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 #1 - 22-06-2011 00:07:19

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Glacèrent le sel..

Dans la figure ci-dessous, les rectangles ABCD, AEFD, CFGH, EIJG, et BIJH sont tous semblables. Trouver AB/BC.


http://img18.imageshack.us/img18/9113/rectjb.jpg



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 #2 - 22-06-2011 00:40:50

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Glacèrent le esl...

Bonjour,
Soit JB "l'unité de base" et k le rapport cherché.
Les côtés du grand rectangle valent par reports successifs:
2k+1/k et k²+3+1/k² dont le rapport vaut justement k.
Donc k(2k+1/k)=k²+3+1/k² => k²-2=1/k² => (k²)²-2k²-1=0
D'où k²=1+V2 et finalement k=V(1+V2)=1,554 env.
Bonne soirée.
Frank

 #3 - 22-06-2011 10:54:27

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

glavèrent le sel...

[TeX]BJ/BH = IJ/EJ = CH/CF = AE/AD = AB/BC[/TeX]
Voici pour la définition. On va dire que ce rapport vaut r. Repartons pour cela du rectangle ABCD, dont nous allons ramener le côté BC à l'unité. On s'en fout, ça fera pareil à la fin. Si si, j'te jure, oualalaradime.

On découpe dans l'ordre : AE fera [latex]1/r[/latex], et donc EBCF est de dimensions [latex]r - 1/r = \frac{r^2-1}r[/latex] et 1.

HC mesure [latex]\frac{r^2-1}{r^2}[/latex], donc BH mesure [latex]\frac{1}{r^2}[/latex].

GI mesure [latex]1/r[/latex]. Finalement, BJ mesure [latex]\frac{r^2-2}{r}[/latex]. BH, r fois plus long, mesure [latex]\frac{1}{r^2}[/latex], donc :
[TeX]\frac{1}{r^2} = r^2-2
r^4 - 2 r^2 - 1 = 0
r^2 = 1 \pm \sqrt{2}[/TeX]
Forcément, on ne garde que la valeur positive : [latex]r^2 = 1 + \sqrt{2}[/latex]. Et donc :
[TeX]r = \sqrt{1 + \sqrt{2}}[/TeX]
Merci à SaintPierre dont le MP de correction m'a fait réaliser que je ne savais plus résoudre une équation du second degré.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 22-06-2011 12:23:30

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Glacèren tle sel...

Posons [latex]JB = 1 et JI = x[/latex]. Alors :
[TeX]EJ = x^2[/TeX]
[TeX]GH = x^2+1[/latex]     et     [latex]HC = (x^2+1)/x[/TeX]
[TeX]AD = (x^2+1)/x+x[/latex]     et     [latex]AE = (2*x^2+1)/x^2[/TeX]
[TeX]AB = ((2*x^2+1)/x^2)+ x^2+1 = x*AD
[/TeX]
Après simplification, on tombe (sans se faire trop mal) sur l'équation :
[TeX]x^4-2*x^2-1=0[/TeX]
En posant :  [latex] x^2=X[/latex] ,  il vient :  [latex]X^2-2*X-1=0[/latex] ,

équation qui admet une seule racine réelle :  [latex]X = 1+\sqr 2[/latex]

d'où le rapport :    [latex]x=\sqr ( 1+\sqr 2)=1.55377[/latex]

 #5 - 22-06-2011 16:27:28

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

glacèrent ke sel...

Salut,
Prenons AB=L et BC = a*L
On a donc:
DF = a^2*L
FC = (1-a^2)*L
HC = a(1-a^2)*L
BH = a^3*L
EJ = a^2*L
JB = a^4*L

D'où l'équation:
AB = AE + EJ + JB
L = a^2*L + a^2*L + a^4*L
a^4+2*a^2-1 = 0

Une équation bicarré qu'on ramène donc dans un premier temps a du 2nd degrés.
On trouve a^2 = sqrt(2)-1
D'où a = sqrt(sqrt(2)-1)
L'énoncé demande la quantité inverse qu'on écrit sous bonne forme par quantité conjuguée:
sqrt(sqrt(2)+1)

CQFD.

 #6 - 22-06-2011 16:28:45

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Glacèren tle sel...

Excellent, Clydevil. wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #7 - 22-06-2011 17:10:00

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

glacèrent le qel...

Sauf erreur [latex]\sqrt{1+\sqrt{2}}[/latex] smile

Vasimolo

 #8 - 22-06-2011 18:34:47

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 479
Lieu: Ardèche

Glacèrent e sel...

Je pose BJ=1
BH=x

Alors :
EJ=x²
FC=x²+1
HC=(x²+1)/x
BC=(2x²+1)/x
AB=2x²+1
AE=x²
AD=x³

AD=BC donne [latex]x^4=2x^2+1[/latex]
[TeX]x^2=1+\sqr 2[/TeX]
[TeX]AB/BC=\sqr{\1+\sqr 2}\,\approx 1.55[/TeX]

 #9 - 22-06-2011 21:03:03

looozer
Expert de Prise2Tete
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Messages : 659
Lieu: Belgique

hlacèrent le sel...

[TeX]\frac{1}{\sqrt{sqrt{2}-1}}?[/TeX]
Pas compris le titre de l'énigme hmm

 #10 - 22-06-2011 22:02:26

franck9525
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Messages : 1922
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glacèrent me sel...

Je pose BJ=1 et BH=k
EJ=k² donc FC = 1+k²
donc CH=1/k+k
donc AD=BC = BH+CH = 2k+1/k
AE=2+1/k²
ce qui donne AB=3+k²+1/k²

AB/BC=k ce qui donne l'équation [latex]k^4-2k^2-1=0[/latex]
donc [latex]k= sqrt(1+sqrt(2))[/latex]


The proof of the pudding is in the eating.

 #11 - 22-06-2011 22:16:36

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Glacèrent el sel...

Pour looozer, "glacèrent les" = anagramme de "les rectangles", puis petit effet palindromique sur "les" pour former "le sel", juste pour la forme ! wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #12 - 22-06-2011 23:58:39

golgot59
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1374
Lieu: Coutiches

lacèrent le sel...

Salut !

Alors je propose d'appeler x le rapport recherché AB/AD.

Puisque le résultat resterait le même quelque soit l'échelle, je choisi de prendre JB=1

D'après les rapports semblables on a :
Dans JBHI : BH=IJ=EG=x
Dans EJIG : EJ=xEG=x²
Dans GHCF : GH=x²+1 donc GF=(x²+1)/x
Dans AEFD : AD=x+(x²+1)/x = (2x²+1)/x donc AE=(2x²+1)/x²

Finalement, dans ABCD : AB/AD=x, ce qui donne l'équation bicarrée une fois simplifiée :
x^4-2x²-1=0, soit X²-2X-1=0 qui donne comme solution positive 1+racine(2)
donc x=racine(1+racine(2))

 #13 - 23-06-2011 00:06:02

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Glaccèrent le sel...

Bravo Golgot ! C'est ma solution à 2 ou 3 mots près ! smile


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #14 - 23-06-2011 04:58:30

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Glaècrent le sel...

[TeX]1+sqrt{2}[/TeX]


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #15 - 23-06-2011 07:08:19

SaintPierre
Banni
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Messages : 2063
Lieu: Annecy

Glacrent le sel...

dhrm, il te manque un petit quelque chose...


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 #16 - 23-06-2011 08:48:52

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3758
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Glacèrent le seel...

Bonjour,

La réponse ne doit pas être très loin du nombre d'or...

Posons [latex]x= \frac {AB} {BC}[/latex]
[TeX]x= \frac {AE}{BC}+\frac{EB}{BC} = \frac 1x + \frac 1{\frac{HC}{EB} + \frac{BH}{EB}} = \frac 1x + \frac 1{\frac 1x + \frac 1{\frac{EJ}{BH} + \frac{JB}{BH}}} = \frac 1x + \frac 1{\frac 1x + \frac 1{\frac1x + x}}[/TeX]
Il reste donc à résoudre l'équation :
[TeX]x = \frac 1x + \frac 1{\frac 1x + \frac 1{\frac1x + x}}[/TeX]
Et ce n'est pas infaisable... big_smile
Mais pour m'encourager à terminer, il me faudrait de L'ARGENT SEC Spoiler : [Afficher le message] (anagramme de RECTANGLES lol )

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #17 - 23-06-2011 11:08:18

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

glacèrent le szl...

Je pose [latex]k=\dfrac{AB}{BC}[/latex].

On a: [latex]k=\dfrac{AE+EB}{BC}=\dfrac{1}{k}+\dfrac{FC}{HC+HB}=\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{k}+\dfrac{HB}{FC}}=\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{\dfrac{HI+IG}{HB}}}=\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{k}+k}}[/latex].

On obtient: [latex]k^4-2k^2-1=0[/latex].

Qui donne: [latex]k^2=1+\sqrt2[/latex].

Et finalement [latex]k=\sqrt{1+\sqrt2}[/latex].

A noter: [latex]\dfrac{EB}{BC} \approx 0,91[/latex], c'est pour cela que EBCF semble (à tort) être carré.

Merci pour cette énigme.

 #18 - 23-06-2011 11:17:46

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

glaxèrent le sel...

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-rectangles.png

 #19 - 23-06-2011 17:59:13

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gacèrent le sel...

je dirais rac(1+rac2)

 #20 - 24-06-2011 08:45:18

SaintPierre
Banni
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Messages : 2063
Lieu: Annecy

gkacèrent le sel...

Oui aux trois dernières réponses ! smile


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