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 #1 - 30-08-2014 10:59:39

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Histoire de divisuers [+INDICE]

Je vous propose cette énigme, tirée de la finale du championnat des jeux mathématiques et logiques:

Le nombre du bonheur est un nombre positif non nul dont le cube admet 13 fois plus de diviseurs que lui. On comptera 1 et ce nombre dans les diviseurs.
Combien de diviseurs le nombre du bonheur admet-il?

Pour la case réponse, on notera ainsi les solutions: s'il en existe 3, on écrira 3;n;m où n et m sont les plus petites valeurs possibles. S'il en existe 1, on notera 1;n

Indice:Spoiler : [Afficher le message] Le nombre de diviseurs est égal au produit des exposants des facteurs premiers incrémentés de 1



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 #2 - 30-08-2014 15:17:26

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 681

Histoire de diviseurs [+IDNICE]

Le plus petit nombre du bonheur est 2160 = 2^4*3^3*5
Il admet 40 diviseurs.

Son cube 2160^3 admet 520 = 13*40 diviseurs.

Voilà !

Remarque
On peut remplacer les facteurs 2, 3, 5 par 3 nombres premiers distincts.

 #3 - 30-08-2014 16:36:52

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

Hstoire de diviseurs [+INDICE]

salut.

les nombres cherchés sont de la forme [latex]a^4\times{b^3}\times{c}[/latex].

a , b & c  sont premiers.

les nombres (exposants)d= 4 , e=3 , f=1 sont solutions de l'équation
[TeX]13\times{(d+1)}\times{(e+1)}\times{(f+1)}=(3d+1)}\times{(3e+1)}\times{(3f+1)}[/TeX]
par exemple :

le nombre [latex]2160= 2^4\times{3^3}\times{5}[/latex] possède 40 diviseurs.
et son cube [latex]10077696000 =2^{12}\times{3^9}\times{5^3} [/latex] en possède 520.

                                                                      à plus.

 #4 - 30-08-2014 21:14:05

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
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Lieu: Au fond de l'univers

Histoire de dviseurs [+INDICE]

Bravo, c'est la bonne réponse
Question complémentaire: Trouver le plus petit nombre du bonheur


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 #5 - 31-08-2014 10:27:03

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

Histoire ed diviseurs [+INDICE]

1 seule réponse possible à 40 diviseurs.
Je vois bien le nombre 2160 comme étant le plus petit: 2^4*3^3*5.

 #6 - 31-08-2014 12:40:06

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
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histoire de divoseurs [+indice]

Exact encore une fois


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 #7 - 31-08-2014 16:48:58

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Histoire de diviseurs [+NDICE]

Je trouve que c'est impossible mais tu demandes de trouver le plus petit. J'ai dû me tromper quelque part...

 #8 - 31-08-2014 17:03:49

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Au fond de l'univers

Hitsoire de diviseurs [+INDICE]

Edit: Si c'est possible, je mettrai un exemple à l'extrême fin


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 #9 - 02-09-2014 11:38:31

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Hstoire de diviseurs [+INDICE]

J'étais aussi arrivé à: 13.produit(ni+1) = produit(3ni+1), d'où on peut déduire qu'un des ni vaut 4, mais comment les participants ont-ils fait pour trouver qu'il y avait 3 facteurs (à part par tâtonnements) ?

 #10 - 02-09-2014 19:01:44

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2953

Hitsoire de diviseurs [+INDICE]

Reste maintenant à prouver qu'il existe une infinité de k entier tel que si d(n) est le nombre de diviseurs de n: k=d(n^3)/d(n)

 #11 - 02-09-2014 21:28:02

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Au fond de l'univers

Histoire de diviseurs [+INDICEE]

Par élimination de 2, 4 et >5
L'infinité de nombre premiers garantit immédiatement la propriété


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 #12 - 02-09-2014 22:43:05

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Histoire e diviseurs [+INDICE]

Promath- a écrit:

L'infinité de nombre premiers garantit immédiatement la propriété.

C'est un raisonnement hâtif. L'infinité exacte de nombre premiers ne garantit pas que toutes les propriétés sont représentées.

 #13 - 02-09-2014 23:42:02

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1746

histoire de diviseurs [+undice]

unecoudée a écrit:

les nombres cherchés sont de la forme [latex]a^4\times{b^3}\times{c}[/latex] avec a , b et c premiers.

Effectivement. Qui saurait le prouver ?

 #14 - 02-09-2014 23:58:52

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Histoire de diviseurs [+INDIE]

On part de: 13.produit(ni+1) = produit(3ni+1)
Un des termes 3ni+1 est donc multiple de 13
On cherche le plus petit: 3ni+1 = 13 => ni=4
On est donc ramené à: 5.produit(ni+1) = produit(3ni+1)
Un des termes 3ni+1 est donc multiple de 5
Comme 5 ne marche pas, on prend le suivant: 3ni+1 = 10 => ni=3
On est donc ramené à: 2.produit(ni+1) = produit(3ni+1)
Et cette fois, ni=1 fonctionne
Donc on aura: 13.(4+1).(3+1).(1+1) = (3x4+1).(3x3+1).(3x1+1)
CQFD

 #15 - 03-09-2014 01:43:32

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Histoire de diivseurs [+INDICE]

Tu ne prouves pas que c'est la seule solution. Si l'on veut repondre à la question initiale et affirmer que le nombre du bonheur a forcément 40 diviseurs, il faut prouver qu'il est forcément de la forme donnée plus haut.

 #16 - 04-09-2014 16:50:25

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Histoire de diviseus [+INDICE]

Bonjour à tous

En fait l'unité des exposants dans la décomposition en facteurs premiers est assez facile à établir même si c'est un peu laborieux car il faut procéder par élimination .

Je note [latex]\vec{x}=(x_1;x_2;\ldots)[/latex] une suite décroissante de valeurs entières positives et presque toutes nulles . La longueur de [latex]L(\vec{x})[/latex] de [latex]\vec{x}[/latex] est le nombres de composantes non nulles . On note aussi [latex]f(\vec{x})=\frac{(3x_1+1)((3x_2+1)\ldots}{(x_1+1)(x_2+1)\ldots}[/latex] et on cherche à résoudre l'équation [latex]f(\vec{x})=13[/latex] . On remarque que [latex]f[/latex] est croissante pour chacune de ses composantes .

Pour une solution [latex]\vec{x}[/latex] , on montre sans problème les résultats suivants :

1°) [latex]L(\(\vec{x})\neq 1[/latex] ( sinon [latex]5x_1=-6[/latex] ) .
2°) [latex]L(\(\vec{x})\neq 2[/latex] ( sinon [latex]2x_1x_2+5(x_1+x_2)=-6[/latex] ) .
3°) [latex]L(\vec{x})<4[/latex] ( sinon [latex]f(\vec{x})\geq 16 .[/latex] )

Alors [latex]L(\vec{x})=3[/latex] : [latex]\vec{x}=(x_1;x_2;x_3;0;0;\ldots)[/latex] que l'on notera [latex]\vec{x}=(x_1;x_2;x_3)[/latex] pour faire plus court .

4°) [latex]f(2;2;2)=\frac{343}{27}\neq 13.[/latex]
5°) [latex]f(3;2;2)=\frac{245}{18}>13.[/latex]

Alors [latex]x_3=1.[/latex]

6°) [latex]x_2\neq 2[/latex] ( sinon [latex]3x_1=25[/latex] ).
7°) [latex]f(4;4;1) =13,52 >13.[/latex]

Alors [latex]x_2=3[/latex] et facilement [latex]x_1=4[/latex] .

Les exposants [latex](4;3;1)[/latex] sont donc uniques mais comme ils s'appliquent à n'importe quels  facteurs premiers on a une infinité de solutions .

Vasimolo

 #17 - 04-09-2014 17:30:29

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

histoire de diviseurs [+ondice]

Oui, bravo !

Pour les points 4°, 5°, 6°, on peut également remarquer dès le départ que les exposants 2 sont interdits pour des histoires de divisibilité par 3.

 #18 - 06-09-2014 20:15:23

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Histooire de diviseurs [+INDICE]

Pour la question de savoir s'il existe une infinité de k entiers tel que k=d(n^3)/d(n), d(n) représentant le nb de diviseurs de n, la réponse est oui et la démo tient en 2 lignes.....

 #19 - 06-09-2014 20:23:08

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Histoire de diviseurs [+IINDICE]

Pour la démo de la question initiale:
On part sur un produit de divisions de la forme (3k+1)/(k+1). Chacun de ces produits vaut entre 2 et 3. 2 seulement ne suffisent pas, il en faut au moins 3.
Prenons les 4 premiers:
4/2, 7/3, 10/4, 13/5.
Le 7/3 n'est pas utilisable, on a un 3 en bas qu'il est impossible d'éliminer car les facteurs du numérateurs sont tous des 3k+1.
Reste 4/2,10/4,13/5, qui est le plus petit produit qu'on puisse faire, car un (3k+1)/(k+1) est croissant avec k.

 #20 - 06-09-2014 22:13:24

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
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Lieu: Au fond de l'univers

Histore de diviseurs [+INDICE]

Elle est instantanée en effet
Cette énigme est riche, la FFJM l'a bien trouvée cette année


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 #21 - 06-09-2014 23:24:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Histoire de diviserus [+INDICE]

nodgim a écrit:

Pour la question de savoir s'il existe une infinité de k entiers tel que k=d(n^3)/d(n), d(n) représentant le nb de diviseurs de n, la réponse est oui et la démo tient en 2 lignes.....

Question bien plus intéressante et certainement ouverte : pour quels entiers k le nombre de diviseurs répondant à la question est-il unique ?

Vasimolo

 #22 - 07-09-2014 00:23:42

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Au fond de l'univers

Histoire de diviseurs +[INDICE]

Je n'ai pas vraiment compris la question...


Un promath- actif dans un forum actif

 #23 - 07-09-2014 08:58:56

nodgim
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histoire de siviseurs [+indice]

Promath, la question initiale portait sur le rapport d(n^3/d(n) 13. Il existe bien d'autres rapports entiers que 13: 5, 2, ....
Y en a t'il une infinité ?

 #24 - 07-09-2014 10:37:32

Promath-
Elite de Prise2Tete
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histoire de diviseurs [+insice]

Ah ok effectivement c'est une question intéressante, mais oui. On n'a qu'à ajouter un facteur premier pour obtenir un nombre plus grand


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 #25 - 07-09-2014 12:05:42

nodgim
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Histoire de diivseurs [+INDICE]

Mais encore ? ?

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