Enigmes

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 #1 - 31-10-2010 21:32:20

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

somme dr 3 nombres premiers valant 10000

Il y a plusieurs années , dans un livre d'énigme, j'ai trouvé celle là, et aujourd'hui encore je m'en rappelle, car je n'y avais pas prêté attention.

La question est très simple:
La somme de 3 nombres premiers vaut 10000. Quel est le plus petit des 3 utilisé pour arriver à ce résultat?

La réponse est simple, pourtant elle n'est pas évidente pour tous, je vous laisse y réfléchir smile
Une justification peut-être la bienvenue smile

Spoiler : Question supplémentaire Quels sont les trois nombres premiers dont la somme vaut 10000?



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 #2 - 31-10-2010 21:42:11

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 792

Sommme de 3 nombres premiers valant 10000

Les nombres premiers sont tous impairs, sauf le nombre 2.
Pour obtenir 10000 avec 3 nombres premiers, il faut obligatoirement utiliser 2.

Sinon 2+9998 = 2+31+9967 = 10000 (via goldbach qui propose 98 autres solutions)

 #3 - 31-10-2010 21:55:42

docbabar
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 75

Somme de 3 nombres premers valant 10000

c'est le 2 car : 2+31+9967=10000

 #4 - 31-10-2010 22:00:26

engine
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 351

Somme de 3 nombres prremiers valant 10000

Je ne vois pas d'autres moyens que le tatonnement or j'y suis encore dans l'au-delà si je fais comme ça big_smile


plouf

 #5 - 31-10-2010 22:03:59

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Smme de 3 nombres premiers valant 10000

A part 2 tous les nombres premiers sont impair, or la somme de trois nombres impair est impair.
or 10000 est pair, donc forcément un des nombres premier est 2 et c'est le plus petit.
donc ensuite on cherche deux nombres premiers tels que leurs sommes est 9998, il existe car
la conjecture de Goldbach (http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Goldbach) a été vérifiée
pour tous les entiers pairs bien au delà de 10000, de plus il est fort
probable que la solution ne soit pas unique.
Par exemple :

2 31 9967
2 67 9931
2 97 9901
etc...


Il y a sûrement plus simple.

 #6 - 31-10-2010 22:22:24

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Soomme de 3 nombres premiers valant 10000

Si la conjecture de Goldbach est vraie, alors tout nombre pair plus grand que 2 peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers. Dans ce cas, on peut écrire 10000=2+9998, et 9998 peut s'écrire comme la somme de deux premiers. 2 étant le plus petit premier, alors la réponse est 2.

Avec ou sans cette conjecture, si on décompose 10000 comme la somme de trois nombres, il y en aura forcément un au moins qui sera pair. Si on impose que ces trois nombres soient premiers, il faudra que le nombre 2 entre une et une seule fois dans cette somme.

Exemple : 4987 + 5011 + 2

J'ai écrit vite fait un petit programme Fortran qui a l'air de marcher (khihihi ^^) :

Code:

      program decompo2

         implicit none
         logical :: isprime
         integer :: n, compteur

        compteur = 0

         print*, 'Decomposition de 10000 comme somme de 3 premiers :'

         do n = 3, 4999, 2
            if(isprime(n).AND.isprime(9998-n)) then 
               print*, 2, ' + ', n, ' + ', 9998-n
               compteur = compteur + 1
            end if
         end do

         print*, compteur, ' decompositions differentes.'

      end program



      logical function isprime(n) result(isprimeval)

         implicit none
         integer, intent(in) :: n
         integer :: i

         isprimeval = .TRUE.

         do i=3, int(sqrt(real(n))), 2
            if(n - (n/i)*i == 0) isprimeval = .FALSE.
         end do

      end function isprime

(P**ain... n - (n/i)*i, ça vaut mod(n,i). Comment réinventer la poudre. Mon prof d'info me flagellerait s'il voyait ça lol)

Ca me donne :

Code:

 Decomposition de 10000 comme somme de 3 premiers :
           2  +           31  +         9967
           2  +           67  +         9931
           2  +           97  +         9901
           2  +          127  +         9871
           2  +          139  +         9859
           2  +          181  +         9817
           2  +          211  +         9787
           2  +          229  +         9769
           2  +          277  +         9721
           2  +          337  +         9661
           2  +          349  +         9649
           2  +          367  +         9631
           2  +          379  +         9619
           2  +          397  +         9601
           2  +          487  +         9511
           2  +          577  +         9421
           2  +          601  +         9397
           2  +          607  +         9391
           2  +          661  +         9337
           2  +          757  +         9241
           2  +          811  +         9187
           2  +          907  +         9091
           2  +          991  +         9007
           2  +          997  +         9001
           2  +         1069  +         8929
           2  +         1237  +         8761
           2  +         1279  +         8719
           2  +         1291  +         8707
           2  +         1321  +         8677
           2  +         1399  +         8599
           2  +         1459  +         8539
           2  +         1471  +         8527
           2  +         1531  +         8467
           2  +         1567  +         8431
           2  +         1579  +         8419
           2  +         1609  +         8389
           2  +         1621  +         8377
           2  +         1669  +         8329
           2  +         1777  +         8221
           2  +         1789  +         8209
           2  +         1831  +         8167
           2  +         1987  +         8011
           2  +         2131  +         7867
           2  +         2239  +         7759
           2  +         2281  +         7717
           2  +         2311  +         7687
           2  +         2377  +         7621
           2  +         2437  +         7561
           2  +         2521  +         7477
           2  +         2539  +         7459
           2  +         2647  +         7351
           2  +         2677  +         7321
           2  +         2689  +         7309
           2  +         2791  +         7207
           2  +         2971  +         7027
           2  +         3001  +         6997
           2  +         3037  +         6961
           2  +         3049  +         6949
           2  +         3169  +         6829
           2  +         3217  +         6781
           2  +         3307  +         6691
           2  +         3319  +         6679
           2  +         3361  +         6637
           2  +         3391  +         6607
           2  +         3469  +         6529
           2  +         3517  +         6481
           2  +         3529  +         6469
           2  +         3547  +         6451
           2  +         3571  +         6427
           2  +         3631  +         6367
           2  +         3637  +         6361
           2  +         3697  +         6301
           2  +         3727  +         6271
           2  +         3769  +         6229
           2  +         3847  +         6151
           2  +         3877  +         6121
           2  +         3907  +         6091
           2  +         3919  +         6079
           2  +         3931  +         6067
           2  +         4129  +         5869
           2  +         4159  +         5839
           2  +         4177  +         5821
           2  +         4219  +         5779
           2  +         4261  +         5737
           2  +         4297  +         5701
           2  +         4339  +         5659
           2  +         4357  +         5641
           2  +         4441  +         5557
           2  +         4519  +         5479
           2  +         4549  +         5449
           2  +         4561  +         5437
           2  +         4567  +         5431
           2  +         4591  +         5407
           2  +         4651  +         5347
           2  +         4789  +         5209
           2  +         4801  +         5197
           2  +         4831  +         5167
           2  +         4987  +         5011
           2  +         4999  +         4999
          99  decompositions differentes.

Yep, 99 combinaisons différentes, apparemment lol (98 si on interdit d'avoir deux fois le même nombre dans la somme)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #7 - 31-10-2010 23:07:41

Mathix
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 5

Smme de 3 nombres premiers valant 10000

Prenons deux nombres premiers distincts de 2. Ils sont donc impairs et leur somme est pair.
Or 10 000 est pair, il faut donc un troisième nombre pair pour que la somme soit pair. Le seul nombre premier pair est 2, 2 est donc le plus petit nombre premier.big_smile

 #8 - 31-10-2010 23:12:26

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Somme de 3 nombres premiers vaalant 10000

deja 2 est dans la somme car sinon la somme de 3 entiers impairs est impair
maintenant il faut trouver 2 nombres premiers dont la somme est 999998
ces nombres ne peuvent pas être égal à 2 mod (3) sinon l'autre nombre serait divisible par 3

donc ces nombres sont égaux à 1 mod (3) et ces nombres ne doivent pas être pairs donc ces nombres sont égaux à 1 mod (6) et premier
7 ne marche pas
13 ne marche pas
19 ne marche pas
31 marche avec 9967

donc 2+31+9967=10000

 #9 - 31-10-2010 23:27:55

Papy04
Ricocheur en Chef
Enigmes résolues : 47
Messages : 1258

Somme de 3 nombres premiers valant 100000

La somme de 3 nombres premiers est toujours un nombre impair sauf si le 2 fait partie du lot. Ce sera donc forcément lui le plus petit des trois.
9967, 31 et 2 font 10000, mais il y a sans doute d'autres solutions smile


Nous les souiris nous avons un défaut, nous sommes prétentieux. Mais nous nous sommes corrigés. Maintenant nous sommes parfaits

 #10 - 01-11-2010 01:28:40

Lagaway
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 34
Lieu: Colombie

Somme d e3 nombres premiers valant 10000

Bonjour,

Les nombres premiers sont par définitions impairs... sauf bien sûr le 2.

la somme de deux nombres premiers (strictements supérieurs à 2) est paire
Si on y additionne un troisième nombre premier (strictements supérieurs à 2), on obtient un nombre impair...

Donc le seul moyen d'obtenir 10000 en additionnant trois nombres premiers est d'utiliser le nombre 2.

Les solutions utilisants le nombre 1 sont rapidement écartées :
1 + 2 + 9997 -> pas bon car 9997 divisible par 13
1 + 1 + 9998 -> pas bon car 9998 divisible par 2

Il faut ensuite décomposer 9998 est une somme de 2 nombres premiers :

on suit le filon du 2 et on remarque que 2 x 4449 = 9998 !!!
Soit encore 4449 + 4449 = 9998

On peut donc écrire 10000 = 2 + 4999 + 4999

PS: l'énoncé ne précise pas si les trois nombres premiers doivent être différents.

 #11 - 01-11-2010 02:39:35

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

Somme de 3 nombres premier valant 10000

c'est 2 pour la parite, les deux autres premiers seront impairs...

 #12 - 01-11-2010 04:37:27

Bobino
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 235
Lieu: Québec, Pays voisin du Canada

somme de 3 nombres premiees valant 10000

997+2+1+ 1000


Le début d'un bon repas c'est toujours la faim!

 #13 - 01-11-2010 07:34:13

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Somme de 3 nombres premires valant 10000

Une somme de trois nombres impairs est impair.Or 10000 est pair donc nécessairement 2 est dans cette somme,2 étant le plus petit nombre premier c'est fini.

9998 =     31     +     9967
9998 =     67     +     9931
9998 =     97     +     9901
9998 =     127     +     9871
9998 =     139     +     9859
9998 =     181     +     9817
9998 =     211     +     9787
9998 =     229     +     9769
9998 =     277     +     9721
9998 =     337     +     9661


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #14 - 01-11-2010 08:11:11

sofox
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 109
Lieu: Besançon

somme de 3 nombres peemiers valant 10000

je viens de modifier mon message : en effet, quand je réponds, mon message apparaît, alors que pour les autres posts, il y a marqué " réponse cachée 60 h"


Schizos Are Never Alone

 #15 - 01-11-2010 08:22:15

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 175

Somme de 3 nombrs premiers valant 10000

S'il existe, ce ne peut être que 2, puisque la somme de 3 nombres impairs ne fera jamais 10000.

Un petit coup d'excel et on a 99 couples de somme 9998 : à noter , surlignés, la présence de 3 nombres premiers consécutifs dans cette liste


31    9967        1621    8377        3727    6271        1279    8719        4261    5737
67    9931        1669    8329        3769    6229        1291    8707        4297    5701
97    9901        1777    8221        3847    6151        1321    8677        4339    5659
127    9871        1789    8209        3877    6121        1399    8599        4357    5641
139    9859        1831    8167        3907    6091        1459    8539        4441    5557
181    9817        1987    8011        3919    6079        1471    8527        4519    5479
211    9787        2131    7867        3931    6067        1531    8467        4549    5449
229    9769        2239    7759        4129    5869        2647    7351        4561    5437
277    9721        2281    7717        4159    5839        2677    7321        4567    5431
337    9661        2311    7687        4177    5821        2689    7309        4591    5407
349    9649        2377    7621        4219    5779        2791    7207        4651    5347
367    9631        2437    7561        607    9391        2971    7027        4789    5209
379    9619        2521    7477        661    9337        3001    6997        4801    5197
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577    9421        3547    6451        907    9091        3169    6829        4999    4999
601    9397        3571    6427        991    9007        3217    6781        3391    6607
1567    8431        3631    6367        997    9001        3307    6691        3469    6529
1579    8419        3637    6361        1069    8929        3319    6679        3517    6481
1609    8389        3697    6301        1237    8761        3361    6637


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #16 - 01-11-2010 08:43:20

Fireblade
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 34

Somme de 3 nombres premiers valant 01000

Évidemment le plus petit est 2 car tous les autres nombres premiers sont impairs, donc la somme des deux premiers donne un nombre pair.
Pour le reste il suffit de lancer un programme avec 2 et p premier inférieur à racine de 500. Ainsi si 1000-2-p est premier on a une décomposition.

Edit : la conjecture de Goldbach (tout nombre pair s'écrit comme somme de deux nombres premiers) n'est toujours pas démontrée mais elle est vérifiée pour des entiers pairs suffisamment grand pour inclure 998.

On trouve par exemple
1000=2+7+991
1000=2+31+967
1000=2+61+937
1000=2+79+919
1000=2+139+859
1000=2+211+787
1000=2+241+757
1000=2+271+727
1000=2+307+691
1000=2+337+661
1000=2+367+631
1000=2+379+619
1000=2+397+601
1000=2+421+577
1000=2+457+541
1000=2+499+499

Soit 16 possibilités wink

 #17 - 01-11-2010 09:07:54

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 950

Somme de 3 nombres premiers vaalant 10000

L'observation de la parité donne bien sûr p1=2.
Le choix de 10000 vient peut-être du fait que 4999 est premier et qu'on a donc :
2+4999+4999=10000.
Mais aussi, en se contentant d'une lecture manuelle :
2+31+9967=10000
Mes deux exemples donnent les valeurs extrêmes du produit des trois premiers utilisés :
2*31*9967=617954 & 2*4999²=49980002.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #18 - 01-11-2010 12:08:24

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Somme de 3 nombres premiers vlaant 10000

bien vu...
2 evidement...
puisque tous les nombres premiers sauf 1, le 2 sont impairs. il est evident qu'il faut que 2 soit dans la liste pour avoir une somme paire avec 3 nombres premiers.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #19 - 01-11-2010 15:15:26

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

Somme de 3 nombre spremiers valant 10000

1) Pour que la somme de trois nombres soit pair, il faut qu'au moins un de ces nombres soit pair.
2) Le seul nombre premier qui soit pair est 2.
3) Le plus petit nombre premier est 2.

10 000 étant un nombre pair, des trois précédentes remarques, on en déduit que la réponse à ta première question est 2.

Ta question bonus m'amène à m'en poser d'autres:

1) Pour un entier n quelconque, peut-on toujours trouver deux nombres premiers p et q tels que: n = p+q?
--> La réponse est non et 11 est un contre exemple.

2) Quand elle existe, cette décomposition est-elle unique?
--> La réponse est non et 10 en est un contre exemple (10=5+5=7+3).

3) Comment trouver ("facilement") l'ensemble des couples (p, q) qui permettent de faire la décomposition?
--> Je ne sais pas (à part faire un code qui teste toutes les possibilités)!

Pour ton cas, on a: 10 000 = 2+p+q.
Soit: 9998=2*4999=p+q, où 2 et 4999 sont premiers.
Il suffit alors de prendre: p=q=4999 pour trouver une solution à ta question bonus.
Pour les éventuelles autres solutions, j'ai la flemme de faire un code! Tu vas bien nous en faire un en C (... qui marche)? wink big_smile

 #20 - 01-11-2010 17:16:36

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,717E+3

Somme de 3 nombres premiers valan 10000

2 est le plus petit utilisé.

La somme de trois nombres impairs étant impaire, pour arriver à 10000, l'un des nombres doit être premier et pair, seul 2 répond à cette condition.

1 pourrait être plus petit encore mais 9997 n'étant pas premier, le 1 n'est pas utilisé.

 #21 - 01-11-2010 17:54:45

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Somme de 3 nombres prmiers valant 10000

1 n'est pas un ou plus considéré comme premier smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #22 - 01-11-2010 18:52:20

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

somme de 3 nombres premiees valant 10000

J'ai complété ma réponse précédente, mais je reposte juste pour le plaisir : un nombre premier est un nombre qui a exactement deux diviseurs, ce qui chasse 1 du clan des nombres premiers. Pourquoi faire ? Parce que sinon, la décomposition d'un rationnel en produit de nombres premiers n'est plus unique. C'est bête, hein ? big_smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #23 - 01-11-2010 21:15:17

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3823
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

somme de 3 nombres premiers valanr 10000

Très facile, mais très astucieux :
La somme de trois nombres ne peut être paire que si au moins l'un des nombres est pair.
Or le seul nombre premier pair est 2.
Et comme c'est le nombre premier le plus petit, la réponse est donc 2.
http://bahava.files.wordpress.com/2008/04/298649052_2b17d5bec9.thumbnail.jpg


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #24 - 01-11-2010 21:31:41

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Somme de 3 nombres premeirs valant 10000

Que des bonnes réponses pour le moment et félicitations à Mathias qui a une réponse parfaite, polie, lustrée, claire, précise, avec ça touche personnelle de programmation smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #25 - 01-11-2010 23:09:06

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1550

Somme de 3 nmobres premiers valant 10000

Un nombre premier est soit pair, soit impair.
Trois nombres impairs additionnés ne peuvent donner un résultat pair, donc l'un au moins est pair. Or, le seul nombre premier pair est 2, et c'est par ailleurs le plus petit nombre premier, donc quels que soient les 2 autres, ils sont forcément supérieurs à 2.
Le plus petit des 3 (à supposer qu'ils existent) est donc 2.

Si jamais on voulait aussi vérifier que de tels nombres premiers existent, on partirait de 9998 en décroissant, et pour chaque nombre premier on vérifierait si 9998-p est aussi premier. Ça se trouve assez vite: 9967 + 31 + 2 = 10000

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