Non, Gwen. Il y a une seule position du tétraèdre régulier (pour une diagonale et une face du cube déterminées à l’avance) et par conséquent un seul volume possible.

Le volume est bien inférieur au tien.

Ok, j'ai mis plus de 5 minutes ...

En gros, je dessine le tétraèdre dans son cube et je note les coordonnées des sommets dans un repère (x,y,z).
De là, j'écris le système de 6 équations qui traduisent l'égalité de tous les côtés du tétraèdre. Je résouds ce système (non linéaire évidement) et j'obtiens un polynôme du second degré en x (longueur d'un côté du tétraèdre):

$$\frac{3}{4}x^2-\frac{7}{2\sqrt{2}}x+\frac{17}{24}+\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{2}-2)}{4}-\frac{7\sqrt{6}}{12}=0$$
(il est fort possible que cette expression soit bourrée de fautes de calcul, auquel cas je ne m'engage PAS à tout recommencer).

La résolution de cette équation se fait de la manière classique, avec un discriminant positif (cool) et on obtient :
$$x=\frac{\frac{7}{2\sqrt{2}}+\sqrt{\Delta}}{\frac{3}{2}}$$
où
$\Delta=\fra{49}{8}-3(\frac{17}{24}+\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{2}-2)}{4}-\frac{7\sqrt{6}}{12})$.

La valeur approchée de x est 1.64992.

Enfin, le volume d'un tétraèdre étant $V=\frac{\sqrt{2}}{12}x^3$ (tout le monde sait ça depuis la maternelle) nous obtenons finalement :
V=0.529321



10s plus tard : ce qui est completement faux car x est plus long que la diagonale du cube... ouin !!!

Grand bravo nodgim, ce n'était pas simple...