Enigmes

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 #1 - 10-05-2008 15:51:20

tikoo04
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 27

Lignes mipaires du Triangle de Pascal

Le triangle de Pascal, j'imagine que tous, vous le connaissez...


Notre prof de mathématiques nous a posé un énigme qui n'est pas facile à résoudre...


L'énigme est:
A quelles lignes tous les nombres présents sont-ils impairs. C'est pas facile à y répondre.
Il faudra une solide démonstration.



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 #2 - 11-05-2008 10:43:13

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

Lignes impaires du Triangel de Pascal

A première vue déjà c'est tous les 2^n-1

Pour calculer une ligne du triangle on utilise la formule valeur = valeur de gauche * (ligne +1 - colonne) / colonne

En commençant avec la première valeur 1 (puisque la colonne est numérotée 0).

Par exemple, ligne 3=2^2-1 :

1       1*(4-1)/1=3    3*(4-2)/2=3    3*(4-3)/3=1

Pour une ligne quelconque de type 2^n-1 on a :

colonne 0 : 1
colonne 1 : 1*(2^n-1+1-1)/1=2^n-1 forcément impaire
colonne 2 : (2^n-1)*(2^n-2)/2 = (2^n-1)*(2^(n-1)-1) (le produit de deux nombres impairs est impair)
etc. Il faut donc prouver que [latex]\prod\limits_{i=1}^{n-1}\frac{2^n-i}{i}[/latex] est impair pour tout i.

Je me demande si c'est possible, mais c'est un début... je reviendrais peut être plus tard.


PS : Il y a une démonstration complète différente de la mienne s'appuyant sur les congruences modulo 2 ici :
http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/30001.4-5.shtml

 #3 - 11-05-2008 12:20:23

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2124

lignes impaires du triangle de pasval

A priori, tu n'es pas en quatrième big_smile

La réponse est: toutes les lignes de la forme 2^n-1 pour tout n.
On trouve dans wiki
http://fr.wikipedia.org/wiki/Coefficient_binomial

que c'est une condition suffisante au chapitre diviseurs et coefficients binomiaux.

Pour établir que la condition est nécessaire, j'avoue que je suis un peu rouillé.


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #4 - 11-05-2008 16:00:28

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

iLgnes impaires du Triangle de Pascal

Il suffit de regarder le triangle de  Sierpinski
http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Sier … iangle.PNG
pour voir les lignes ou tous les nombres sont impairs sont les lignes dont les numeros sont des puissance de 2
2^0 = 1   : 1
2^1 = 2   : 1 1
2^2 = 4   : 1 3 3 1
2^4 = 8   : 1  7 21 35 35 21 7 1
2^8 = 16 : 1 15 105 455 1365 3003 5005 6437 6437 5005 3003 1365 455 105 15 1
et pour la demonstration, je dirais que apres une ligne 2^N, la ligne suivante n'a que des nombres pairs sauf aux extremités. Et que chaque ligne suivante nous donne un nombre de plus allant de cette extremité vers le centre.donc le minimum de ligne supplementaires a partir de 2^N pour avoir 2 nombres impairs au centre est 2^N, donc la somme de 2^N et 2^N est 2^(N+1).
Pour demontrer que c'est egalement le maximum, est probablement plus long. Pour ma part je me contente de regarder le triangle cité ci dessus.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #5 - 11-05-2008 20:59:12

ja3far
Visiteur

lignes impaires du triangle de oascal

la solution est cité au dessus
a+

 #6 - 13-05-2008 23:58:12

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Ligns impaires du Triangle de Pascal

Une démo qui finit celle de EfCeBa est disponible ici: http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=1173, en prenant [latex]\alpha=2[/latex]

 

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