Par symétrie de la construction, OA +AD = OC+CB ; OA=OC donc AD=CB

Les points A,D et B,C forment avec le centre des triangles isométriques (angle commun compris entre des côtés de longueurs 1 et x).
[AD] et [BC] ont donc aussi même longueur.

On appelle s la symetrie orthogonale par rapport a la bissectrice de l'angle AOC. Alors s(A)=C et s(D)=B donc s([AD])=[CB] et donc AD=BC.

On peut aussi remarquer que [BC] est le symétrique de [AD] par rapport à la bissectrice de BÂD .

Vasimolo

En une ligne (en appliquant 2 fois la formule a² = b² = c² - 2 bc cos (A) on trouve :
                          AD² = BC² = 1 + x² - 2x cos (AOC)

Il faut prendre pour (d) une demi-droite, sinon l'énoncé est faux !
La figure est symétrique par rapport à la bissectrice intérieure [latex]\Delta[/latex] de l'angle [latex]\widehat{AOC}[/latex] ; comme la symétrie par rapport à [latex]\Delta[/latex] transforme A en C et D en B, on a donc AD=BC.

Salut, après avoir tracé la figure, on imagine facilement qu'il doit y avoir tout un tas de solutions au problème. Le soucis est de le démontrer .



J'ai remarqué, deux triangles qui comporte les droites en questions et qui semble bien coller avec le  théorème d'Al-Kashi. Appliquons ça au problème.

Soit deux triangles [latex]oCB[/latex] et [latex]oDA[/latex] avec
[TeX]\theta=\widehat{CoB}=\widehat{DoA}[/TeX][TeX]\overline{oB}=\overline{oD}=x[/latex] (rayon du cercle),

[latex]\overline{oC}=\overline{oA}=1[/TeX]
on trouve:
[TeX]\overline{CB}=\sqrt{x^2+1-2x.cos{\theta}}[/TeX]
[TeX]\overline{AD}=\sqrt{x^2+1-2x.cos{\theta}}[/TeX]
Donc, si je n'ai pas fait de bêtises, quelque soit le rayon [latex]x[/latex] et l'angle [latex]\theta[/latex], les droites [latex]AD[/latex] et [latex]BC[/latex] sont égales.

La droite (d) coupe le cercle C1 en 2 points... Donc il y a un choix à faire pour C ; de même pour D. Certains choix ne respectent pas AD=BC !

Deux solutions parmi tant d'autres:

Solution 1:
Soit (d') la bissectrice de l'angle [latex]\widehat{AOC}[/latex] avec O l'origine du repère. C et B sont respectivement des symétries orthogonales de A et D par rapport à (d'); CB=AD car la symétrie conserve les distances.

Solution 2:
Soit a l'angle entre les droites (d) et (AB)
s et c respectivement le sinus et le cosinus de a
les coordonnées des points C et D:
C (c, s)
D(x*c, x*s)
Après un simple calcul de distance, on a:
[TeX]AD=BC=\sqrt{1+x^2-2*x*c}[/TeX]

Et encore moult bonnes réponses

Le demi-axe des abscisses Ox et la demie-droite Od sont symétriques par rapport à leur bissectrice. Donc les vecteurs AB et CD aussi. Donc AD = BC.

Les points C et A sont sur le cercle C1
Les points B et D sont sur le cercle C2
A et B sont sur une droite passant par le centre des cercles
C et D sont sur une droite passant par le centre des cercles

=> si l'on compare les triangles ACD et ACB :
Ils ont un côté commun AC (corde du cercle C1)
et les cotés AB et CD sont égaux par construction des 2 cercles concentriques
Les angles DCA et CAB sont égaux
Les 2 triangles sont donc isométriques
Donc leurs 3emes côtés sont égaux : AD = BC

Bon, ok, ca fait 35 ans que je n'ai pas fait de démonstration mathématique