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#1 - 30-08-2014 10:59:39
- Promath-
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Histoire de diviseuurs [+INDICE]
Je vous propose cette énigme, tirée de la finale du championnat des jeux mathématiques et logiques:
Le nombre du bonheur est un nombre positif non nul dont le cube admet 13 fois plus de diviseurs que lui. On comptera 1 et ce nombre dans les diviseurs. Combien de diviseurs le nombre du bonheur admet-il?
Pour la case réponse, on notera ainsi les solutions: s'il en existe 3, on écrira 3;n;m où n et m sont les plus petites valeurs possibles. S'il en existe 1, on notera 1;n
Indice:Spoiler : [Afficher le message] Le nombre de diviseurs est égal au produit des exposants des facteurs premiers incrémentés de 1
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#2 - 30-08-2014 15:17:26
- masab
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Histoire e diviseurs [+INDICE]
Le plus petit nombre du bonheur est 2160 = 2^4*3^3*5 Il admet 40 diviseurs.
Son cube 2160^3 admet 520 = 13*40 diviseurs.
Voilà !
Remarque On peut remplacer les facteurs 2, 3, 5 par 3 nombres premiers distincts.
#3 - 30-08-2014 16:36:52
- unecoudée
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histpire de diviseurs [+indice]
salut.
les nombres cherchés sont de la forme [latex]a^4\times{b^3}\times{c}[/latex].
a , b & c sont premiers.
les nombres (exposants)d= 4 , e=3 , f=1 sont solutions de l'équation [TeX]13\times{(d+1)}\times{(e+1)}\times{(f+1)}=(3d+1)}\times{(3e+1)}\times{(3f+1)}[/TeX] par exemple :
le nombre [latex]2160= 2^4\times{3^3}\times{5}[/latex] possède 40 diviseurs. et son cube [latex]10077696000 =2^{12}\times{3^9}\times{5^3} [/latex] en possède 520.
à plus.
#4 - 30-08-2014 21:14:05
- Promath-
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histoire de divisrurs [+indice]
Bravo, c'est la bonne réponse Question complémentaire: Trouver le plus petit nombre du bonheur
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#5 - 31-08-2014 10:27:03
- nodgim
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Histoire de diviseurs [+INDIE]
1 seule réponse possible à 40 diviseurs. Je vois bien le nombre 2160 comme étant le plus petit: 2^4*3^3*5.
#6 - 31-08-2014 12:40:06
- Promath-
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Histiore de diviseurs [+INDICE]
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#7 - 31-08-2014 16:48:58
- titoufred
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Histoire de diviseur [+INDICE]
Je trouve que c'est impossible mais tu demandes de trouver le plus petit. J'ai dû me tromper quelque part...
#8 - 31-08-2014 17:03:49
- Promath-
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Histoire de diviseurs [INDICE]
Edit: Si c'est possible, je mettrai un exemple à l'extrême fin
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#9 - 02-09-2014 11:38:31
- Franky1103
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histoire de divoseurs [+indice]
J'étais aussi arrivé à: 13.produit(ni+1) = produit(3ni+1), d'où on peut déduire qu'un des ni vaut 4, mais comment les participants ont-ils fait pour trouver qu'il y avait 3 facteurs (à part par tâtonnements) ?
#10 - 02-09-2014 19:01:44
- nodgim
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Histore de diviseurs [+INDICE]
Reste maintenant à prouver qu'il existe une infinité de k entier tel que si d(n) est le nombre de diviseurs de n: k=d(n^3)/d(n)
#11 - 02-09-2014 21:28:02
- Promath-
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Histoire de diviseurs [+NIDICE]
Par élimination de 2, 4 et >5 L'infinité de nombre premiers garantit immédiatement la propriété
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#12 - 02-09-2014 22:43:05
- Franky1103
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histoire de duviseurs [+indice]
Promath- a écrit:L'infinité de nombre premiers garantit immédiatement la propriété.
C'est un raisonnement hâtif. L'infinité exacte de nombre premiers ne garantit pas que toutes les propriétés sont représentées.
#13 - 02-09-2014 23:42:02
- titoufred
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istoire de diviseurs [+INDICE]
unecoudée a écrit:les nombres cherchés sont de la forme [latex]a^4\times{b^3}\times{c}[/latex] avec a , b et c premiers.
Effectivement. Qui saurait le prouver ?
#14 - 02-09-2014 23:58:52
- Franky1103
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hisyoire de diviseurs [+indice]
On part de: 13.produit(ni+1) = produit(3ni+1) Un des termes 3ni+1 est donc multiple de 13 On cherche le plus petit: 3ni+1 = 13 => ni=4 On est donc ramené à: 5.produit(ni+1) = produit(3ni+1) Un des termes 3ni+1 est donc multiple de 5 Comme 5 ne marche pas, on prend le suivant: 3ni+1 = 10 => ni=3 On est donc ramené à: 2.produit(ni+1) = produit(3ni+1) Et cette fois, ni=1 fonctionne Donc on aura: 13.(4+1).(3+1).(1+1) = (3x4+1).(3x3+1).(3x1+1) CQFD
#15 - 03-09-2014 01:43:32
- titoufred
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Hisstoire de diviseurs [+INDICE]
Tu ne prouves pas que c'est la seule solution. Si l'on veut repondre à la question initiale et affirmer que le nombre du bonheur a forcément 40 diviseurs, il faut prouver qu'il est forcément de la forme donnée plus haut.
#16 - 04-09-2014 16:50:25
- Vasimolo
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Histoire de diviseurs [+INDICEE]
Bonjour à tous
En fait l'unité des exposants dans la décomposition en facteurs premiers est assez facile à établir même si c'est un peu laborieux car il faut procéder par élimination .
Je note [latex]\vec{x}=(x_1;x_2;\ldots)[/latex] une suite décroissante de valeurs entières positives et presque toutes nulles . La longueur de [latex]L(\vec{x})[/latex] de [latex]\vec{x}[/latex] est le nombres de composantes non nulles . On note aussi [latex]f(\vec{x})=\frac{(3x_1+1)((3x_2+1)\ldots}{(x_1+1)(x_2+1)\ldots}[/latex] et on cherche à résoudre l'équation [latex]f(\vec{x})=13[/latex] . On remarque que [latex]f[/latex] est croissante pour chacune de ses composantes .
Pour une solution [latex]\vec{x}[/latex] , on montre sans problème les résultats suivants :
1°) [latex]L(\(\vec{x})\neq 1[/latex] ( sinon [latex]5x_1=-6[/latex] ) . 2°) [latex]L(\(\vec{x})\neq 2[/latex] ( sinon [latex]2x_1x_2+5(x_1+x_2)=-6[/latex] ) . 3°) [latex]L(\vec{x})<4[/latex] ( sinon [latex]f(\vec{x})\geq 16 .[/latex] )
Alors [latex]L(\vec{x})=3[/latex] : [latex]\vec{x}=(x_1;x_2;x_3;0;0;\ldots)[/latex] que l'on notera [latex]\vec{x}=(x_1;x_2;x_3)[/latex] pour faire plus court .
4°) [latex]f(2;2;2)=\frac{343}{27}\neq 13.[/latex] 5°) [latex]f(3;2;2)=\frac{245}{18}>13.[/latex]
Alors [latex]x_3=1.[/latex]
6°) [latex]x_2\neq 2[/latex] ( sinon [latex]3x_1=25[/latex] ). 7°) [latex]f(4;4;1) =13,52 >13.[/latex]
Alors [latex]x_2=3[/latex] et facilement [latex]x_1=4[/latex] .
Les exposants [latex](4;3;1)[/latex] sont donc uniques mais comme ils s'appliquent à n'importe quels facteurs premiers on a une infinité de solutions .
Vasimolo
#17 - 04-09-2014 17:30:29
- titoufred
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Histoire de divseurs [+INDICE]
Oui, bravo !
Pour les points 4°, 5°, 6°, on peut également remarquer dès le départ que les exposants 2 sont interdits pour des histoires de divisibilité par 3.
#18 - 06-09-2014 20:15:23
- nodgim
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histoire de doviseurs [+indice]
Pour la question de savoir s'il existe une infinité de k entiers tel que k=d(n^3)/d(n), d(n) représentant le nb de diviseurs de n, la réponse est oui et la démo tient en 2 lignes.....
#19 - 06-09-2014 20:23:08
- nodgim
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Histoire de diviseurs [+IINDICE]
Pour la démo de la question initiale: On part sur un produit de divisions de la forme (3k+1)/(k+1). Chacun de ces produits vaut entre 2 et 3. 2 seulement ne suffisent pas, il en faut au moins 3. Prenons les 4 premiers: 4/2, 7/3, 10/4, 13/5. Le 7/3 n'est pas utilisable, on a un 3 en bas qu'il est impossible d'éliminer car les facteurs du numérateurs sont tous des 3k+1. Reste 4/2,10/4,13/5, qui est le plus petit produit qu'on puisse faire, car un (3k+1)/(k+1) est croissant avec k.
#20 - 06-09-2014 22:13:24
- Promath-
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hustoire de diviseurs [+indice]
Elle est instantanée en effet Cette énigme est riche, la FFJM l'a bien trouvée cette année
Un promath- actif dans un forum actif
#21 - 06-09-2014 23:24:49
- Vasimolo
- Le pâtissier
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Histoire de diviseurs [+INNDICE]
nodgim a écrit:Pour la question de savoir s'il existe une infinité de k entiers tel que k=d(n^3)/d(n), d(n) représentant le nb de diviseurs de n, la réponse est oui et la démo tient en 2 lignes.....
Question bien plus intéressante et certainement ouverte : pour quels entiers k le nombre de diviseurs répondant à la question est-il unique ?
Vasimolo
#22 - 07-09-2014 00:23:42
- Promath-
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histoire de fiviseurs [+indice]
Je n'ai pas vraiment compris la question...
Un promath- actif dans un forum actif
#23 - 07-09-2014 08:58:56
- nodgim
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HHistoire de diviseurs [+INDICE]
Promath, la question initiale portait sur le rapport d(n^3/d(n) 13. Il existe bien d'autres rapports entiers que 13: 5, 2, .... Y en a t'il une infinité ?
#24 - 07-09-2014 10:37:32
- Promath-
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Hisstoire de diviseurs [+INDICE]
Ah ok effectivement c'est une question intéressante, mais oui. On n'a qu'à ajouter un facteur premier pour obtenir un nombre plus grand
Un promath- actif dans un forum actif
#25 - 07-09-2014 12:05:42
- nodgim
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histoire de diviseurs [+indoce]
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