Le mot dans la première question doit-il être séparé par deux espaces quand il est au "milieu" et un espace quand il est sur les bords ou aucun si il fait K caractères ?

Et dans la deuxième quel est la taille du mot duquel on extrait les M lettres?

Ouais, calculer avec des lettres ! Merci ch'Ef !


1) On a une chance sur $K^M$ que le mot soit écrit sur les $M$ premiers caractères, puis (si $N > M$) une autre chance sur $K^M$ que le mot soit écrit sur les caractères $2$ a $M+1$, puis etc.
Au final, ça nous donne a priori une proba de
$$(N-M+1) \times \frac1{K^M}$$
Sauf qu'il s'agit d'une proba a priori... Si le mot n'est pas écrit par les $M$ premiers caractères, je pense que cela donne une (maigre) indication sur ce que les lettres $1$ a $M$ ne sont pas, ou ne sont pas toutes en même temps.

Genre, si le mot est constitué de $M$ fois le même caractère, le fait qu'il ne soit pas écrit au début de la chaîne de $N$ caractères rend sa présence bien plus improbable sur les caractères $2$ a $M+1$, non ?

Ou alors je pense trop loin. Va pour $\frac{N-M+1}{K^M}$.


2) Est-ce que certains des caractères de M sont identiques ? Exemple avec M=N=3 et les dix chiffres comme caractères possibles : la chaîne de caractères 111 a une chance sur mille d'apparaître dans un ordre quelconque dans une chaîne de longueur 3, tandis que 123 a six chances sur mille (dans les chaînes 123, 132, 213, 231, 312, 321).

En gros, un caractère (que je vais noter $m$) apparaissant $\alpha$ fois dans la chaîne que l'on veut trouver divise par $\alpha !$ la probabilité d'apparition dans le désordre.

Le "pire des cas" est donc celui où la chaîne a chercher est constituée de $M$ fois le même caractère, auquel cas la proba d'apparition dans la chaîne de longueur $N$ est :
$$\frac{N !}{M! (N-M)!} \times \frac 1{K^M}$$
Le premier facteur est le nombre de façons de placer $M$ éléments parmi $N$ dans un ordre quelconque, soit $C^N_M$.

C'était le pire des cas ; dans le meilleur, tous les caractères sont différents, ce qui multiplie la proba par M! pour donner :
$$\frac{N !}{(N-M)!} \times \frac 1{K^M}$$
On tombe, en lieu et place des combinaisons, sur des arrangements. Logique, non ?

Le cas général, maintenant : le mot a trouver est composé de $m_i$ fois le $i$-ième caractère de l'alphabet, avec, bien sûr, $\sum_{i=1}^K m_i = M$. Alors, la probabilité "optimale" (ci-dessus) est divisée par $\prod_{i=1}^K (m_i !)$, d'où la probabilité générale :
$$\frac{N !}{K^M (N-M)! \prod_{i=1}^K (m_i !)}$$

@Nicouj, oui quand on tape N caractères on obtient un mot de N caractères.

Exemple K=26, N=6 et M=4 :
J'ai une machine a écrire de 26 caractères, les lettres de l'alphabet, je tapes 6 caractères ABCDEF, j'ai bien obtenu le mot ABCDEF, mais lui meme contient le mot de 4 lettres ABCD par exemple. La question 1 demande la probabilité d'avoir écrit ABCD (ou BCDE, ou CDEF).

Ok j'ai mieux compris

Donc en tapant N lettres, j'écris N-M+1 mots de M lettres (donc forcément au moins un mot de M lettres ce que je croyais être la question ^^)

Si l'alphabet de la machine compte K caractères, il y a K^M mots de M lettres.

1)Donc j'ai (N-M+1)/K^M chances de taper un mot particulier   ?

2)Chacune des N lettres tapées au hasard a 1 chance sur K d'être la première lettre de mon mot. Si une lettre est bonne, chacune des N-1 restantes a une chance sur K d'être la 2eme lettres ...

Soit N/K * (N-1)/K * (N-1)/K * ... * (N-M+1)/K = $\frac{N!}{K^M * (N-M)!}$

Je vous donne mes propositions de réponses :

1- La première question tout le monde est d'accord, le nombre de mots qui fonctionnent :${N-M+1}$ divisé par le nombre de mots possibles ${K^M}$ soit : $\frac{N-M+1}{K^M}$

2- MthS nous gratifie d'une explication avec des caractères distincts et non distincts, je n'avais pas forcément réfléchi à ce cas, mais il s'agit simplement de calculer les arrangements possibles des lettres. $\frac{A^M_N}{K^M} = \frac{N!}{(N-M)!K^M}$

Bonnes réponses de MthS-MlndN, Nicouj et une partie pour Milou_le_viking.

Très bonne remarque Dans la réponse que j'ai proposée certains cas doivent être comptabilisés plusieurs fois et donc ne fonctionne que lorsque N < 2M.

Quelqu'un est motivé pour distinguer les cas ?