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 #1 - 26-12-2011 16:50:18

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

UUn autre lancer de dés

Suite au problème de Jackv, un autre problème de dés, un peu plus dur.
Combien de fois en moyenne faut-il lancer un dé pour obtenir les 3 chiffres pairs ?

Même question pour un dé à 12 ou 20 faces pour les 6 ou 10 nombres pairs.

La case réponse valide les trois réponses sous la forme a;b;c avec des résultats entiers si possible, des fractions irréductibles sinon



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 #2 - 27-12-2011 09:48:04

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Un autre lancer dde dés

Salut !

On a 5/6 chance de ne pas faire un 2 à chaque lancer, idem pour le 4 et le 6.
On a donc 1-(5/6)^n chance de faire chaque chiffre après n lancers.

Mais comme le premier chiffre pair est déjà sorti, on a un lancer de moins pour tenter de faire les 2 autres, et 2 de moins pour le dernier.

Si on veut faire 3 chiffres bien particuliers, il faut donc [1-(5/6)^n]*[1-(5/6)^(n-1)]*[1-(5/6)^(n-2)]=0.5

J'obtiens à tâtons 10 lancers.

Pour un dé à 12 faces, il faut [1-(11/12)^n]*[1-(11/12)^(n-1)]*[1-(11/12)^(n-2)]*[1-(11/12)^(n-3)]*[1-(11/12)^(n-4)]*[1-(11/12)^(n-5)]=0.5

J'obtiens 29 lancers.

Pour 20 faces : [1-(19/20)^n]*[1-(19/20)^(n-1)]*[1-(19/20)^(n-2)]*[1-(19/20)^(n-3)]*[1-(19/20)^(n-4)]*[1-(19/20)^(n-5)]*[1-(19/20)^(n-6)]*[1-(19/20)^(n-7)]*[1-(19/20)^(n-8)]*[1-(19/20)^(n-9)]=0.5

J'obtiens 58 lancers.

Mince, la case réponse ne valide pas. Pourtant, je ne vois pas où je me suis planté sad HELP ? roll

 #3 - 27-12-2011 10:27:27

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

un autrz lancer de dés

@golgot59: les résultats arrondis pour 12 et 20 sont bons, mais je demande les résultats exacts. Par contre pour 6, c'est un résultat entier (et pas celui que tu trouves).

 #4 - 27-12-2011 11:44:26

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 681

un autte lancer de dés

Il faut lancer en moyenne 11 fois un dé à 6 faces pour obtenir les 3 chiffres pairs.
Il faut lancer en moyenne 147/5  fois un dé à 12 faces pour obtenir les 6 chiffres pairs.
Il faut lancer en moyenne 7381/126 fois un dé à 20 faces pour obtenir les 10 chiffres pairs.

 #5 - 27-12-2011 11:53:05

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

Un utre lancer de dés

Bonnes réponses de masab

 #6 - 27-12-2011 12:19:42

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Un atre lancer de dés

Pour dé à 6 faces:
E(1er pair)=2
E(2ème pair)=3
E(3ème pair)=6
donc E(les 3 pairs)=11=moyennne de lancers pour obtenir les 3 pairs.

De la même façon
dé à 12 faces:
12(1/6+1/5+1/4+1/3+1/2+1)=29.4
pour 20 faces
20(1/10+1/9+..1)=58.58 environ

Pour n faces:
n(log (n/2) + constante d'Euler)

 #7 - 29-12-2011 17:40:29

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

Un autre lancer dee dés

Pour un dé à 2N faces, on pose Xi la variable aléatoire qui décrit le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le i-ème nombre pair.
X1 suit la loi de probabilité suivante: p(a) = (N/2N)^a
X2-X1 décrit le nombre de lancers nécessaires entre le premier et le second nombre pair; la loi de probabilité qui la décrit est donc p(a) = ((N-1)/2N)^a
etc...
Du coup, E(Xn) = E(Xn-X(n-1)) + E(X(n-1)-X(n-2)) + ... + E(X2-X1) + E(X1)
E(Xn) = somme des 2N/i, i allant de 1 à N = 2N*somme des 1/i

Applications numériques ensuite:
- pour un dé à 6 faces, 6(1+1/2+1/3) = 11
- pour un dé à 12 faces, 12(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6) = 147/5
- pour un dé à 20 faces, 20(1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10) = 7381/126

 

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