C'est un bon début!

Il y a 2 solutions qui sont 109376 et 890625. On peut remarquer en additionnant les chiffres de même rang que hormis pour la première décimale (pour laquelle 5+6=11), la somme des 2 chiffres fait 9 : 7+2=9, 3+6=9, 9+0=9...

Ça s'appelle des nombres automorphes. Il y avait un article de JP Delahaye (Pour La Science de janvier 2001, "les nombres infinis vers la gauche) qui en parlait.

Ce sont les nombres automorphes. La méthode donnée sur cette page pour déterminer les deux nombres automorphes constitués de k chiffres est de prendre les k derniers chiffres du nombre suivant (premier nombre n1) et de calculer 10^k+1-n1 (deuxième nombre n2) :

12781 25400 13369 00860 34889 08436 40238 75765 93682 19796
26181 91783 35204 92704 19932 48752 37825 86714 82789 05344
89744 01426 12317 03569 95484 19499 44461 06081 46207 25403
65599 98271 58835 60350 49327 79554 07419 61849 28095 20937
53026 85239 09375 62839 14857 16123 67351 97060 92242 42398
77700 75749 55787 27155 97674 13458 99753 76955 15862 71888
79415 16307 56966 88163 52155 04889 82717 04378 50802 84340
84412 64412 68218 48514 15772 99160 34497 01789 23357 96684
99144 73895 66001 93254 58276 78000 61832 98544 26232 82725
75561 10733 16069 70158 64984 22229 12554 85729 87933 71478
66323 17240 55157 56102 35254 39949 99345 60808 38011 90741
53006 00560 55744 81870 96927 85099 77591 80500 75416 42852
77081 62011 35024 68060 58163 27617 16767 65260 93752 80568
44214 48619 39604 99834 47280 67219 06670 41724 00942 34466
19781 24266 90787 53594 46166 98508 06463 61371 66384 04902
92193 41881 90958 16595 24477 86184 61409 12878 29843 84317
03248 17342 88865 72737 66314 65191 04988 02944 79608 14673
76050 39571 96893 71467 18013 75619 05546 29968 14764 26390
39530 07319 10816 98029 38509 89006 21665 09580 86381 10005
57423 42323 08961 09004 10661 99773 92256 25991 82128 90625

Maintenant il va falloir retenir ce nombre

Donc pour k=6, n2 = 890625 et n1 = 1000001-890625 = 109376.

Voilà !

Ça me rappelle les nombres automorphes :
-un nombre se terminant par 5 aura un carré se terminant par 5
-un nombre se terminant par 25 aura un carré se terminant par 25
-un nombre se terminant par 625 aura un carré se terminant par 625...
On aboutit à une suite qui fait obtenir 890 625

-un nombre se terminant par 6 aura un carré se terminant par 6
-un nombre se terminant par 76 aura un carré se terminant 76
-un nombre se terminant par 376 aura un carré se terminant par 376...
La suite conduit à 109 376

Il faut rentrer : 2;109376;890625

Solution : 2;109376;890625
Somme : 109376+890625 = 1000001 = 10^6+1

Je finis le calcul ( je note x=y[k] pour x et y congrus modulo k ) .

On a x(x-1)=0[10^6] donc x=0 ou 1[5^6] et x=0 ou 1[2^6] donc 4 possibilités en tout modulo 10^6 . Si x=0 [ 5^6 et 2^6] ou x=1 [5^6 et 2^6] l'unique solution est x=0[10^6]  ou x=1 [10^6] sans intérêt . Il reste donc deux cas à étudier :

1er cas : x=1[5^6] et x=0[2^6] alors x=109 376[10^6] .
2ème cas: x=0[5^6] et x=1[2^6] alors x=890 625[10^6] .

Pour le cas d'un nombre à n chiffres la méthode est la même et le nombre maximal de solutions est 2 mais rien ne dit que les solutions obtenues dans les cas 1 et 2 comportent bien n chiffres . On peut donc simplement affirmer qu'il y a au plus 2 solutions et le dernier chiffre sera 5 ou 6 ( une seule fois pour chaque terminaison ) .

Vasimolo

Voici la preuve du résultat étendu aux entiers à n>=2 chiffres.

7niguyta: Ok, bien!
unecoudée: C'est ça! Bien!
masab: Bien!
dylasse: 1ère partie: bien, ensuite il y a de la matière et ton observation sur le nombre de solutions est juste. Effectviement on attend une particularité sur le couple solutions pour n.
Vasimolo: C'est très bien
masab, 2: je connais, je voulais une solution perso
scarta: es tu sûr de ta 2ème affirmation? Sinon, c'est bien.

Bonjour,

Je trouve deux solutions qui satisfont la case réponse :

109 376² = 11 963 109 376
et
890 625² = 793 212 890 625

Pour le chiffre des unités, de prime abord il peut prendre la valeur 0;1;5 ou 6

0 ne fonctionne pas, en effet, 100 000² = 1 000 000
1 ne fonctionne pas non plus car aucun nombre de la forme E1² ne vaut DE1

Pour 5, un essai direct sachant que 25 x 25 = 625 permet de trouver le nombre 890 625 assez facilement par déduction de droite à gauche.

Pour une fin commençant par 6, il faut commencer par 76²=776 pour trouver 109376, avec un peu plus de tâtonnements.


J'essaie de revenir pour les questions subsidiaires,


Merci,
A+

A une puissance près j'en suis sur
(a+b)^2 se termine par 2.10^n+1 donc 2ab par 10^n. Comme l'un se termine par 5 et l'autre par 6, le premier est multiple de 5^n et le second de 2^(n-1)

Les maths m'éclatent parfois
je viens de me rendre compte que la somme des 2 nombres trouvés

109376       
890625

donne 1000001
et je ne sais pas pourquoi mais je trouve cela beau 

1        0
2        1
3        5
4        6
5        25
6        76
7        376
8        625
9        9376
10        90625
11        109376
12        890625
13        2890625
14        7109376
15        12890625
16        87109376
17        212890625
18        787109376
19        1787109376
20        8212890625
21        18212890625
22        81787109376
23        918212890625
24        9918212890625
25        40081787109376
26        59918212890625


La somme de 2 nombres automorphes de même taille (si on accepte un 0 initial ) est 10^k+1

Référence : suite A018247 de l'OEIS