J'en suis à 3.0294185 environ.

Je joue pour la catégorie approximation et je dis 3

Graphiquement R=3.1822

EDIT: Ahh ben oui, j'ai aligné les centres... Cette réponse est donc pour une autre question

Graphiquement R=3.03

Intéressant. Je trouve [latex]20-12\sqrt2[/latex].
Je n'ai pas trouvé de démonstration géométrique. J'ai donc du passer par l'analyse.

Je travaille dans un repère orthonormé donc l'origine est le centre de l'ellipse de droite.
Je note c l'opposé de l'abcisse du centre du cercle (C). Son centre est donc C(-c, 0). c est positif. Son rayon est R.
L'équation du cercle est [latex](x+c)^2+y^2-R^2=0=f(x,y)[/latex]
L'équation de l'ellipse (E) (de droite) est [latex]4x^2+y^2-4=0=e(x,y)[/latex]
On note enfin que le point (-5,0) appartient à (C).

Je travaille sur le point de contact d'ordonnée positive. Je note X et Y ses coordonnées.
La condition de tangence s'exprime par l'égalité des coefficients directeurs des tangentes.
Pour calculer les équations des tangentes en (X,Y), j'utilise (pour f(x,y)=0) la formule:
[TeX]\dfrac{\partial f}{\partial x}(X,Y)(x-X)+\dfrac{\partial f}{\partial y}(X,Y)(y-Y)=0[/latex].
Le coefficient directeur est [latex]-\dfrac{\dfrac{\partial f}{\partial x}(X,Y)}{\dfrac{\partial f}{\partial y}(X,Y)}[/latex].

Les coefficients directeurs sont (je passe les calculs): [latex]-\dfrac{4X}{Y}[/latex] et [latex]-\dfrac{X+c}{Y}[/TeX]
L'égalité des coefficients directeurs (je passe les calculs) donne: c=3X (1)

L'appartenance de (-5,0) à (C) donne: R=5-c=5-3X (2)
(Je ne retiens pas R=c-5 qui donne des rayons plus grands que le minimum).

On écrit ensuite que le point (X,Y) appartient aux 2 courbes:
[latex](X+c)^2+Y^2=R^2[/latex] et [latex]4X^2+Y^2=4[/latex] soit (en soustrayant membre à membre) [latex]4X^2-(X+c)^2-4+R^2=0[/latex] soit (en utilisant (1) et (2) ci dessus): [latex]X^2+10X-7=0[/latex].

Ce qui donne: [latex]X=4\sqrt2-5[/latex] (X>0) et finalement [latex]R=20-12\sqrt2[/latex].

Merci pour cette énigme sympa.
J'attends avec impatience les réponses pour voir s'il y a une solution purement géométrique

Je place mes axes sur ceux de l'ellipse de droite.

J'appelle (p,q) le point de tangence commun à cette ellipse et au cercle.
[TeX]q\text{=}2\sqrt{1-p{}^{\wedge}2}[/latex] (à partir de l'équation de la demi-ellipse du haut)

Par la dérivée je cherche le coefficient angulaire de la tangente en (p,q) puis celui de la normale en ce point : [latex]\frac{\sqrt{1-p{}^{\wedge}2}}{2p}[/TeX]
Je cherche l'équation de cette normale (qui doit forcément passer par le centre du cercle), puis sont intersection avec l'axe des abscisses : (-3p , 0)

Ce point devant être équidistant de (p,q) et du point de tangence de gauche (-5,0)

J'obtiens l'équation [latex]5-3p=2 \sqrt{1+3 p^2}[/latex] dont je garde la solution [latex]-5+4 \sqrt{2}[/latex]

en remplaçant p dans 5 - 3p je trouve un rayon de [latex]20-12 \sqrt{2}\simeq 3.0294[/latex]

naddj a écrit:

Je joue pour la catégorie approximation et je dis 3

Enfin une réponse sensée