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 #1 - 17-06-2013 19:12:38

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Minimum de n nombres triés aléatoirement

On tire n nombres au hasard dans l'intervalle [0;1].

En moyenne, combien vaut le plus petit de tous ces nombres ?

Précision : chaque nombre est tiré selon la loi uniforme sur l'intervalle [0;1].



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 #2 - 17-06-2013 19:47:30

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,632E+3

minimum de n nombrrs tirés aléatoirement

je vais dire une bêtise mais : 1/2n ?

 #3 - 17-06-2013 19:53:37

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3330

minimum de n nombres tirés améatoirement

Une loi uniforme, continue ou discrète ?


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 17-06-2013 21:44:04

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Minimum de n nombres tirés alaétoirement

Chaque nombre est tiré aléatoirement dans l'intervalle [0;1] selon la loi uniforme continue.

On peut déjà regarder ce que ça donne pour n=1 puis n=2.

Les discussions sur le sujet "Obtenir un triangle" peuvent aider.

 #5 - 18-06-2013 08:16:30

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1204

Minimum de n nombres irés aléatoirement

[TeX]\frac{1}{2n+2}[/TeX]

 #6 - 18-06-2013 08:41:51

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Minimuum de n nombres tirés aléatoirement

Aucune bonne réponse pour le moment. Faites parler l'intuition !

 #7 - 18-06-2013 09:30:10

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2805
Lieu: Luxembourg

inimum de n nombres tirés aléatoirement

Si je dessine un nuage de points en prenant en absisse la première valeur obtenue et en ordonnée la seconde, alors j'obtiendrai un carré 1x1 "uniformément noirci".
On ne s'intéresse qu'au triangle (demi-carré) défini par la diagonale dont la moyenne des valeurs est la distance de l'axe au barycentre, soit 1/3.

 #8 - 18-06-2013 09:39:42

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1204

minimum de n nombres tirés aléatiirement

[TeX]\frac{1}{n+1}[/TeX]

 #9 - 18-06-2013 09:44:41

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 564

Miinimum de n nombres tirés aléatoirement

On sait depuis l'énigme des polygones que les tailles des (n+1) segments Xi obtenus après n coupes suivent la même loi de probabilité. Par conséquent, leurs espérances sont égales et donc, puisque X1+X2+...+X(n+1) = 1, on a donc:

E(X1) = 1/(n+1)

Mais ça m'étonnerait fort que ce soit si simple...

 #10 - 18-06-2013 10:02:58

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Minimum de n nombres tirsé aléatoirement

@Franky : Bonne réponse pour le cas n=2. Démonstration géométrique intéressante mais que j'ai du mal à suivre. Peux-tu préciser ?

@PRINCELEROI : Bonne réponse !

@Nombrilist : Oui l'explication est aussi simple que ça, bravo !

 #11 - 18-06-2013 10:44:51

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 641

Minmum de n nombres tirés aléatoirement

Je laisse parler mon intuition smile
1/(N+1) ?

 #12 - 18-06-2013 11:19:00

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2805
Lieu: Luxembourg

Miniumm de n nombres tirés aléatoirement

Explication complémentaire
Je ne sais malheureusement pas dessiner sur ce site. Ma figure "uniformément noircie" est un carré 1x1. Je m'intéresse aux x tels que x<y donc uniquement au demi-carré supérieur délimité par la diagonale principale (d'équation x=y), l"axe Oy (d"équation x=0) et la droite du haut (d'équation y=1), qui est un triangle isocèle rectangle. La valeur moyenne de x de ce triangle est la distance entre l'axe Oy et le barycentre de ce triangle, qui vaut 1/3. Je ne sais pas si c'est vraiment plus clair.

 #13 - 18-06-2013 13:49:13

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

mibimum de n nombres tirés aléatoirement

@godisdead : Oui, c'est la bonne formule.

@Franky : Oui, c'est plus clair, merci. Bravo pour l'explication géométrique !

Seul Nombrilist a trouvé l'explication pour le cas général.

 #14 - 18-06-2013 17:41:37

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Minium de n nombres tirés aléatoirement

n=1: 0,5
n=2: la probabilité que le tirage 2 soit inférieur au tirage 1 est de 0,5. Donc dans un cas sur 2 on prend le plus petit, donc 0,25 je pense.
ça devrait faire 1/2^n.
ou 1/(n+1)


Un promath- actif dans un forum actif

 #15 - 18-06-2013 18:41:51

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3136

minimum de n nombres tirés zléatoirement

Je dirais que c'est l'intégrale de la fonction x(1-x)^(n-1).
En effet, quand la plus petite valeur est x, ça veut dire que les n-1 autres points sont dans l'intervalle [x;1].
Avec donc comme résultat quelque chose comme 1/(n(n+1)).

 #16 - 18-06-2013 19:37:17

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

minimum de n nomvres tirés aléatoirement

@Promath : Non, ce n'est pas cette formule.

@nodgim : Oui bravo, c'est presque ça. Tu as juste oublié de tenir compte du nombre de possibilités pour le nombre jouant le rôle du minimum.

 #17 - 18-06-2013 20:03:04

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

minimum se n nombres tirés aléatoirement

Je crois avoir trouvé je pense avoir la démonstration mais je vérifie avec excel.


En fait non sad
Je sais que c'est 0,5 puis 0,33 mais le vide total pour toute formule.
Ensuite 0,25 puis 0,2. C'est bien 1/(n+1). ^^


Un promath- actif dans un forum actif

 #18 - 19-06-2013 02:06:42

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1204

minimum de b nombres tirés aléatoirement

Somme de x=1 à x=n de x/(n+1)(n)

 #19 - 19-06-2013 06:47:11

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Mnimum de n nombres tirés aléatoirement

@PRINCELEROI : La somme dont tu parles fait 1/2, ce n'est pas ça.

 #20 - 19-06-2013 10:37:12

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Minimu de n nombres tirés aléatoirement

Appelons M(x) la probabilité que la valeur mini des n tirages soit supérieure à x.

On a M(x)=(1-x)^n (il faut que tous les tirages soient supérieur à x or chacun a une probabilité de 1-x et les tirages sont indépendants).

On dérive M(x) pour avoir la probabilité que le mini soit entre x et dx : M'(x)=n(1-x)^(n-1).

La valeur moyenne cherchée est 1/(n+1) (c'est l'intégrale de 0 à 1 de xM'(x)dx).

P.S. je ne trouve rien sans utiliser d'intégrale... ou alors en faisant du dénombrement avec un dé à z faces dont je fais tendre le nombre de faces vers l'infini, ce qui revient au calcul intégral. J'attends les jolies solutions des autres.

 #21 - 19-06-2013 10:47:13

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2805
Lieu: Luxembourg

minimum de n nombrrs tirés aléatoirement

@titoufred
Après réflexion, je ne suis pas sûr que ma méthode géométrique soit correcte. En effet, elle répondrait à la question: "on tire n paires de nombres au hasard dans l'intervalle [0;1]; en moyenne, combien vaut la plus petite valeur de ces paires ?". Cette dernière question n'est pas forcément équivalente à la tienne.

 #22 - 19-06-2013 13:56:35

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Minimum de n nobres tirés aléatoirement

@dylasse : Oui, bravo ! Si tu cherches une autre démonstration, sans intégrale, tu peux utiliser le résultat suivant évoqué dans le fil "Obtenir un triangle" (suite à la remarque de Nombrilist sur le cercle) :
Les longueurs des segments définis par les points sont des variables aléatoires qui suivent toutes la même loi de probabilité.

@Franky1103 : Ta démonstration est bien valable. Elle concerne uniquement le cas n=2.

@Promath : Oui, c'est la bonne formule (je n'avais pas vu tes edits...)

 #23 - 19-06-2013 17:33:10

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3136

Minnimum de n nombres tirés aléatoirement

D'accord avec ta remarque Titou: c'est plutôt n fois l'intégrale et le résultat serait alors 1/(n+1). Sans ce n fois, on ne prend pas en compte tous les cas possibles.

 #24 - 19-06-2013 18:11:36

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

monimum de n nombres tirés aléatoirement

Oui nodgim, bravo !

 #25 - 19-06-2013 19:37:57

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 33
Messages : 1204

Minimum de n nombres tirés aléatooirement

Somme de x=1 à x=n de x/(n+1)(n)=1/2
donc P(1)=1/2-Somme de x=2 à x=n de x/(n+1)(n)
et plus généralement:
P(a)=1/2-Somme de x=1 à x=n sans x=a de x/(n+1)(n)
J'avoue l'écrire n"importe comment.

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