Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 18-11-2017 17:27:58

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 241

lz jeu des espions

Bonjour,

Une énigme librement plagiée sur celle qui avait été proposée sur  "l'île des mathématiques" (juin 2014)

N espions possèdent chacun un secret différent, et leur but est de se communiquer leurs secrets, de manières à ce que chaque espion connaisse chacun des secrets. Pour ce faire, il procèdent par appels téléphoniques, durant lesquels deux espions se partagent tout les secrets qu'ils possédaient avant l'appel. Les conversations téléphoniques ne se font pas entre plus de deux espions. Deux conversations simultanées comptent pour deux appels.

L'objectif est de trouver le nombre minimal d'appels (en fonction de N) pour que chaque espion connaisse tout les secrets.

Exemple: si il y a 5 espions 1,2,3,4,5, qui possèdent les secret s1, s2, s3, s4, s5 (1 connait uniquement s1, 2 connait uniquement s2, ...)
Ainsi, si 1 et 2 se téléphonent, tout deux connaitront s1 et s2
Ensuite, si 1 et 3 se téléphonent, ils connaitront tout les deux s1, s2 et s3 (mais 2 ne connaitra toujours que s1 et s2)
Si ensuite 1 téléphone à 4 puis à 5, puis re-téléphone à 2,3 et 4, tous les espions connaitront tous les théorèmes


1) Une borne supérieure avait été prouvée assez facilement, saurez vous la retrouver?

2) Peut on trouver et démontrer la valeur exacte du nombre minimal d'appels nécessaires?

Si c'est trop dur, j'ajouterai des indices
--------------------------------------------------------------------------------------------
Voici deux indices, chacun donne une piste pour une résolution différente, la première est celle de Scarta, la deuxième est la mienne.

Indice1
Spoiler : [Afficher le message] On peut procéder par l'absurde en supposant qu'il existe en solution en 2n-5 appels, et démontrer qu'il n'est pas possible qu'un espion apprenne son secret de par un autre espion

Indice 2
Spoiler : [Afficher le message] Pour une solution donnée, à partir d'un espion ayant reçu tout les indices, il est possible de construire un arbre d'appels qui indique comment les secrets se sont propagés jusqu'à lui. On peut alors montrer qu'il 'existe pas de moyen de compéter l'arbre avec d'autres appels en moins de 2n-4 appels, en faisant apparaitre un récurrence forte.



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 18-11-2017 20:06:29

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3263

Le jeu ddes espions

Salut Caduk,

ça me fait penser à un nuage de n points. Chaque point devant être raccordé à un réseau unique, le calcul est vite fait il me semble: n-1.

 #3 - 18-11-2017 20:12:43

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 241

Le jeu ds espions

nodgim
reconsidère le problème 2 minutes, tu verras que n - 1 appels ne sont largement pas suffisant pour résoudre le problème. smile

 #4 - 18-11-2017 21:07:25

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2850
Lieu: Luxembourg

le jeu des espiond

Chaque espion en appelle un autre, puis un représentant d'un groupe de deux en appelle un autre, puis un représentant d'un groupe de quatre en appelle un autre,
etc. Donc si N est de la forme 2^n, alors le nombre d'appels nécessaires est n.
Formule générale: n = ent [ log(N) / log(2) + 0,999 ]

 #5 - 18-11-2017 21:43:03

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 241

le jeu fes espions

Franky1103
Si deux appels sont passés en même temps, ils comptent comme 2 appels. Ta solution donne donc n - 1 appels.
De plus, comme pour nodgim, ta solution permet à un espion de connaitre tout les secrets, mais la majeure partie de tes espions ne connaitra que très peu de secrets...
P.S: au passage, ton écriture pour l'arrondi à l'entier supérieur m'aura beaucoup amusé big_smile

 #6 - 18-11-2017 22:32:41

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 530

le jeu fes espions

Pour 2 espions, 1 appel suffit.
Pour 3 espions, il faut 3 appels.
Pour 4 espions, c'est 4 appels.
Et à partir de 4 espions, chaque nouvel espion imposera 2 appels supplémentaires, soit 2n-4 appels pour n espions.

Il est facile de démontrer que ce nombre d'appels est suffisant par récurrence : on suppose que pour n>=4 espions (appelés E1, ..., En), 2n-4 appels suffisent, et on rajoute un espion En+1. Alors voici une solution utilisant 2n-2 appels : En+1 appelle E1, puis on effectue une solution du problème avec n espions, puis En+1 appelle E1.

Par contre, démontrer que ce nombre d'appels est nécessaire, c'est une autre paire de manches. C'est un résultat connu sous le nom de "gossip problem", et si tu as une démonstration simple, ça m'intéresse...

 #7 - 18-11-2017 23:17:54

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 642

Le jjeu des espions

Pour la borne supérieur, L'espion 1 appelle tout le monde puis rappelle tout le monde sauf le dernier.

donc 2(n-1) -1 appels.

Pour 4 espions, ça nous ferait 5 appels. Mais on peut régler l'affaire en 4
1-2
3-4
1-3
2-4

Pour 5 espions, on le fait en 6, donc on ne gagne qu'un appel par rapport à la borne supérieur.
1-2
3-4
1-5
1-3
4-5
2-1

Pour 8 espions
1-2 / 3-4 / 5-6 / 7-8
1-3 / 5-7
1-5 / 3-7
et 4 appels pour les 4 derniers espions.
Ce qui nous fait 12 appels au lieu de 13 ...
Zut, j'étais sur de gagner 2 appels, je retourne à mon étude smile

 #8 - 18-11-2017 23:38:19

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 241

le jei des espions

Ebichu
Oui c'est bien ça. Je ne connaissais pas le nom du problème, j'ai du démo qui est assez élégante, avec une démo relativement simple, même si elle n'est pas forcément évidente au premier abord. Je vais essayer de la comparer à celles que je trouverai sur le net.
godisdead
Oui, c'est effectivement juste, on peut encore améliorer un peu cette borne en arrangeant un peu mieux les appels, regarde le cas ou n = 4

 #9 - 19-11-2017 08:50:11

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,717E+3

le jeu des espiins

Le problème est assez classique :

Une barre haute est évidemment (2n-3) :

n°1 appelle tout le monde une première fois. => (n-1) coups de fil et 2 espions au courant lors du dernier coup de fil.

Puis il rappelle les (n-2) premiers.

Mais on peut économiser assez facilement un coup de fil :

Il suffit de partager le groupe en 2 pour partager l'information entre les deux groupes ensuite.


n°1 appelle de 2 à m => n°1 et n°m ont toutes les infos de leur groupe
n°n appelle de (m+1) à (n-1) => idem pour n°n et n°(n-1)

On en est à (n-2) coups de fil.

1 et m appellent respectivement n et (n-1), soit 2 coups de fil de plus.

On en est à n coups de fil et 4 espions possédant toutes les informations.

Il reste n-4 coups de fils à passer pour mettre les autres au courant, soit (2n-4) coups de fil en tout.

 #10 - 19-11-2017 09:34:29

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 241

Le jeu des espons

gwen27
Très bien, reste à prouver que l'on ne peut pas faire mieux...

 #11 - 19-11-2017 10:24:51

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3263

Le je des espions

Je dirais qu'il faut faire une dichotomie max.

La parenthèse symbolisant le nb d'échanges:

(2^n) = n * 2^(n-1).

Pour les autres échanges :

(2n+1) = (n) + (n+1) + n+1

(2n) = (n)+ (n) + n.

Il me semble qu'on a tout intérêt à avoir, quand on doit échanger entre 2 groupes, des groupes de même cardinal à l'unité près. Car le nombre d'échanges dépend du plus grand groupe. il vaut mieux échanger entre 2 groupes de 6 qu'entre 1 groupe de 3 et 1 groupe de 9. La raison en est qu'on a intérêt à avoir des échanges bilatéraux, c'est à dire que l'un et l'autre des échangeurs trouve à récupérer des infos. Avec un échange entre 3 et 9, il y aura 3 échanges pleins, et pour les 6 autres du groupe de 9, ce sera un échange dans un seul sens. Comme au final, ce qu'il faut c'est que tous les espions aient les infos, on a intérêt à ce que les échanges soient max, ce qui se produit quand il y a le même nombre d'infos à l'unité près à échanger de part et d'autre.

 #12 - 19-11-2017 10:50:27

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4986

le jeu des espionq

Salut Caduk smile

J'ai déjà vu ce problème quelque part mais j'ai la mémoire qui flanche .

On trouve facilement pour n espions :

n=1 : 0 appel .
n=2 : 1 appel .
n=3 : 3 appels .
n>3 : 2n-4 appels .

La partie délicate est de monter qu'on ne peut pas faire mieux . Il me semble qu'on y arrive en séparant les espions en deux blocs mais je n'ai pas retrouvé la petite subtilité qui fait fonctionner l'affaire , à suivre ...

Vasimolo

 #13 - 19-11-2017 12:33:24

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 241

Le eu des espions

Vasimolo
Oui c'est bon.
Effectivement, ce qui reste est un peu plus délicat...
nodgim
Je n'ai pas très bien compris ton raisonnement. Ce que tu dis donnes un nombre factoriel d'échange? Dans ce cas, on est très loin de l'optimum...

 #14 - 19-11-2017 15:40:22

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3263

Le jeu des sepions

Mes parenthèses étaient mal venues....

Soit E(n) le nb d'échanges.

On a E (2^n) = n. 2^(n-1)

Et aussi, cas général :
E(2n) = 2 * E(n) + n
E(2n+1) = E(n) + E(n+1) + (n+1)

Ainsi :
E(1) = 0
E(2) = 1
E(3) = 3
E(4) = 4
E(5) = 7
E(6) = 9
etc....

 #15 - 19-11-2017 15:58:42

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 241

Le jeeu des espions

nodgim
Donc ça nous donne une croissance en nlog(n), ça reste bien loin de l'optimal...

 #16 - 19-11-2017 17:07:39

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3263

Le jeu des espion

J'ai nettement moins que n*ln(n).
E(31) = 79 alors que 31 ln 31 = 106.

 #17 - 19-11-2017 18:00:25

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 241

le jeu ded espions

nodgim
C'est la complexité asymptotique. Si on veut être plus précis, ta borne sera de l'ordre de n ln(n)/ (2 ln(2) ), borne atteinte pour les puissances de 2.
Mais sache qu'il est possible de démontrer très simplement une borne linéaire.

 #18 - 20-11-2017 07:55:49

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3263

le jeu des espiond

Oui en effet, et la méthode est on ne peut plus simple : on met les espions en cercle de 1 à n, les échanges se font alors de 1 à 2, puis 2 à 3...puis n-1 à n, puis n à 1, puis 1 à 2...jusqu'à n-2, et ça fait 2n-3 échanges.

Seuls les échanges par dichotomie sont plus performants pour E(4) = 4 au lieu de 5 en linéaire et E(8) = 12 au lieu de 13 en linéaire.

Je me suis fait bien avoir en faisant d'une généralité l'apparente efficacité de la dichotomie pour les petits nombres.

 #19 - 20-11-2017 14:50:09

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 241

le jzu des espions

C'est déjà beaucoup mieux. mais tu faire un tout petit poil mieux, regarde par exemple pour n = 5...

 #20 - 20-11-2017 16:22:03

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3263

Le jeu de sespions

Effectivement. En prenant les impairs d'un bout à l'autre d'une part, les pairs d'un bout à l'autre d'autre part, on gagne 1 échange. ça marche avec un nb pair ou impair d'espions.

Donc 2n - 4 .

 #21 - 20-11-2017 16:29:13

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 241

le keu des espions

Maintenant, l'enjeu est de démontrer qu'il n'est jamais possible de faire mieux que cette borne, et c'est moins facile...

 #22 - 20-11-2017 18:14:48

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1552

lr jeu des espions

Très intéressant (j'avoue que je le connaissais déjà...)

On peut très facilement montrer que 2 appels de plus suffisent quand on augmente la taille du problème d'une personne
- un tout premier appel pour que le dernier espion appelle le 1er ==> son secret passe ensuite par tout le monde
- un tout dernier appel pour que le premier rappelle le dernier ==> il aura alors les secrets de tout le monde aussi
d'où une progression au pire linéaire.

Concernant une éventuelle borne sup, soyons bourrins: chacun appelle tous les autres, ça nous fait du n(n-1)/2

Pour une valeur exacte, pour les premières valeurs de N, on a
1 ==> 0
2 ==> 1
3 ==> 3
4 ==> 4
et à partir de là, deux appels de plus suffisent toujours donc
5 ==> 6
6 ==> 8
etc... donc plus généralement 2n-4


Pour la démonstration que 2n-4 appels suffisent, c'est bon.
Pour démontrer que 2n-5 appels ne suffisent pas, c'est moins simple.

Supposons qu'il existe N tel que le nombre d'appels soit <= 2N-5

Lemme 1: Après un appel, le fait de changer les deux espions dans tous les appels futurs ne change pas le résultat
Démonstration: puisque à ce moment précis, ils ont exactement les mêmes informations, il sont complètement indistincts et donc peuvent être échangés.
Plus généralement, si deux espions ont la même connaissance au même moment, le résultat reste valable

Lemme 2: Un même appel (A,B) intervient au plus une fois
Démonstration: s'il arrive 2 fois, ou plus, alors considérons le système suivant:
- A et B sont remplacés par A' (et idem pour leur secret)
- tous les appels (A,B) sont supprimés
- tous les appels avec A ou avec B sont remplacés par des appels avec A'
A tout moment, ce que connait A' est identique à ce que connaissaient A et B (au même moment), et la connaissance des autres espions est au moins égale à celle qu'ils avaient aussi au même moment.
Donc, on a un système avec N-1 espions, et au plus 2N-5-2 = 2(N-1)-5 appels nécessaire.
Par argument de la descente infinie, un tel cas n'existe pas.

Lemme 3: Avant un appel, les deux interlocuteurs n'ont aucune information en commun
Démonstration: supposons que A et B s'appellent, et que les deux connaissent déjà le secret de C. Alors:
- soit les deux l'ont appris, après une chaine d'information, d'un ancêtre commun (C ou un ancêtre plus récent, mais on notera C quand même)
- soit A l'a appris de B (directement ou pas)
Dans le premier cas, on a une chaine C -> A1 -> A2 -> ... -> A et une autre C -> B1 -> B2 -> ... -> B
On va supposer que l'appel (C,B1) a lieu après (C,A1), ça ne change rien au problème. D'après le lemme 1, on peut permuter (C,B1)(B1,B2)...(Bk,B) en (C,B1)(C,B2)...(Bk,B) etc... pour avoir à la fin (C,B)
On fait de même avec (C,A1)(A1,A2)(A2,A3)...(Ak,A) => (C,A1)(A1,A2)(A1,A3)...(Ak,A) => (C,A1)(A1,A2)(A1,A3)...(A1,A)
Et enfin l'appel (A,B) devient (A1,C), qu'on avait déjà en début de chaîne. Donc, d'après le lemme 2, ce cas est impossible.
Dans le second cas, c'est encore plus direct: (B,X1)(X1,X2)...(Xk,A) devient après permutations (B,X1)(B,X2)...(B,A), et ajouter un appel (A,B) est aussi contraire au lemme 2.

Corollaire 4: un espion ne reçoit pas son propre secret (puisqu'il le connait déjà)
Corollaire 4bis: l'appel qui apportera tous les secrets à un espion A est son dernier appel (sinon, il communiquera à son prochain interlocuteur B son propre secret)
Corollaire 4ter: un espion passe son dernier appel si et seulement si son interlocuteur aussi (puisque les deux ont la même connaissance à l'issue de l'appel)

Lemme 5: un espion passe son premier appel si et seulement si son interlocuteur aussi
Démonstration: soit (A,B) le premier appel de A, où il recevra le secret de B. Supposons que ça ne soit pas le premier appel de B, et que A reçoive aussi du coup le secret de C.
Désormais, l'espion A connait les secrets A et C, et l'espion B aussi. Plus important, personne d'autre ne connait le secret A.
A partir de là, toute propagation du secret A se fait avec le secret C (puisque tous ceux qui connaissent A connaissent C aussi).
De là, on en déduit que quand C connaîtra le secret de A, on lui rapportera son propre secret (absurde, cf corollaire 4)

Lemme 6: un tel N n'existe pas
Démonstration: on remonte la liste des appels, en partant de la fin, et on prend le premier appel en partant de la fin tel qu'il ne soit pas le dernier des 2 interlocuteurs concernés.
On va le noter (A,B) - techniquement, cela signifie qu'il y a un autre appel avec A ensuite, noté (A,C) et idem un autre appel (B,D) ensuite. D'après (4ter), il n'y a qu'un seul appel (A,C) et un seul (B,D)
D'après (3), la connaissance de A et C est complémentaire, idem pour B et D. Après l'appel (A,B), les deux ont la même connaissance ==> C et D ont la même connaissance aussi.
Deux options: il y a eu un appel (C,D); ou pas (dans ce cas, on applique le lemme 1, ce qui nous ramène au cas précédent mais ne changera pas le résultat).
De plus, ces 4 espions doivent bien avoir des premiers appels (avec X, Y, Z, T). D'après le lemme 5, ces 4 espions sont bien distincts (le premier appel de X correspond au premier appel de A, etc...)
On a donc (dans cet ordre là (logiquement, ou de manière arbitraire sans changer le problème) les appels (A,X),(B,Y),(C,Z),(D,T),*(C,D),(A,B),(A,C),(B,D)
Lorsqu'on arrive à l'étoile, X, Y, Z et T connaissent tous les secrets (puisqu'ils n'interviennent plus).
On peut donc considérer un autre système à N-4 espions, où A et X seraient remplacés par AX, idem BY, CZ et DT. Dans un tel système
- les 4 appels (A,X),(B,Y),(C,Z),(D,T) sont inutiles (espions fusionnés)
- les 4 appels (C,D),(A,B),(A,C),(B,D) sont inutiles (puisque après l'étoile)
Il faut donc au plus 2N-5-8 appels, soit 2(N-4)-5. Par le même argument de descente infinie que précédemment, on en déduit l'absurdité de l'existence de N.

Conclusion: il faut exactement 2n-4 au minimum pour tout n >= 4

Note: je répète que je connaissais déjà ce problème.
Le plus drôle c'est en fait la manière dont il m'avait été présenté la première fois:
- n espions communiquent n secrets, par mail (donc un expéditeur qui partage ses secrets avec un destinataire, mais pas l'inverse). Le résultat est alors de 2n-2
- idem, par téléphone, et là on est surpris de voir que seuls 2 appels sont économisés !!!

 #23 - 20-11-2017 18:50:29

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3263

le jeu ses espions

Pas facile en effet de prouver qu'il n'y a pas de meilleure stratégie....

Ce qui est sûr, c'est que pour qu'un espion donné reçoive tous les secrets, de quelle que façon qu'on s'y prenne, il faut n-1 échanges. Cependant, cet espion partage forcément avec un collègue la totalité de ces infos (le dernier appel). Et  donc encore n-2 autres échanges pour redistribuer toutes ces infos à tous les collègues. Or, on vient de montrer qu'il existe au moins une stratégie plus performante que 2n-3.

A creuser encore....

 #24 - 21-11-2017 07:26:53

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 465

Le jeu des espioons

Bonjour,

caduk #1 a écrit:

Les conversations téléphoniques ne se font pas entre plus de deux espions. Deux conversations simultanées comptent pour deux appels.

(1) appelle simultanément (2) à (n), et répète tout ce qu'on lui dit. Tout le monde est au courant avec seulement n-1 appels.

Si ce subterfuge n'est pas validé, 2n-3 appels suffisent :
(1) appelle successivement (2) à (n) pour recueillir toutes les informations, puis (2) à (n-1) pour informer tout le monde.

Pour n=4, on peut faire mieux : 1-2, 3-4, 1-3, 2,4

À suivre…

Ajouté :
J'ai fait un script en python qui trouve un nombre de 2n-4 échanges pour n variant de 4 à 10. Je ne sais pas le démontrer, ni si c'est le minimum. Les espions sont ici numérotés de 0 à n-1.

Code:

n=4 
 4 échanges (0,1),(2,3),(1,2),(0, 3)

n=5
 6 échanges (3,4),(0,1),(0,2),(0,3),(2,4),(0,1)

n=6 
 8 échanges (0,1),(2,4),(1,5),(1,3),(3,4),(1,2),(0,3),(3,5)

n=7 
10 échanges (0,1),(2,6),(2,5),(0,3),(3,4),(3,5),(2,4),(1,4),(2,6),(0,2)

n=8 
12 échanges (2,3),(4,6),(0,5),(3,7),(3,6),(1,3),(0,3),(1,5),(1,6),(1,2),(2,4),(2,7)

n=9 
14 échanges (0,3),(6,7),(5,8),(1,2),(3,8),(1,4),(6,8),(1,8),(4,6),(0,1),(0,2),(1,5),(2,3),(4,7)

n=10 
16 échanges (4,9),(4,8),(1,5),(2,3),(6,8),(3,7),(0,7),(1,6),(1,7),(3,7),(2,7),(0,6),(5,7),(5,8),(7,9),(4,6)

 #25 - 21-11-2017 10:14:04

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 241

Le jeu des epsions

enigmatus
C'est la bonne conjecture, reste à la prouver
scarta
Grâce à Ebichu qui m'a donné le nom du problème, j'ai trouvé une preuve qui ressemble beaucoup à la tienne. Pour ma part, j'en ai trouvé une autre, qui n'est pas plus simple, surtout au niveau des objets à créer (manipulation d'arbres et de graphes), mais elle met en œuvre une jolie récursion, et je trouve à titre personnelle qu'elle permet mieux de se représenter ce qui se passe (notamment en expliquant de manière très claire le phénomène observé quand n passe de 3 à 4)
Après, j'ai trouvé 2 autres preuves, dont l'une manipule aussi des graphes, peut être qu'elle a des similarités avec la mienne, je la regarderai quand j'aurai le temps.

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Riri, Fifi et ?

Sujets similaires

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete