je vais dire une bêtise mais : 1/2n ?

Chaque nombre est tiré aléatoirement dans l'intervalle [0;1] selon la loi uniforme continue.

On peut déjà regarder ce que ça donne pour n=1 puis n=2.

Les discussions sur le sujet "Obtenir un triangle" peuvent aider.

Aucune bonne réponse pour le moment. Faites parler l'intuition !

$$\frac{1}{n+1}$$

@Franky : Bonne réponse pour le cas n=2. Démonstration géométrique intéressante mais que j'ai du mal à suivre. Peux-tu préciser ?

@PRINCELEROI : Bonne réponse !

@Nombrilist : Oui l'explication est aussi simple que ça, bravo !

Explication complémentaire
Je ne sais malheureusement pas dessiner sur ce site. Ma figure "uniformément noircie" est un carré 1x1. Je m'intéresse aux x tels que x<y donc uniquement au demi-carré supérieur délimité par la diagonale principale (d'équation x=y), l"axe Oy (d"équation x=0) et la droite du haut (d'équation y=1), qui est un triangle isocèle rectangle. La valeur moyenne de x de ce triangle est la distance entre l'axe Oy et le barycentre de ce triangle, qui vaut 1/3. Je ne sais pas si c'est vraiment plus clair.

n=1: 0,5
n=2: la probabilité que le tirage 2 soit inférieur au tirage 1 est de 0,5. Donc dans un cas sur 2 on prend le plus petit, donc 0,25 je pense.
ça devrait faire 1/2^n.
ou 1/(n+1)

@Promath : Non, ce n'est pas cette formule.

@nodgim : Oui bravo, c'est presque ça. Tu as juste oublié de tenir compte du nombre de possibilités pour le nombre jouant le rôle du minimum.

Somme de x=1 à x=n de x/(n+1)(n)

Appelons M(x) la probabilité que la valeur mini des n tirages soit supérieure à x.

On a M(x)=(1-x)^n (il faut que tous les tirages soient supérieur à x or chacun a une probabilité de 1-x et les tirages sont indépendants).

On dérive M(x) pour avoir la probabilité que le mini soit entre x et dx : M'(x)=n(1-x)^(n-1).

La valeur moyenne cherchée est 1/(n+1) (c'est l'intégrale de 0 à 1 de xM'(x)dx).

P.S. je ne trouve rien sans utiliser d'intégrale... ou alors en faisant du dénombrement avec un dé à z faces dont je fais tendre le nombre de faces vers l'infini, ce qui revient au calcul intégral. J'attends les jolies solutions des autres.

@dylasse : Oui, bravo ! Si tu cherches une autre démonstration, sans intégrale, tu peux utiliser le résultat suivant évoqué dans le fil "Obtenir un triangle" (suite à la remarque de Nombrilist sur le cercle) :
Les longueurs des segments définis par les points sont des variables aléatoires qui suivent toutes la même loi de probabilité.

@Franky1103 : Ta démonstration est bien valable. Elle concerne uniquement le cas n=2.

@Promath : Oui, c'est la bonne formule (je n'avais pas vu tes edits...)

Oui nodgim, bravo !