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 #1 - 28-07-2015 10:51:52

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Un problème de crré

Salut!

Il existe un nombre à 6 chiffres, noté ABCDEF, tel que le carré de ce nombre se finisse par ABCDEF. Lequel?

S'il existe k solutions, notez k;solution1;solution2 dans la case réponse, avec solution1<solution2 la plus petite et la plus grande

Attention, le carré se finit par ABCDEF, il n'est pas égal à ABCDEF.


Ce problème est tiré du CIJM (2ème édition)

Questions supplémentaires auxquelles j'ai une réponse:

Pour tout n, avec un carré non égal au nombre de départ:

-Trouver le nombre de solutions du problèmes si le nombre de départ a n chiffres
-Quelle est la particularité de ces solutions, autre que celle du carré qui se finit par les mêmes chiffres que le nombre de départ?
-Expliquer pourquoi (aux deux questions)



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 #2 - 28-07-2015 11:49:01

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Un probblème de carré

Pas trop de temps avant ce soir mais je dirais qu'il faut regarder x(x-1) modulo 2^6 et 5^6 .

@+

Vasimolo

 #3 - 28-07-2015 12:43:47

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Un probèlme de carré

C'est un bon début!


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 #4 - 28-07-2015 14:38:57

nobodydy
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1286

Un problème de carr

Salut

En voila déjà 2 (sauf erreur de ma part, ce qui est possible big_smile )

109376        11963109376
890625        793212890625

Bonne journée wink

Je suis incapable de répondre à la question supplémentaire sad

 #5 - 28-07-2015 15:00:23

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

un oroblème de carré

Il y a 2 solutions qui sont 109376 et 890625. On peut remarquer en additionnant les chiffres de même rang que hormis pour la première décimale (pour laquelle 5+6=11), la somme des 2 chiffres fait 9 : 7+2=9, 3+6=9, 9+0=9...

Ça s'appelle des nombres automorphes. Il y avait un article de JP Delahaye (Pour La Science de janvier 2001, "les nombres infinis vers la gauche) qui en parlait.

 #6 - 28-07-2015 15:34:55

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Un problème de carrré

Avec un tableur, je trouve: 109376 et 890625. "Yapluka" faire sans tableur: sad

 #7 - 28-07-2015 15:47:24

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Un prolbème de carré

Ce sont les nombres automorphes. La méthode donnée sur cette page pour déterminer les deux nombres automorphes constitués de k chiffres est de prendre les k derniers chiffres du nombre suivant (premier nombre n1) et de calculer 10^k+1-n1 (deuxième nombre n2) :

12781 25400 13369 00860 34889 08436 40238 75765 93682 19796
26181 91783 35204 92704 19932 48752 37825 86714 82789 05344
89744 01426 12317 03569 95484 19499 44461 06081 46207 25403
65599 98271 58835 60350 49327 79554 07419 61849 28095 20937
53026 85239 09375 62839 14857 16123 67351 97060 92242 42398
77700 75749 55787 27155 97674 13458 99753 76955 15862 71888
79415 16307 56966 88163 52155 04889 82717 04378 50802 84340
84412 64412 68218 48514 15772 99160 34497 01789 23357 96684
99144 73895 66001 93254 58276 78000 61832 98544 26232 82725
75561 10733 16069 70158 64984 22229 12554 85729 87933 71478
66323 17240 55157 56102 35254 39949 99345 60808 38011 90741
53006 00560 55744 81870 96927 85099 77591 80500 75416 42852
77081 62011 35024 68060 58163 27617 16767 65260 93752 80568
44214 48619 39604 99834 47280 67219 06670 41724 00942 34466
19781 24266 90787 53594 46166 98508 06463 61371 66384 04902
92193 41881 90958 16595 24477 86184 61409 12878 29843 84317
03248 17342 88865 72737 66314 65191 04988 02944 79608 14673
76050 39571 96893 71467 18013 75619 05546 29968 14764 26390
39530 07319 10816 98029 38509 89006 21665 09580 86381 10005
57423 42323 08961 09004 10661 99773 92256 25991 82128 90625

Maintenant il va falloir retenir ce nombre lol

Donc pour k=6, n2 = 890625 et n1 = 1000001-890625 = 109376.

Voilà !

 #8 - 28-07-2015 16:25:56

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
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Lieu: Au fond de l'univers

un priblème de carré

nobodydy: Bravo! Plus qu'à faire les bonus! Tu as raisonné comment?

Ebichu: Bien! Quel est ton raisonnement? Effectivement, et leur somme?

Franky: Bien, yapluka! smile

Saban: Effectivement, c'est ça! Bien! Tu as un raisonnement sans la suite évoquée?


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 #9 - 28-07-2015 16:46:35

7nyguita7
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 155
Lieu: Lognes

Un problèe de carré

Ça me rappelle les nombres automorphes :
-un nombre se terminant par 5 aura un carré se terminant par 5
-un nombre se terminant par 25 aura un carré se terminant par 25
-un nombre se terminant par 625 aura un carré se terminant par 625...
On aboutit à une suite qui fait obtenir 890 625

-un nombre se terminant par 6 aura un carré se terminant par 6
-un nombre se terminant par 76 aura un carré se terminant 76
-un nombre se terminant par 376 aura un carré se terminant par 376...
La suite conduit à 109 376

Il faut rentrer : 2;109376;890625


Même une feuille de papier est plus légère à deux (Proverbe coréen)

 #10 - 28-07-2015 20:56:40

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

un problème de careé

bonjour.

j'ai 2 solutions :  109376² = 11963109376
                   
                         890625² = 793212890625

 #11 - 28-07-2015 21:14:52

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

U nproblème de carré

Solution : 2;109376;890625
Somme : 109376+890625 = 1000001 = 10^6+1

 #12 - 29-07-2015 02:15:53

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Un problème de caarré

Il y a 2 solutions : 109376 et 890625.

La solution se construit pas à pas en partant d'un nombre à 1 chiffre vérifiant E² se termine par E. Il y a 4 solutions 0,1,5 et 6.

Les 2 solutions 0 et 1 conduisent à des résultats "triviaux" ABCDEF = 000000 ou 000001 qui ne répondent pas au critère "se termine mais n'est pas égal" (et puis surtout ce ne sont pas des nombres à 6 chiffres mais à 1 chiffre !

Les 2 autres solutions conduisent à 109376 et 890625 (ce que valide la case réponse).

Questions supplémentaires :
Pour un nombre à n chiffres, la méthode de construction pas à pas est identique et on aura 2 solutions (celle finissant par 5 et celle finissant pas 6) au maximum.

Avec mes petits moyens (excell), j'arrive à construire pour n pas trop grand :
20105722890625
081787109376

Un nombre ne pouvant commencer par 0, le nombre de solutions pour les premières valeurs de n est :
1: 2
2: 2
3: 2
4: 1
5: 1
6: 2
7: 2
8: 2
9: 2
10: 2
11: 1
12: 1

Pour trouver une formule en fonction de n, il faudrait déterminer une règle d'apparition des 0...

Une particularité de chaque solution est d'être un nombre x qui vérifie x(x-1) est multiple de 10^n donc que x (ou x-1) est multiple de 5^n et x-1 (ou x) est multiple de 2^n. Mais ce n'est sans doute pas la particularité attendue.

 #13 - 29-07-2015 08:48:31

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Un probème de carré

Je finis le calcul ( je note x=y[k] pour x et y congrus modulo k ) .

On a x(x-1)=0[10^6] donc x=0 ou 1[5^6] et x=0 ou 1[2^6] donc 4 possibilités en tout modulo 10^6 . Si x=0 [ 5^6 et 2^6] ou x=1 [5^6 et 2^6] l'unique solution est x=0[10^6]  ou x=1 [10^6] sans intérêt . Il reste donc deux cas à étudier :

1er cas : x=1[5^6] et x=0[2^6] alors x=109 376[10^6] .
2ème cas: x=0[5^6] et x=1[2^6] alors x=890 625[10^6] .

Pour le cas d'un nombre à n chiffres la méthode est la même et le nombre maximal de solutions est 2 mais rien ne dit que les solutions obtenues dans les cas 1 et 2 comportent bien n chiffres . On peut donc simplement affirmer qu'il y a au plus 2 solutions et le dernier chiffre sera 5 ou 6 ( une seule fois pour chaque terminaison ) .

Vasimolo

 #14 - 29-07-2015 09:21:48

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

Un prooblème de carré

re.

ce sont des nombres automorphes .

5²=25   et 6²=36   S=5+6=11
25² = 625  et 76² = 5776  et S = 101
...
625² = 390625  et 376² = 141376  et  S = 1001

76^3 = 438976

376^3 = 53157376

376^4 = 19987173376

918 212 890 625² = 843 114 912 509 918 212 890 625

 #15 - 29-07-2015 18:41:54

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

yn problème de carré

Voici la preuve du résultat étendu aux entiers à n>=2 chiffres.


Bonne lecture !

 #16 - 29-07-2015 19:21:05

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

Unn problème de carré

2 réponses qui sont 109376 et 890625
Accessoirement, pour tout N, on trouvera 2 réponses, dont la somme vaut 10^n+1
J'ai pas encore eu le temps de chercher pourquoi mais une conséquence est que le multiple de 5 est en fait un multiple de 5^n et l'autre de 2^n

 #17 - 29-07-2015 23:38:05

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Au fond de l'univers

un problèmr de carré

7niguyta: Ok, bien!
unecoudée: C'est ça! Bien!
masab: Bien!
dylasse: 1ère partie: bien, ensuite il y a de la matière et ton observation sur le nombre de solutions est juste. Effectviement on attend une particularité sur le couple solutions pour n.
Vasimolo: C'est très bien
masab, 2: je connais, je voulais une solution perso smile
scarta: es tu sûr de ta 2ème affirmation? Sinon, c'est bien.


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 #18 - 30-07-2015 08:04:41

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

in problème de carré

Quel succés cette question ! ça faisait longtemps qu'il n'y avait pas eu autant de réponses....

890625 et 109376 sont les 2 seules solutions pour 6 chiffres.

 #19 - 30-07-2015 11:22:46

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1745

un problèmr de carré

Bonjour,

Je trouve deux solutions qui satisfont la case réponse :

109 376² = 11 963 109 376
et
890 625² = 793 212 890 625

Pour le chiffre des unités, de prime abord il peut prendre la valeur 0;1;5 ou 6

0 ne fonctionne pas, en effet, 100 000² = 1 000 000
1 ne fonctionne pas non plus car aucun nombre de la forme E1² ne vaut DE1

Pour 5, un essai direct sachant que 25 x 25 = 625 permet de trouver le nombre 890 625 assez facilement par déduction de droite à gauche.

Pour une fin commençant par 6, il faut commencer par 76²=776 pour trouver 109376, avec un peu plus de tâtonnements.


J'essaie de revenir pour les questions subsidiaires,


Merci,
A+smile


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #20 - 30-07-2015 14:14:48

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Un rpoblème de carré

nodgim: c'est bien!

NickoGecko: C'est bien, c'est un bon début!!


Un promath- actif dans un forum actif

 #21 - 30-07-2015 14:48:26

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

Un probblème de carré

A une puissance près j'en suis sur lol
(a+b)^2 se termine par 2.10^n+1 donc 2ab par 10^n. Comme l'un se termine par 5 et l'autre par 6, le premier est multiple de 5^n et le second de 2^(n-1)

 #22 - 30-07-2015 15:39:38

Promath-
Elite de Prise2Tete
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un problème dz carré

Es tu sûr qu'il y a toujours deux solutions? Pour 4 chiffres, regarde ce que ça donne


Un promath- actif dans un forum actif

 #23 - 30-07-2015 16:47:55

nobodydy
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1286

Un problèème de carré

Les maths m'éclatent parfois
je viens de me rendre compte que la somme des 2 nombres trouvés

109376       
890625

donne 1000001
et je ne sais pas pourquoi mais je trouve cela beau  wink

 #24 - 30-07-2015 18:49:34

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

un ptoblème de carré

Voici les 2 solutions pour des nombres de 50 chiffres

57423423230896109004106619977392256259918212890625
42576576769103890995893380022607743740081787109376

En enlevant un chiffre à gauche, on obtient les solutions avec 49 chiffres.
etc...
En particulier pour les nombres à 6 chiffres, on retrouve 890625 et 109376.

En particulier les solutions a>1 à 4 chiffres au plus telles que 10^4 divise a^2-a sont 625 et 9376.

 #25 - 30-07-2015 20:20:51

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

un problème de varré

1        0
2        1
3        5
4        6
5        25
6        76
7        376
8        625
9        9376
10        90625
11        109376
12        890625
13        2890625
14        7109376
15        12890625
16        87109376
17        212890625
18        787109376
19        1787109376
20        8212890625
21        18212890625
22        81787109376
23        918212890625
24        9918212890625
25        40081787109376
26        59918212890625


La somme de 2 nombres automorphes de même taille (si on accepte un 0 initial ) est 10^k+1

Référence : suite A018247 de l'OEIS

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