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 #1 - 15-08-2011 13:53:16

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

Tétra-mmaths

On donne un cube d'arête 1. Deux sommets d'un tétraèdre régulier sont situés sur la diagonale du cube, les deux autres sur la diagonale d'une face. Quel est le volume de ce tétraèdre ?

(à résoudre en plus de 5 minutes !) wink



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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 #2 - 15-08-2011 14:19:19

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

TTétra-maths

Si on parle de ça :
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-tetraedre.jpg

Le volume est rac(2)/12  rac(2)^3 =  1/3

 #3 - 15-08-2011 14:29:35

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Tétr-maths

Non, Gwen. Il y a une seule position du tétraèdre régulier (pour une diagonale et une face du cube déterminées à l’avance) et par conséquent un seul volume possible.

Le volume est bien inférieur au tien.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #4 - 15-08-2011 15:09:23

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

Tétraa-maths

Qu'est ce que tu appelle  diagonale ? Et diagonale d'en face ? Je n'ai pas un tétraèdre qui correspond à l'énoncé si je comprend bien.

 #5 - 15-08-2011 17:36:30

snapy
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 33

tétra-mayhs

Ok, j'ai mis plus de 5 minutes ...

En gros, je dessine le tétraèdre dans son cube et je note les coordonnées des sommets dans un repère (x,y,z).
De là, j'écris le système de 6 équations qui traduisent l'égalité de tous les côtés du tétraèdre. Je résouds ce système (non linéaire évidement) et j'obtiens un polynôme du second degré en x (longueur d'un côté du tétraèdre):
[TeX]\frac{3}{4}x^2-\frac{7}{2\sqrt{2}}x+\frac{17}{24}+\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{2}-2)}{4}-\frac{7\sqrt{6}}{12}=0[/TeX]
(il est fort possible que cette expression soit bourrée de fautes de calcul, auquel cas je ne m'engage PAS à tout recommencer).

La résolution de cette équation se fait de la manière classique, avec un discriminant positif (cool) et on obtient :
[TeX]x=\frac{\frac{7}{2\sqrt{2}}+\sqrt{\Delta}}{\frac{3}{2}}[/TeX]

[latex]\Delta=\fra{49}{8}-3(\frac{17}{24}+\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{2}-2)}{4}-\frac{7\sqrt{6}}{12})[/latex].

La valeur approchée de x est 1.64992.

Enfin, le volume d'un tétraèdre étant [latex]V=\frac{\sqrt{2}}{12}x^3[/latex] (tout le monde sait ça depuis la maternelle) nous obtenons finalement :
V=0.529321

big_smile

10s plus tard : ce qui est completement faux car x est plus long que la diagonale du cube... ouin !!!

 #6 - 16-08-2011 15:38:51

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

tétra-matjs

Je trouve rac6/108, à partir de la distance entre les 2 diago: rac6/6 distance qui vaut rac2/2 fois l'arête du tétra.

 #7 - 16-08-2011 16:34:27

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

Tétra-aths

Grand bravo nodgim, ce n'était pas simple... wink


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