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 #1 - 25-05-2011 10:05:09

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

une histoiee de prêt

Tout le monde à l'habitude que les intérêts soient calculés à l'année. Mais je vous propose par exemple de les calculer tous les 6 mois  et bien entendu de cumuler les intérêts.

Admettons que vous avez au départ une somme de 100 euros à 10%. Au bout d'un an vous avez gagnez 10 euros. Mais avec mon offre vous gagnez les premiers 6 mois, c'est-à-dire la moitié de l'année, 100*0.5*0.1=5 donc un nouveau capital de 105 euros. Les 6 derniers mois vous obtenez 105*0.5*0.1=5.25, d'où un gain de 10.25 euros. (le 0.5 dans le calcul provient de fait qu'on considère la moitié de l'année)

Dans toute la suite on fixe le capital à 100 et le taux annuel à 10%.

Je vous propose pour une somme modique, disons 0.01 euros, de souscrire à cette offre. c'est rentable!
Maintenant je vous propose de découper en part égale l'année, tous les mois par exemple et de faire la même procédure.
Plus fort de décider ce découpage comme vous le souhaitez par exemple toutes les secondes, toutes les dixièmes de seconde ... une fois pour toute au départ.

Jusqu'à combien donneriez-vous pour cette offre?



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 #2 - 25-05-2011 10:44:08

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

Une histoire de prê

houla, calcul mathématique un chouilla trop dur pour moi big_smile

je pars de 
f : ( 1+ .1/n)^n

bon deja la dérivée est positive
et avec l'aide de Wolframalpha qui me donne une limite de 110.517 en +l'infini , ben je dirais juste un peu de ca de (110.517-110).

P.S. la formulation de la question "Jusqu'à combien donneriez-vous pour cette offre?" me fait penser a mon cours de "decision engineering" et plus particulièrement du chapitre pour la décision dans l'incertain. Je n'ai jamais pu accepté un résultat avec le calcul du "max regret" ... si ça dit quelque chose a quelqu'un, je suis très preneur d'une explication smile

 #3 - 25-05-2011 11:12:20

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

une hostoire de prêt

En gros, je décide de découper l'année en N parts de durée égale, avec un intérêt de [latex]\frac{10}N %[/latex] sur chaque part, et comme ces intérêts sont cumulatifs, je multiplie en fait ma somme de départ par [latex]1 + \frac1{10N}[/latex] à chaque fois, c'est-à-dire par [latex]\left( 1 + \frac1{10N} \right)^N[/latex] en un an.

Je veux donc trouver N qui maximise [latex]f(N) = \left( 1 + \frac1{10N} \right)^N[/latex]. Un horrible calcul de dérivée montre que cette fonction est croissante sur [latex]\mathbb{R}^+[/latex], et un calcul de limites que je ne sais même pas faire (disons que j'ai oublié comment le faire, merci Wolfram|Alpha sur ce coup-là) donne une limite quand N tend vers l'infini valant [latex]e^{1/10}[/latex] soit environ 1,10517.

On doit donc prendre le plus grand N possible (je pense qu'à un micro-pouillème près, demander "toutes les secondes" sera le plus rentable) pour monter le pourcentage d'intérêt annuel à environ 10,517 %.

Le 0,517 % qui dépasse ([latex]0,00517 S[/latex], avec S la somme déposée) doit donc être supérieur au coût c de la souscription à cette option.

Donc je dois choisir [latex]S \ge \frac c{0,00517}[/latex]. Ordre de grandeur : 200 fois c.

Ceci dit... En déposant 1000 euros, je gagne 100 euros avec le crédit normal, et 105 euros avec cette version du crédit. On gratouille, on gratouille... lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 25-05-2011 11:40:14

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Une hstoire de prêt

Bonjour,
Je découpe mon année en n périodes égales (chacune de durée 1/n année).
Soit (un) le capital généré au bout de cette année.
u0 = 100; u1 = u0 x (1+0,1/n); u2 = u1 x (1+0,1/n) ... etc
J'aurais donc un = u0 x (1+0,1/n)^n
Lorsque n tend vers l'infini, la valeur un/u0 tend vers exp(0,1) = 1,1051 env.
Avec 100€ de mise au départ, j'aurai donc, après un an, un capital au maximum de 110,51€ (en ayant acquis 10,51€ d'intérêts au maximum).
Pour que la proposition soit valable (par rapport à un capital de 110€ en "intérêts simples"), j'irai donc jusque 0,50€ au maximum (au delà, la proposition n'est pas rentable).
Bonne journée.
Frank

 #5 - 25-05-2011 11:45:59

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

une histoire se prêt

Franky pourquoi la valeur maximale est atteinte quand on découpe à "l'infini"?


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #6 - 25-05-2011 12:02:27

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

une histpire de prêt

Je ne suis pas sûr d'avoir compris la question.

Cependant, pour un taux annuel Ta, le taux mensuel Tm est donné par la formule suivante:
[TeX]T_{m}= \sqrt[12]{1+T_{a}}-1[/TeX]
Quand Ta<<1 (condition à vérifier), on peut utiliser l'approximation suivante:
[TeX]T_{m}\simeq T_{a}/12[/TeX]
Mais ce n'est jamais qu'une approximation.

Tu peux aussi calculer le taux par jour, par heure, minute ou seconde si tu veux. Je comprend pas où tu veux en venir.

Tu veux savoir quel sera le bénéficie en prenant l'approximation du taux à la place du vrai taux ?
Je vais supposer que c'est ça.

Avec un capital C et un taux annuel Ta (si j'ai bien compris C=100€ et Ta=10%):
[TeX]Benefice \; annuel \; offre \; (jour)= C . \left [\left (1+\frac{T_{a}}{365}\right )^{365} - \left (1+T_{a}\right )\right ]=51,56 \;cent[/TeX]
[TeX]Benefice \; annuel \; offre \; (heure)= C . \left [\left (1+\frac{T_{a}}{8760}\right )^{8760} - \left (1+T_{a}\right )\right ]=51,70 \;cent[/TeX]
[TeX]Benefice \; annuel \; offre \; (minute)= C . \left [\left (1+\frac{T_{a}}{525600}\right )^{525600} - \left (1+T_{a}\right )\right ]=51,71 \;cent[/TeX]
[TeX]Benefice \; annuel \; offre \; (seconde)= C . \left [\left (1+\frac{T_{a}}{31536000}\right )^{31536000} - \left (1+T_{a}\right )\right ]=51,71 \;cent[/TeX]
Je ne serais pas surpris de trouver une limite convergente.
[TeX]\lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{1+\frac{x}{n}}=f(x)[/TeX]
f(x) reste à déterminer.

 #7 - 25-05-2011 12:27:20

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

Une histoire de prtê

Si on découpe l'année en x morceaux; alors le taux p annuel "deviendrait" p/x sur chaque morceau (ceci dit, ça marche pas vraiment comme ça dans la vraie vie ^^)

Du coup, pour une somme de départ s, j'obtiens au bout d'un an la modique somme de f(x) = s*(1+p/x)^x = s.exp(x ln(1+p/x)) = s.exp(x ln((p+x)/x))

Si on dérive ça, on trouve une fonction dérivée bien lourde mais qui a le bon goût d'être positive pour x > 1 donc f(x) est croissante.
La limite en +infini de f vaut (à grands coups de DL) s.exp(p)

Le maximum atteignable à partir d'une somme s et d'un taux annuel p est donc égal à s.e^p
Dans l'énoncé, cela se traduit par 100.e^0.1 = 110.517092
Je n'y mettrai donc pas plus de 51,7092 centimes ( ou plus exactement 110-100.e^0.1 euros)

 #8 - 25-05-2011 13:38:15

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Une histoire dde prêt

Un taux annuel de 10% correspond à 10 euros de gain en calcul "traditionnel".
Il correspond à 100(1+0.10/x)^x pour un calcul x fois par an.
Si x augmente, le facteur [latex](1+\frac {0.1} x)^x[/latex] tend vers [latex]e^{0.1}\approx[/latex] 1.105171, car son logarithme népérien tend vers 0.1, et le capital cumulé devient 110.517 €
Je pourrais donner jusqu'à 0.517 € mais ça devient ridicule car je n'y gagne plus rien.
Partage 50/50 avec la banque, je donne 0.25 € soit 0.0025%.

 #9 - 25-05-2011 15:49:36

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

une histoirr de prêt

Si on découpe l'année en p périodes et que l'on note t le taux annuel, à chaque période les intérêts acquis sont de:
[TeX]\dfrac{t}p[/latex] %
Le capital après k périodes est donc [latex]C_k=C_0.(1+\dfrac{t}p)^k[/latex].

Et en particulier à la fin de l'année:  [latex]C_p=C_0.(1+\dfrac{t}p)^p[/latex].

Posons [latex]f(x)=(1+\dfrac{t}x)^x=e^{x.ln(1+\dfrac{t}x)}[/latex].

On a [latex]C_p=C_0.f(p)[/latex].

On cherche donc p maximisant la fonction f.
Je passe les détails des calculs:

[latex]f'(x)=f(x).[ln(1+\dfrac{t}x)-\dfrac{t}{x+t}][/TeX]
Je pose [latex]g(x)=ln(1+\dfrac{t}x)-\dfrac{t}{x+t}[/latex]
[TeX]g'(x)=-\dfrac{t^2}{x(x+t)^2}[/TeX]
g'(x) est <0 pour tout x>0 (ensemble qui nous intéresse).
Donc g est décroissante sur [latex]\mathbb{R}^+[/latex]

De plus [latex]\lim_{x \to \infty} g(x)=0[/latex]

Donc g est strictement positive sur [latex]\mathbb{R}^+[/latex]
Donc f' (qui vaut f.g) est strictement positive sur  [latex]\mathbb{R}^+[/latex] (f est une exponentielle donc toujours >0).
Donc f est croissante.

On maximise donc le gain en prenant p (la découpe) le plus grand possible et idéalement infini (ce qui correspond à une capitalisation continue). Ceci explique pourquoi les banques choisissent p=1 smile

Dans le cas continu:
En utilisant: [latex]ln(1+x)=x+x\epsilon(x)[/latex] avec [latex]\lim_{x \to 0}\epsilon(x)=0[/latex], on montre aisément que:
[TeX]\lim_{x \to \infty} (1+\dfrac{t}x)^x = e^t[/TeX]
Le maximum que l'on puisse espérer est donc de multipler son capital par [latex]e^t[/latex] en un an grâce à une capitalisation continue.
Ici t=10%, donc [latex]e^{t}[/latex]~10,52%.
Ce qui correspond donc à un taux annuel composé simple de 10,52% (on ne peut donc pas obtenir par magie des taux exhorbitants smile. Ce taux s'appelle aussi le taux d'intérêt annuel effectif.

Cela donne aussi le prix que l'on peut accepter de payer pour ce placement.
S'il coûte plus de 0,52% du capital de plus que le taux annuel, cela ne vaut pas la peine.

Merci pour cette plongée dans la finance smile

 #10 - 25-05-2011 16:34:12

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Une histooire de prêt

Je découpe l'année en n période.

A chaque période mon capital k est augmenté de 1/n*10% soit mon nouveau capital est k + k*1/(10n) = k *(10n+1)/(10n)

Donc à la fin de l'année je possède [latex]100(\frac{10n+1}{10n})^n[/latex] qui tend vers l'infini quand n tend vers l'infini

 #11 - 25-05-2011 21:43:53

Cédric-29
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 17

Une histoir de prêt

L'évolution du montant sur le compte rémunéré s'écrit sous forme de suite :
[TeX]a_{k+1}=a_k +\frac{T}{N}a_k[/latex] avec [latex]a_0[/latex] la somme de départ et T le taux qui vaut 0.1 ici.

Le montant total obtenu à la fin de l'année est :
[latex]a_N=a_0\(1+\frac{T}{N}\)^N=a_0e^{NLog\(1+\frac{T}{N}\)}[/TeX]
avec N le nombre choisi de prises d'intérêts dans l'année.

Un petit développement limité du Log à l'ordre 1 afin d'obtenir un equivalent pour T/N qui tend vers 0 et on obtient :
[TeX]a_N\text{ equivalent a }a_0.e^{T}[/TeX]
La somme limite atteinte dans notre cas est donc de 110.517 soit un gain de 10.517euros au lieu de 10e si l'intérêt est annuel. Avec une prise d'intérêt mensuelle, on est déjà à 110.471e soit pas trop loin de la limite.

 #12 - 25-05-2011 22:01:10

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Une histoie de prêt

J'ai peur de dire une bêtise, mais il me semble que dans ton exemple de l'année découpée en deux semestres, l'avantage est que les intérêts calculés sur la première période augmentent la somme initiale pour le calcul de la seconde période.

Aussi, en reprenant ce schéma, et sans calcul aucun, je serais tenté de dire que du moment que l'année est ainsi divisée en plusieurs périodes; l'avantage est grand !

Mais je suis sans doute tombé dans le piège...


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #13 - 26-05-2011 17:36:15

naddj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 301
Lieu: Ffm

une histoire se prêt

Je suis un peu fatiguée encore, mais si je ne me suis pas trompée dans mon modèle, le capital + intérêts à la fin de l'année est modélisé par la formule suivante, où n représente la le nombre de divisions de l'année (2 pour des intérêts tous les 6 mois, 4 pour tous les 3 mois, etc.) :
[TeX]100\times[1+\frac{1}{n}\times{10%}]^n[/TeX]
Je ne calcule pas, mais je fais des simulations sous Excel qui me dit que même avec un n grand, je ne vais pas gagner énormément en plus.
Pour n = 1,00E+14; 111,7419828
Ce qui me fait gagner 1€ et quelques de plus.
Donc je dirais que je donnerai 1€ max pour cette offre, histoire de quand même gagner quelque chose...

 #14 - 26-05-2011 20:49:29

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1922
Lieu: UK

Une hsitoire de prêt

Soit N la somme totale en fin d'année et n le nombre de périodes.
[TeX]N=100(1+\frac{1}{10n})^n[/TeX][TeX]\lim_{n\to +\infty}N=100(1+e^{\frac{1}{10}})[/TeX]
L'offre en donc intéressante lorsqu'elle coûte moins de
[latex]100e^{\frac{1}{10}}\approx 10.515[/latex]  avec une périodicité bihebdomadaire ou plus.

Edit: la limite en question est l'une des  définitions de e


The proof of the pudding is in the eating.

 #15 - 26-05-2011 23:10:05

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
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Messages : 91

une hiqtoire de prêt

C'est le principe des intérêts composés.

Quand le découpage tend vers l'infini, la somme finale tend vers [latex]100\times e^{0,1}\approx 110,517[/latex]

Quand à combien je donnerai pour cette offre, on devrait pouvoir s'arranger en privé. wink


There's no scientific consensus that life is important

 #16 - 28-05-2011 22:59:19

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

ine histoire de prêt

Seul le SingeMalicieux s'est fait piégé mais il l'a senti venir...
Bravo à  tous et particulièrement à Rivas.


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