On appelle Sn la somme de l'argent des n premières piles.

Dans un but d'optimisation, on prend en = S(n-1) + 1 :

e1=1
e2=p1e1+1=p1+1
e3=p2e2+p1e1+1=p2(p1+1)+p1+1=(p1+1)(p2+2)

On fait la conjecture que en=(p1+1)...(p(n-1)+1)

On cherche à le démontrer par récurrence.
e(n+1)=Sn+1=pn*en+S(n-1)+1=pn*en+en=en(pn+1)
e(n+1)=(p1+1)...(pn+1)

On a donc établi par récurrence la valeur de en. On en déduit directement la valeur de Sn :

Sn=(p1+1)...(pn+1)-1

Je ne suis pas sur de comprendre... Y a t'il une restriction sur P1, P2, etc.. ou un rapport entre P1 et E1, entre P2 et E2, etc...?
Sinon, on peut simplement avoir une infinité P1 de pieces de 1 euros, et c'est tout.

A moins que "payer une fois" veuille dire "1 fois et une seule fois" ?
Auquel cas il suffit de prendre P1=P2=P3, etc... = 1, et E1=1, E2=2, E3=4, E4=8 (serie binaire)

Peux-tu clarifier?

Ah ! Compris, je pensais qu'on n'utilisais qu'une pièce de chaque ...

Dans ce cas, si on utilise tout, il faut attribuer la plus grosse valeur à la pièce la plus nombreuse. et la plus petite à la pièce la moins nombreuse.

Par principe de facilité , on va dire que p1 à pn sont rangés dans l'ordre croissant.

pour pouvoir payer 1 , e1=1. On peut donc payer jusqu'à p1=e1xp1
On prends donc e2=e1xp1 +1  soit e2 = p1 + 1

On peut alors payer jusqu'à p2xe2 + p1xe1 = p2(p1 + 1) + p1

....

La somme maximum est donc définie par la suite

S(1) = p1
S(n) = S(n-1) + pn (S(n-1) + 1)
S(n) = (pn + 1) S(n-1)

La somme maximum est donc le produit des (pn+1)

Smax = (p1 +1)(p2 + 1)( p3 + 1 ) ....(pn + 1)  et il ne faut pas oublier de retrancher 1 qui ne fait office que de majorant.

Smax = [produit de 1 à n des (pn+1)] -1 avec p1<=p2<=p3....<=pn

C'est pas faux , vu le résultat c'est inutile... En effet, si on change l'ordre on multiplie moins les gros nombres , mais les bornes augmentent plus vite, ce qui ne change rien au résultat.

est-ce que P1, P2, P3.. pn sont superieurs ou egaux a 1?

Alors je dirais:
e1= 1
e2= e1.p1+1
e3= e1.p1+e2.p2+1
e4= e1.p1+e2.p2+e3.p3+1
e5= e1.p1+e2.p2+e3.p3+e4.p4+1
e6= e1.p1+e2.p2+e3.p3+e4.p4+e5.p5+1
etc...
de cette facon je pourrais payer toutes les sommes jusqu'au maximum que je possede.
par exemple:
si:
p1=3  > e1=1
p2=2  > e2=4
p3=4  > e3=12
p4=1  > e4=60
p5=3  > e5=120
le maximum que j'ai et que je peux payer est 479.

On peut simplifier comme ca:
e1=1
e2=e1.(p1+1)
e3=e2.(p2+1)
e4=e3.(p3+1)
e5=e4.(p4+1)
etc...