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 #1 - 04-05-2013 22:06:49

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

Mathémaitques pour les nuls 13

Une petite pour la route, pas trop difficile...

Considérons un cercle C1 de centre (0,0) et de rayon 1.
On construit un cercle C2 de centre (0,0) et de rayon x.
On trace une droite (d), passant par le centre des deux cercles et coupant ces deux cercles respectivement en C pour C1 et en D pour C2
On place les points A(1,0) et B(x,0)

Montrer que AD=BC

Bon amusement,
Shadock smile

PS : La meilleure solution que j'ai pour le moment et justifiée on ne peut plus soigneusement tient en 2 lignes.



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 #2 - 04-05-2013 22:52:53

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,472E+3

mathématiqued pour les nuls 13

Par symétrie de la construction, OA +AD = OC+CB ; OA=OC donc AD=CB

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-abcd.jpg

 #3 - 04-05-2013 23:15:47

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

marhématiques pour les nuls 13

Bonsoir

Il est clair que (AC)//(BD) et AB=CD donc ABDC est un trapèze isocèle .

Vasimolo

 #4 - 04-05-2013 23:50:47

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Mthématiques pour les nuls 13

Les points A,D et B,C forment avec le centre des triangles isométriques (angle commun compris entre des côtés de longueurs 1 et x).
[AD] et [BC] ont donc aussi même longueur.

 #5 - 05-05-2013 01:10:26

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

mathématiques pour kes nuls 13

Je vois plusieurs façons de le voir :

1) Soit justifier l'axe de symétrie passant par O et le point d'intersection de [AD] et [BC] :
OBD est un triangle isocèle de sommet principal O car OB=OD, donc sa bissectrice issue de O est un axe de symétrie.
De même pour OAC, qui a la même bissectrice pour axe de symétrie puisque O, A et B sont alignés, ainsi que O, C et D et dans le même ordre.
La symétrie axiale conserve les distances et [BC] et le symétrique de [AD] par rapport à l'axe de symétrie commun, donc BC=AD

2) Soit utiliser la réciproque de Thalès qui montre que (AC)//(BD) car OA/OB=1/x=OC/OD, et comme AB=|x-1|=CD, ABDC est un trapèze isocèle non parallèlogramme dont les diagonales AD et BC font donc la même longueur.

3) Soit calculer les distances cartésiennes : si on considère l'angle "a" que fait (d) avec l'axe (Ox),
C(cosa;sina) et D(x.cosa;x.sina) (avec A(1,0) et B(x,0))
Alors AD²=(x.cosa-1)²+x².sin²a = x².cos²a-2x.cosa+1+x².sin²a = 1+x²-2x.cosa
et  BC²=(cosa-x)²+sin²a = cos²a-2x.cosa+x²+sin²a = 1+x²-2x.cosa
On retrouve AD²=BC² donc AD=BC

 #6 - 05-05-2013 11:42:54

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

mathématiques pour les nuld 13

On appelle s la symetrie orthogonale par rapport a la bissectrice de l'angle AOC. Alors s(A)=C et s(D)=B donc s([AD])=[CB] et donc AD=BC.

 #7 - 05-05-2013 12:34:09

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

Mathématiques pouur les nuls 13

Evidemment que des bonnes réponses pour le moment smile
J'ai aussi trouvé une solution beaucoup moins évidente mais qui se passe de toute notion de géométrie big_smile

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #8 - 05-05-2013 12:39:40

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

mathématiques pour les nyls 13

On peut aussi remarquer que [BC] est le symétrique de [AD] par rapport à la bissectrice de BÂD .

Vasimolo

 #9 - 05-05-2013 15:56:42

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Mathématiques pour ls nuls 13

Il y a aussi la formule d'Al Kashi :
BC²=OB²+OC²-2OB.OC.cosBÔC
AD²=OD²+OA²-2OA.OD.cosAÔD
Et comme OB=x=OD, OA=1=OC et BÔC=AÔD : BC²=AD² donc BC=AD

 #10 - 05-05-2013 16:08:13

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

mathématiques pour les nuks 13

En une ligne (en appliquant 2 fois la formule a² = b² = c² - 2 bc cos (A) on trouve :
                          AD² = BC² = 1 + x² - 2x cos (AOC)

 #11 - 05-05-2013 18:00:46

PRINCELEROI
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1203

Mathématiques opur les nuls 13

Au pif

AD et BC sont les hypoténuses du même triangle.

 #12 - 05-05-2013 18:23:51

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 682

Mathématiques poour les nuls 13

Il faut prendre pour (d) une demi-droite, sinon l'énoncé est faux !
La figure est symétrique par rapport à la bissectrice intérieure [latex]\Delta[/latex] de l'angle [latex]\widehat{AOC}[/latex] ; comme la symétrie par rapport à [latex]\Delta[/latex] transforme A en C et D en B, on a donc AD=BC.

 #13 - 05-05-2013 23:11:06

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

mathélatiques pour les nuls 13

@PRINCELEROI c'est une idée mais il faut la justifier smile
@masab Oui c'est ça, pour la demi-droite je ne vois pas pourquoi...


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #14 - 06-05-2013 01:26:28

Tofic
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 72

mathématiques pour led nuls 13

Salut, après avoir tracé la figure, on imagine facilement qu'il doit y avoir tout un tas de solutions au problème. Le soucis est de le démontrer big_smile.

http://www.prise2tete.fr/upload/Tofic-alkashi.png

J'ai remarqué, deux triangles qui comporte les droites en questions et qui semble bien coller avec le  théorème d'Al-Kashi. Appliquons ça au problème.

Soit deux triangles [latex]oCB[/latex] et [latex]oDA[/latex] avec
[TeX]\theta=\widehat{CoB}=\widehat{DoA}[/TeX][TeX]\overline{oB}=\overline{oD}=x[/latex] (rayon du cercle),

[latex]\overline{oC}=\overline{oA}=1[/TeX]
on trouve:
[TeX]\overline{CB}=\sqrt{x^2+1-2x.cos{\theta}}[/TeX]
[TeX]\overline{AD}=\sqrt{x^2+1-2x.cos{\theta}}[/TeX]
Donc, si je n'ai pas fait de bêtises, quelque soit le rayon [latex]x[/latex] et l'angle [latex]\theta[/latex], les droites [latex]AD[/latex] et [latex]BC[/latex] sont égales.

 #15 - 06-05-2013 12:10:10

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1945
Lieu: Paris

mathémariques pour les nuls 13

Je ne sais pas le démontrer mais j'ai appris que les diagonales d'un trapèze isocèle sont égales. Or les droites (AC) et (BD) sont parallèles et CD=AB=x-1. Donc ABCD est un trapèze isocèle et AD=BC.

 #16 - 06-05-2013 12:10:56

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 682

Mathématiqques pour les nuls 13

La droite (d) coupe le cercle C1 en 2 points... Donc il y a un choix à faire pour C ; de même pour D. Certains choix ne respectent pas AD=BC !

 #17 - 06-05-2013 14:44:00

Klimrod
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3768
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Mathématiques pour ls nuls 13

Bonjour,

Si l'on trace la bissectrice entre la droite d et l'axe des x, alors les segments AB et CD sont symétriques par rapport à cette bissectrice et donc AD = BC

Même pas deux lignes !
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #18 - 06-05-2013 15:16:56

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 301
Lieu: Montargis

matjématiques pour les nuls 13

Deux solutions parmi tant d'autres:

Solution 1:
Soit (d') la bissectrice de l'angle [latex]\widehat{AOC}[/latex] avec O l'origine du repère. C et B sont respectivement des symétries orthogonales de A et D par rapport à (d'); CB=AD car la symétrie conserve les distances.

Solution 2:
Soit a l'angle entre les droites (d) et (AB)
s et c respectivement le sinus et le cosinus de a
les coordonnées des points C et D:
C (c, s)
D(x*c, x*s)
Après un simple calcul de distance, on a:
[TeX]AD=BC=\sqrt{1+x^2-2*x*c}[/TeX]

 #19 - 06-05-2013 17:12:22

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 416

 #20 - 06-05-2013 19:45:15

shadock
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3319

Mathémaitques pour les nuls 13

Et encore moult bonnes réponses big_smile


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 #21 - 06-05-2013 21:50:03

Tofic
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 72

Mathématiques pour lse nuls 13

Je me demandes même si en allant voir du coté de Thalès, je ne trouverais pas quelques bigorneaux sous le rocher.big_smile

Une autre figure remarquable:

http://www.prise2tete.fr/upload/Tofic-thales.png

 #22 - 06-05-2013 22:01:30

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Mathématiqques pour les nuls 13

Le demi-axe des abscisses Ox et la demie-droite Od sont symétriques par rapport à leur bissectrice. Donc les vecteurs AB et CD aussi. Donc AD = BC.

 #23 - 07-05-2013 11:38:38

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

mathématiques pour les nuld 13

La droite en question va couper chaque cercle en deux points, pas en un seul. Quel point choisir ?


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #24 - 07-05-2013 22:17:01

bidipe
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1085
Lieu: Côte basco-landaise

mathématiques pour les nums 13

Les points C et A sont sur le cercle C1
Les points B et D sont sur le cercle C2
A et B sont sur une droite passant par le centre des cercles
C et D sont sur une droite passant par le centre des cercles

=> si l'on compare les triangles ACD et ACB :
Ils ont un côté commun AC (corde du cercle C1)
et les cotés AB et CD sont égaux par construction des 2 cercles concentriques
Les angles DCA et CAB sont égaux
Les 2 triangles sont donc isométriques
Donc leurs 3emes côtés sont égaux : AD = BC

Bon, ok, ca fait 35 ans que je n'ai pas fait de démonstration mathématique lol

 #25 - 08-05-2013 12:30:54

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

Mathémaiques pour les nuls 13

Alors maintenant voici une réponse possible aussi en utilisant les nombres complexes

http://img4.hostingpics.net/pics/514481mathspourlesnuls13.png

Soient [latex]x \in \mathbb{R}[/latex] et [latex]u \in \mathbb{C}[/latex] et [latex]|u|=1[/latex]
Alors on a [latex]|x-u|=|u\left(\frac{x}{u}-1\right)|=|\left(\frac{x}{u}-1\right)|=|x\bar{u}-1|=|1-xu|[/latex] d'où le résultat.

Bravo à tous et merci !

Shadock smile


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