A première vue déjà c'est tous les 2^n-1

Pour calculer une ligne du triangle on utilise la formule valeur = valeur de gauche * (ligne +1 - colonne) / colonne

En commençant avec la première valeur 1 (puisque la colonne est numérotée 0).

Par exemple, ligne 3=2^2-1 :

1       1*(4-1)/1=3    3*(4-2)/2=3    3*(4-3)/3=1

Pour une ligne quelconque de type 2^n-1 on a :

colonne 0 : 1
colonne 1 : 1*(2^n-1+1-1)/1=2^n-1 forcément impaire
colonne 2 : (2^n-1)*(2^n-2)/2 = (2^n-1)*(2^(n-1)-1) (le produit de deux nombres impairs est impair)
etc. Il faut donc prouver que [latex]\prod\limits_{i=1}^{n-1}\frac{2^n-i}{i}[/latex] est impair pour tout i.

Je me demande si c'est possible, mais c'est un début... je reviendrais peut être plus tard.


PS : Il y a une démonstration complète différente de la mienne s'appuyant sur les congruences modulo 2 ici :
http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/30001.4-5.shtml

Il suffit de regarder le triangle de  Sierpinski
http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Sier … iangle.PNG
pour voir les lignes ou tous les nombres sont impairs sont les lignes dont les numeros sont des puissance de 2
2^0 = 1   : 1
2^1 = 2   : 1 1
2^2 = 4   : 1 3 3 1
2^4 = 8   : 1  7 21 35 35 21 7 1
2^8 = 16 : 1 15 105 455 1365 3003 5005 6437 6437 5005 3003 1365 455 105 15 1
et pour la demonstration, je dirais que apres une ligne 2^N, la ligne suivante n'a que des nombres pairs sauf aux extremités. Et que chaque ligne suivante nous donne un nombre de plus allant de cette extremité vers le centre.donc le minimum de ligne supplementaires a partir de 2^N pour avoir 2 nombres impairs au centre est 2^N, donc la somme de 2^N et 2^N est 2^(N+1).
Pour demontrer que c'est egalement le maximum, est probablement plus long. Pour ma part je me contente de regarder le triangle cité ci dessus.

Une démo qui finit celle de EfCeBa est disponible ici: http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=1173, en prenant [latex]\alpha=2[/latex]