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 #1 - 30-06-2011 10:23:37

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

Elllipse

Quel est le rayon du plus petit cercle pouvant contenir ces deux ellipses ?

http://nsa28.casimages.com/img/2011/06/30/110630102729168368.jpg

L'approximation est évidente, la réponse attendue un peu moins... mais cela reste très accessible !



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 #2 - 30-06-2011 11:45:45

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

ellipsz

J'en suis à 3.0294185 environ.

 #3 - 30-06-2011 13:48:12

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

Elipse

Bonjour,
Il est clair que le cercle ne tangente l'ellipse de gauche qu'en un point unique.
Par contre le cercle tangentera l'ellipse de droite en deux points.
Prenons pour rayon du cercle R = 3+e (car on sait que ce rayon est voisin de 3).
Prenons pour origine le point à abscisse entière voisin du centre du cercle.
Equation de l'ellipse de droite: (x-2)² + y²/4 = 1
Equation du cercle: (x-e)² + y² = (3+e)²
Les deux courbes se croisent: (2x-4)² - (x-e)² = 4 - (3+e)²
ce qui donne: 3x² + 2(e-8)x + 3(2e+7) = 0
Cette équation du second degré doit avoir une solution double (dite dégénérée),
donc le discriminant est nul, ce qui donne: (e-8)² - 9(2e+7) = 0
ou après simplification: e² - 34e + 1 = 0
Je garde la "petite solution" de cette nouvelle équation du second degré et je trouve: e = 17 - 12V2
Et au final: R = 20 - 12V2 = 3,0294 env.
Bonne journée.
Frank

Edit: j'ai voulu "généraliser" en prenant k = b/a = grand axe / petit axe, mais on arrive vite à des équations difficilement manipulable.

 #4 - 30-06-2011 15:29:59

naddj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 301
Lieu: Ffm

ellopse

Je joue pour la catégorie approximation et je dis 3 wink

 #5 - 30-06-2011 16:46:58

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

elmipse

Accessible, accessible...

Je galère bien  hmm

Effectivement il faut trouver un peu plus de 3 (le diamètre est légèrement supérieur à 6, puisque le cercle n'est pas tangent à droite), mais ensuite...

Je vais chercher ! (ça promet lol)

 #6 - 30-06-2011 17:33:16

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Ellispe

Graphiquement R=3.1822

EDIT: Ahh ben oui, j'ai aligné les centres... Cette réponse est donc pour une autre question lol


Graphiquement R=3.03


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 30-06-2011 22:47:35

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

ellupse

Ce n'est pas la bonne réponse, Franck !


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #8 - 30-06-2011 23:53:30

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Elllipse

Intéressant. Je trouve [latex]20-12\sqrt2[/latex].
Je n'ai pas trouvé de démonstration géométrique. J'ai donc du passer par l'analyse.

Je travaille dans un repère orthonormé donc l'origine est le centre de l'ellipse de droite.
Je note c l'opposé de l'abcisse du centre du cercle (C). Son centre est donc C(-c, 0). c est positif. Son rayon est R.
L'équation du cercle est [latex](x+c)^2+y^2-R^2=0=f(x,y)[/latex]
L'équation de l'ellipse (E) (de droite) est [latex]4x^2+y^2-4=0=e(x,y)[/latex]
On note enfin que le point (-5,0) appartient à (C).

Je travaille sur le point de contact d'ordonnée positive. Je note X et Y ses coordonnées.
La condition de tangence s'exprime par l'égalité des coefficients directeurs des tangentes.
Pour calculer les équations des tangentes en (X,Y), j'utilise (pour f(x,y)=0) la formule:
[TeX]\dfrac{\partial f}{\partial x}(X,Y)(x-X)+\dfrac{\partial f}{\partial y}(X,Y)(y-Y)=0[/latex].
Le coefficient directeur est [latex]-\dfrac{\dfrac{\partial f}{\partial x}(X,Y)}{\dfrac{\partial f}{\partial y}(X,Y)}[/latex].

Les coefficients directeurs sont (je passe les calculs): [latex]-\dfrac{4X}{Y}[/latex] et [latex]-\dfrac{X+c}{Y}[/TeX]
L'égalité des coefficients directeurs (je passe les calculs) donne: c=3X (1)

L'appartenance de (-5,0) à (C) donne: R=5-c=5-3X (2)
(Je ne retiens pas R=c-5 qui donne des rayons plus grands que le minimum).

On écrit ensuite que le point (X,Y) appartient aux 2 courbes:
[latex](X+c)^2+Y^2=R^2[/latex] et [latex]4X^2+Y^2=4[/latex] soit (en soustrayant membre à membre) [latex]4X^2-(X+c)^2-4+R^2=0[/latex] soit (en utilisant (1) et (2) ci dessus): [latex]X^2+10X-7=0[/latex].

Ce qui donne: [latex]X=4\sqrt2-5[/latex] (X>0) et finalement [latex]R=20-12\sqrt2[/latex].

Merci pour cette énigme sympa.
J'attends avec impatience les réponses pour voir s'il y a une solution purement géométrique smile

 #9 - 01-07-2011 08:38:59

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

zllipse

Bien vu, rivas. Ma solution ressemble un peu à la tienne. Je suis preneur d'une solution géométrique, également. Si j'ai le temps, je cherche ça. wink


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 #10 - 02-07-2011 00:19:24

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

eklipse

Je place mes axes sur ceux de l'ellipse de droite.

J'appelle (p,q) le point de tangence commun à cette ellipse et au cercle.
[TeX]q\text{=}2\sqrt{1-p{}^{\wedge}2}[/latex] (à partir de l'équation de la demi-ellipse du haut)

Par la dérivée je cherche le coefficient angulaire de la tangente en (p,q) puis celui de la normale en ce point : [latex]\frac{\sqrt{1-p{}^{\wedge}2}}{2p}[/TeX]
Je cherche l'équation de cette normale (qui doit forcément passer par le centre du cercle), puis sont intersection avec l'axe des abscisses : (-3p , 0)

Ce point devant être équidistant de (p,q) et du point de tangence de gauche (-5,0)

J'obtiens l'équation [latex]5-3p=2 \sqrt{1+3 p^2}[/latex] dont je garde la solution [latex]-5+4 \sqrt{2}[/latex]

en remplaçant p dans 5 - 3p je trouve un rayon de [latex]20-12 \sqrt{2}\simeq 3.0294[/latex]

 #11 - 02-07-2011 00:21:36

SaintPierre
Banni
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zllipse

Parfait, looozer ! smile


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 #12 - 03-07-2011 13:13:13

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

llipse

naddj a écrit:

Je joue pour la catégorie approximation et je dis 3 wink

Enfin une réponse sensée big_smile


http://enigmusique.blogspot.com/

 #13 - 03-07-2011 18:43:03

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

elmipse

Bonjour,
J'ai aussi cherché une solution géométrique en jouant sur les caractéristiques des ellipses, mais j'ai fait chou blanc, d'où ma solution analytique, lourde mais apparemment correcte.
Bonne soirée.
Frank

 

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