et Bamby2...


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #30 - 24-05-2011 00:48:26

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Dés tuqués

une petite mise a jour:

Je pense qu'il est impossible de faire en sorte que la probabilite que la probabilité de la somme des 2 dés soit la meme de 2 a 12.

Par contre on peut s'en approcher un peu de 4 maniere differentes:

Sachant que la probabilite d'un 7 est de 1/6 et la probabilite d'un 12 ou d'un 2 est de 1/36..

1) on peut avoir comme premier objectif de vouloir reduire la probabilite du 7.
et apres avoir fait des recherches, la probabilité minimum pour le 7 reste de 1/6 avec ces probabilités individuelles:
Avec 2 dés dont la probabilité de chaque nombre est de:
1: 0.166667
2: 0.166667
3: 0.166667
4: 0.166667
5: 0.166667
6: 0.166667

on obtient les resultat suivants:
2: 0.027778 soit 1/36
3: 0.055556
4: 0.083333
5: 0.111111
6: 0.138889
7: 0.166667 soit 1/6
8: 0.138889
9: 0.111111
10: 0.083333
11: 0.055556
12: 0.027778 soit 1/36
minimum=0.027778 maximum=0.166667 difference=0.138889 rapport=6.000000

2) Si maintenant on prend comme premier objectif de maximaliser la probabilité du 2 et du 12:
On a besoin de probabilité individuelle des chiffres pour le 1er dé:
1: 0.181143
2: 0.155061
3: 0.122605
4: 0.080502
5: 0.057985
6: 0.402704
et pour le 2eme dé:
6: 0.181143
5: 0.155061
4: 0.122605
3: 0.080502
2: 0.057985
1: 0.402704
Les resultats sont alors:
2: 0.072947
3: 0.072947
4: 0.072947
5: 0.074220
6: 0.084988
7: 0.243902
8: 0.084988
9: 0.074220
10: 0.072947
11: 0.072947
12: 0.072947
minimum=0.072947 maximum=0.243902 difference=0.170955 rapport=3.343545

3) si l'objectif est de minimiser la difference entre la plus petite et la plus grande probabilité, on a besoin  de 2 dés ayant pour probabilité individuelle:
1: 0.250000
2: 0.125000
3: 0.125000
4: 0.125000
5: 0.125000
6: 0.250000
Les resultat sont alors:
2: 0.062500
3: 0.062500
4: 0.078125
5: 0.093750
6: 0.109375
7: 0.187500
8: 0.109375
9: 0.093750
10: 0.078125
11: 0.062500
12: 0.062500
minimum=0.062500 maximum=0.187500 difference=0.125000 rapport=3.000000

4) si maintenant l'objectif est le rapport minimum entre la plus grande et le plus petite probabilité. on a besoin de dés identiques ayant pour probabilités individuelles:
1: 0.266667 = 4/15 = 8/30
2: 0.133333 = 2/15 = 4/30
3: 0.100000 = 1/10 = 3/30
4: 0.100000 = 1/10 = 3/30
5: 0.133333 = 2/15 = 4/30
6: 0.266667 = 4/15 = 8/30
Le resultat est alors:
2: 0.071111 = 16/225 =  64/900
3: 0.071111 = 16/225 =  64/900
4: 0.071111 = 16/225 =  64/900
5: 0.080000 = 18/225 =  72/900
6: 0.107778 =           97/900
7: 0.197778 = 89/450 = 178/900
8: 0.107778 =           97/900
9: 0.080000 = 18/225 =  72/900
10: 0.071111 = 16/225 = 64/900
11: 0.071111 = 16/225 = 64/900
12: 0.071111 = 16/225 = 64/900
minimum=0.071111 maximum=0.197778 difference=0.126667 rapport=2.781250 = 89/32

Voila, c'est le mieux que j'ai pu trouver.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #31 - 24-05-2011 01:03:23

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

dés truqyés

Belle recherche de dhrm77. Je m'y attarderais plus tard.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #32 - 07-12-2013 19:22:16

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1946
Lieu: Paris

éDs truqués

Je réveille ce vieux topic car je pense (je dis bien "je pense", je n'ai pas dit "je suis sûr") avoir trouvé une solution. Rien ne dit que la somme des probabilités d'apparition de chaque somme possible de 2 à 12 doit faire 1. Donc je propose les dés 123456 et 000666. Comme ça, on a 1 chance sur 12 d'avoir 1, 2, ..., 11, 12. Donc je respecte l'énoncé. Ai-je bon ? Ou me suis-je planté quelque part ?

 #33 - 07-12-2013 19:30:29

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,679E+3

Dés truuqés

big_smile  Et si on propose un dé 000000 et un autre 111111 , ça marche aussi ?  big_smile lol

 #34 - 11-12-2013 13:49:18

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

Dés tuqués

cool
SabanSuresh, tu joues avec la consigne... Tes lancers autorisent une somme égale à 1 (il est vrai que la consigne ne l'excluait pas big_smile)

 #35 - 16-12-2013 00:34:14

Neotenien
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 56

Dés truqés

Milou_le_viking a écrit:

Soit A et B les deux dés, Ai les probabilités d'obtenir i avec le dé A et Bi la probabilité d'obtenir i avec le dé B. Il y a donc 12 inconnues

On a un système de 13 équations, une pour chaque somme ( de 2 à 12) et une pour chaque dé.

On a donc un système de 13 équations et 12 inconnues.

A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 = 1
B1 + B2 + B3 + B4 + B5 + B6 = 1

A1.B1 = 1/36
A1.B2 + A2.B1 = 2/36
A1.B3 + A2.B2 + A3.B1 = 3/36
A1.B4 + A2.B3 + A3.B2 + A4.B1= 4/36
A1.B5 + A2.B4 + A3.B3 + A4.B2 + A5.B1= 5/36
A1.B6 + A2.B5 + A3.B4 + A4.B3 + A5.B2 + A6.B1 = 6/36
A2.B6 + A3.B5 + A4.B4 + A5.B5 + A6.B2 = 5/36
A3.B6 + A4.B5 + A5.B4 + A6.B5 = 4/36
A4.B6 + A5.B5 + A6.B4 = 3/36
A5.B6 + A6B5  = 2/36
A6.B6 = 1/36

Voilà, j'ai une équation en trop. Et comme le problème est symétrique, j'ai peur que si j'ai une équation en trop, j'en ai au moins deux en trop et je resterai alors avec un problème avec plus d'inconnues que d'équation. ceci impliquerai une possible multiplicité dans les probabilités possibles.

Je regarderai ça plus en profondeur quand j'aurai plus de temps.
Je pense que je peux montrer qu'il y a 12 équations indépendantes, mais je sais pas encore comment.

Pour avoir un systèmes d'équations, encore faut il que ces "variables" soient variables. Ce qui n'est pas le cas puisque A1 = 1/6 etc...

Sinon, pour prouver que les équations sont indépendantes, tu entre dans le cadre des espaces vectoriels en montrant que l'ensemble des vecteurs forment une base libre, c'est à dire qu'aucune ligne n'est une combinaison linéaire d'une ou plusieurs autres lignes.

 #36 - 16-12-2013 00:43:46

Neotenien
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 56

fés truqués

Ce qu'il faut dans un premier temps, est de voir l'ensemble des combinaisons pour obtenir chaque somme et voir s'il est possible d'éliminer certaines combinaisons en ne gardant que certains chiffre possibles pour sortie de somme
2 par 1.1 (si on veut que 1.1 apparaisse, il faut qu'au moins un 1 soit pipé)
3 par 1.2 et 2.1
4 par 1.3, 2.2 et 3.1 (là on peut déjà éliminer le fait de piper les 2 chiffres 2)
=> 4 par 1.3 et 3.1
5 par 1.4 et et 4.1 (comme il faut qu'un 1 soit pipé..)

On voit que pour S>6, ça n'est plus possible d'obtenir les valeurs, puisqu'il faut nécessairement qu'un 1 d'un des dés soit pipé pour pouvoir obtenir S=2.

Donc ton problème n'a pas de solution désolé.hmm

 

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