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 #1 - 06-06-2011 13:37:58

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Siplification

Simplifier au mieux et à la main :

[latex]\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} -\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}[/latex].

Bon travail.smile



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 #2 - 06-06-2011 16:44:35

alex_lexus
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2

Simplfication

Salut,

Si je nomme ton expression X ( pour faire original ! ) et que je l'élève au cube, je me retrouve avec l'expression ( je te passe le développement ) :
X^3=6-5X
Résolution de l'équation X^3+5X-6=0 : une seule solution dans R : X=1.
Donc ton expression vaut 1.

 #3 - 06-06-2011 18:22:12

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

simplifivation

Encore une idée farfelue ^^

On commence par simplifier en 9 étapes : [latex]\sqrt{9+\frac{125}{27}}[/latex] big_smile
C'est parti !
[TeX]\sqrt{9+\frac{125}{27}}=\sqrt{9+\frac{5^3}{3^3}}=\sqrt{9+(\frac{5}{3})^3}=\sqrt{\frac{3^5}{3^3}+\frac{5^3}{3^3}}=\sqrt{\frac{3^5+5^3}{3^3}}[/latex] ici petite feinte sinon c'est trop dur on multiplie le numérateur et le dénominateur par [latex]3[/latex] et on obtient [latex]\sqrt{\frac{3*(3^5+5^3)}{3^4}}=\sqrt{\frac{1104}{81}}[/latex] on connecte ces neurones 15 sec et il vient [latex]1104=2^4*3*23[/latex] et [latex]3^4=81[/latex] donc [latex]=\sqrt{\frac{2^4*3*23}{3^4}}=\frac{4*\sqrt{69}}{9}[/TeX]
Pour le premier membre on ajoute 3 :
[TeX]3+\frac{4*\sqrt{69}}{9}=\frac{27}{9}+\frac{4*\sqrt{69}}{9}=\frac{27+4*\sqrt{69}}{9}[/TeX]
Pour le second membre on soustrait 3 :
[TeX]\frac{4*\sqrt{69}}{9}-3=\frac{4*\sqrt{69}}{9}-\frac{27}{9}=\frac{4*\sqrt{69}-27}{9}[/TeX]
Et après on s'amuse comme on peut : lol
[TeX]\fbox{\frac{(3*(4\sqrt{69}+27))^{1/3}-(3*(4\sqrt{69}-27))^{1/3}}{3}\approx0.99999999999997}[/TeX]
La patience et la persévérance sont digne d'un bon scientifique (perso) big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 06-06-2011 18:58:19

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

Simplificatino

On considère le polynôme
[TeX]P(x)=x^3+5x-6[/TeX]
Il admet pour discriminant [latex]\Delta=4\times5^3+27\times(-6)^2>0[/latex]

Ce polynôme n'admet donc qu'une seule racine réelle, qui de toute évidence est 1.
La formule de Cardan donne justement cette unique racine réelle :
[TeX]1=\sqrt[3]{-\frac{-6}{2}+\sqrt{\(\frac{-6}{2}\)^2+\frac{5^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{-6}{2}-\sqrt{\(\frac{-6}{2}\)^2+\frac{5^3}{27}}}[/TeX]
[TeX]=\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} - \sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}[/TeX]

 #5 - 06-06-2011 21:49:31

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Simplificationn

cela fait 1

 #6 - 06-06-2011 22:47:44

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

simpligication

Allons-y à la main lol

Notons [latex]A[/latex] le nombre à calculer .
[TeX]A=U-V[/TeX]
[TeX]U=\sqrt[3]{X+3}[/latex] , [latex]V=\sqrt[3]{X-3}[/latex] et [latex]X=\sqrt{9+\frac{125}{27}}[/TeX]
Alors [latex]A^3=U^3-3U^2V+3UV^2-V^3[/latex]
[TeX]A^3=X+3-3\sqrt[3]{x^2-9}(\sqrt[3]{X-3}-\sqrt[3]{X+3})-X+3[/TeX]
[TeX]A^3=6-5A[/TeX]
Donc [latex]A[/latex] est solution de l'équation [latex](A-1)(A-2)(A+3)=0[/latex]
[latex]A[/latex] est clairement positif et d'autre part [latex]\frac{125}{27}<\frac{125}{25}=5[/latex] donc [latex]X<\sqrt{9+5}<4[/latex] . Mais alors [latex]A<\sqrt[3]{x+3}<\sqrt[3]{7}<2[/latex] et [latex]A=1[/latex] .

Et y'en a qui trouvent ça drôle lollollol

Vasimolo

 #7 - 06-06-2011 23:59:42

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1434

simplificarion

Cette expression ressemble fort au résultat d'une résolution d'équation du 3ème degré à l'aide de formules de Cardan.

Pour rappel: on cherche à résoudre X^3 +aX +b =0
Posons X = u-v, et l'équation trouve une solution pour a=3uv et b=(-u^3+v^3)
Du coup, en posant U = u^3 et V = -v^3, on a UV = -a^3/27 et U+V = -b

U et V sont donc les deux solutions de l'équation du second degré suivante :
x^2 +bx -a^3/27

Delta = b^2+4a^3/27
u^3 = U = (-b -racine(delta))/2 = -(b/2) + racine ( (b/2)^2 + a^3/27)
v^3 = -V = (b + racine(delta))/2 = (b/2) + racine ( (b/2)^2 + a^3/27)
Et u-v nous donne une solution de X^3 +aX +b =0

En prenant b = 6 et a = 5, on retrouve notre expression, au signe près !!
Autrement dit, [latex]\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} -\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}[/latex] est l'opposé d'une des solutions réelles de X^3+5X+6 = 0

Là, c'est fastoche: cette équation admet pour solution -1; et une rapide étude de son tableau de variation nous indique que c'est la seule solution réelle.


Conclusion : [latex]\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} -\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} = 1[/latex]

 #8 - 07-06-2011 02:51:08

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Simpliication

[TeX]\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} -\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}[/TeX]
=[latex]\sqrt[3]{20} -\sqrt[3]{14}[/latex]


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #9 - 07-06-2011 14:23:15

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2717
Lieu: Luxembourg

Simplificaion

Bonjour,
Je vais utiliser (a-b)3 = a3 - b3 - 3ab(a-b) et on cherche x = a-b
Nous avons a3 - b3 = 3-(-3) = 6 et (ab)3 = 9 + 125/27 - 9 = 125/27
d'où ab = 5/3 ou 3ab = 5 et donc (a-b)3 = 6 - 5(a-b) soit x3 + 5x - 6 = 0
Une solution triviale est x = 1 et je peux donc diviser par x - 1
On a: x3 + 5x - 6 = (x - 1)(x2 + x + 6) = 0
Or le second terme n'a pas de solution réel car le discriminant est négatif:
heureusement d'ailleurs car on aurait sinon une sérieuse anomalie.
Donc x = 1
Bonne journée.
Frank

 #10 - 07-06-2011 14:51:02

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1434

silplification

Méthode plus "simple" ou en tout cas plus intuitive que la précédente :
a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) = (a-b) ((a-b)^2 + 3ab)

On note a la première racine cubique et b la seconde, et X leur différence
a^3-b^3 = 6 = X (X^2 + 3ab)

ab est la racine cubique de 9+125/27-9 et vaut donc 5/3
Du coup, on a X (X^2+5) = 6
X est donc la solution réelle de X^3+5X-6=0 (il n'y en a qu'une d'après son tableau de variation) et vaut 1

 #11 - 07-06-2011 21:44:16

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1922
Lieu: UK

sumplification

Soit X=le truc affreux
soit [latex]a = \sqrt{9+\frac{125}{27}}[/latex]
soit [latex]b = -3[/latex]

alors [latex]X=(a+b)^{\frac1 3}-(a-b)^{\frac1 3}[/latex]
[TeX]X^3=(a+b)-3(a+b)^{\frac2 3}(a-b)^{\frac1 3}+3(a+b)^{\frac1 3}(a-b)^{\frac2 3}-(a-b)[/TeX][TeX]X^3=2b-3[(a+b)(a-b)]^{\frac1 3}[(a+b)^{\frac1 3}-(a-b)^{\frac1 3}][/TeX]
avec [latex]3[(a+b)(a-b)]^{\frac1 3}=5[/latex]
[TeX]X^3=6-5X[/TeX]
ce qui donne [latex]X=1[/latex]


The proof of the pudding is in the eating.

 #12 - 09-06-2011 20:56:50

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Simplifiication

Bravo à ceux qui ont trouvé 1.
Merci à tous.
smile


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 #13 - 09-06-2011 23:03:13

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

simplificarion

Vous m'expliquez pourquoi MOI il me manque [latex]3*10^{-14}[/latex] ? lol


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #14 - 09-06-2011 23:11:04

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

simplificatoon

Surtout à la main lollollol


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #15 - 10-06-2011 00:05:36

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Simplfiication

Je n'ai pas le temps d'éplucher toutes les solutions mais il me semble que si toutes aboutissent à 1 ( tout le monde a pu vérifier à la calculatrice ) , il y a pas mal de divergences dans les affirmations .

Vasimolo

 #16 - 10-06-2011 13:16:59

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Simplfiication

Il y a souvent plusieurs méthodes. smile
Shadock tes calculs semblent bons mais plus l'expression est compliquée plus on risque de faire de erreurs.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #17 - 10-06-2011 21:59:49

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

simpligication

Passer l'expression au cube "au cas où on retombe sur quelque chose d'exploitable" est une bien jolie méthode smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #18 - 10-06-2011 23:53:42

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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simolification

Vasimolo a écrit:

Je n'ai pas le temps d'éplucher toutes les solutions mais il me semble que si toutes aboutissent à 1 ( tout le monde a pu vérifier à la calculatrice ) , il y a pas mal de divergences dans les affirmations .

En fait c'est surtout moi qui a fait une grossière erreur de signe . Contrairement à mon affirmation il n'y a qu'une racine réelle smile

Vasimolo

 #19 - 11-06-2011 00:16:56

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

simplificatipn

Ouai bah j'ai tapé les deux expressions que je trouvais dans ma calculette et elle ne veut pas afficher 1 cette co**e ! sad


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

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