Enigmes

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 #1 - 19-08-2011 17:45:33

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
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Lieu: Lille si j'y suis

Seul au monde aveec Wilson

Nous allons démontrer le sens direct du théorème de Wilson. Montrer que [latex]\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\binom{n-1}{k}(n-k)^{n-1}=(n-1)![/latex]. En déduire que [latex](n-1)!+1[/latex] est divisible par [latex]n[/latex] quand ce dernier est premier. Bon travail. smile



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#0 Pub

 #2 - 22-08-2011 20:22:08

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
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seul au monde avex wilson

seul au monde roll


http://enigmusique.blogspot.com/

 #3 - 22-08-2011 20:25:02

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
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Lieu: Lille si j'y suis

Seul au monde avecc Wilson

Oui Kosmogol je suis seul au monde. Tant pis je prolonge.


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 #4 - 22-08-2011 21:45:50

shadock
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seul au monde avzc wilson

Je suis pas capable de le faire enfin je ne pense pas lol mais en gros il faut démontrer que si n est premier alors [latex](n-1)!+1\equiv 0[/latex] (mod n) ?


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #5 - 22-08-2011 21:59:55

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Seul au monde avec Wilosn

Oui Shadock.smile


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 #6 - 22-08-2011 22:34:42

shadock
Elite de Prise2Tete
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Seul au mondee avec Wilson

Si p est non premier, il admet au moins un diviseur d tel que 1 < d < p et par conséquent p = kd avec également 1 < k < p.

Si k et d ne sont pas égaux, k et d sont alors présents dans la liste 1, 2, 3, ... (p - 1) donc (p - 1)! est divisible par p, il en découle naturellement [latex](p - 1)! \equiv 0 [p][/latex]. Reste le +1 sad

Si k et d sont égaux je cale. hmm

Shadock big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #7 - 23-08-2011 02:06:51

racine
Elite de Prise2Tete
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seul au monfe avec wilson

Je ne sais pas si cette démonstration est facile ou difficile, j'ai peut-être une chance d'y arriver, par contre, j'aimerais avoir une explication sur l'intérêt de la question. En quoi ce théorème est important, quelles sont ses implications, la démonstration est-elle particulièrement élégante etc, sinon, j'avoue avoir du mal à y adhérer.
Allez Yanyan, tu es de toute évidence fort en math, mais je suis sûr que tu prendrais plus de plaisir  en touchant des non-matheux purs (indépendamment du niveau de la question).

 #8 - 23-08-2011 12:01:23

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

seul au monde avrc wilson

Méthode possible : considérer [latex]P_0(X)=(X-1)^{n-1},P_1(X)=XP_0'(X),P_2(X)=XP_1'(X)...[/latex]


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 #9 - 24-08-2011 21:12:37

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Seuul au monde avec Wilson

Voici la réponse (si elle intéresse quelqu'un) :
On montre par récurrence que
[latex]P_k(X)=X^kP_0(X)^{(k)}+(X-1)^{n-k}R_k(X)[/latex] où [latex]R_k[/latex] est un polynôme.

D'où [latex]P_{n-1}(1)=(n-1)![/latex], or [latex](X-1)^{n-1}=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}(-1)^iX^{n-i}[/latex] d'où [latex]P_k(X)=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}(-1)^i(n-i)^{k}X^{n-i}[/latex] d'où la relation annoncée.


Ensuite on y ajoute 1 et on la regarde modulo n et on trouve par le petit théorème de Fermat et le binôme de Newton [latex] (1-1)^n[/latex] et finalement on obtient la divisibilité par n.


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 #10 - 24-08-2011 21:17:54

Klimrod
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Messages : 3768
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

seul au mondr avec wilson

Je joue le joker "appel à un ami" et j'appelle Kosmo...

big_smile


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #11 - 24-08-2011 21:33:17

SaintPierre
Banni
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Lieu: Annecy

seul au monde avrc wilson

Je suis d'accord avec racine. Je rajouterai même que c'est indigeste.
À quand un problème mathématique de Yanyan avec des mots et non des formules ? wink
Cordialement,
SP.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #12 - 24-08-2011 21:58:04

kosmogol
Banni
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Seul au mnode avec Wilson

Klimrod a écrit:

Je joue le joker "appel à un ami" et j'appelle Kosmo...

big_smile

"- Tu peux me répéter la question ?
- Alors voilà :
Nous allons démontrer le sens direct du théorème de Wilson. Montrer que  [latex]\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\binom{n-1}{k}(n-k)^{n-1}=(n-1)![/latex]. En déduire...
- bip bip bip


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 #13 - 24-08-2011 22:05:47

Yanyan
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Seul au onde avec Wilson

Moi je la trouve élégante cette formule, on exprime une factorielle comme une somme de puissances de mêmes degrés avec des coefficients. Et de plus on attrape     
Wilson, sympa? La preuve est de mon cru, je pensais que vous en trouveriez d'autres.

Les mots qui ne sont pas mathématiquement définis, à quoi servent-ils ? Je te le demande Saint-Pierre.


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 #14 - 24-08-2011 22:07:45

kosmogol
Banni
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Seul au monde avec Wlson

SaintPierre a écrit:

Je rajouterai même que c'est indigeste.

lollollollol


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 #15 - 24-08-2011 22:30:49

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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Seul au monde avc Wilson

Pour la déduction j'étais bien partie mais à ma manière dommage que cela n'est pas abouti hmm


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 #16 - 25-08-2011 12:36:20

fabb54
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 37

seul au monde avec wilqon

Ce problème était très intéressant, et tout particulièrement la première partie.

Je rejoins Yanyan sur ce coup : la formule proposée est très élégante. C'est ce qui m'a envie de réfléchir plusieures heures sur la preuve, sans que je parvienne à l'établir pour autant sad.

 #17 - 25-08-2011 14:10:01

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Seul au mone avec Wilson

Merci Fabb54, je vais mieux détailler la preuve car tu m'a signalé par MP être un peu perdu.


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 #18 - 25-08-2011 16:16:05

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Seul au moonde avec Wilson

L'idée est la suivante : on reconnait dans la relation donnée un dévellopement du binôme de Newton, enfin pas tout à fait mais [latex]P_0(A)=(A-1)^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\binom{n-1}{k}A^{k-1}[/latex] . Le k-1 est en exposant, pour le faire "descendre" on dérive l'expression par rapport à la variable A est on fait A=1. A ce stade on a k-1 à la puissance 1, mais on le veut à la puissance n-1. L'expression dérivée est [latex]P'_0(A)=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\binom{n-1}{k}(k-1)A^{k-2}[/latex], si on redérive on aura du (k-1)(k-2) donc on multiplie la relation par A, puis seulement on dérive...
Il faudra faire cela n-1 fois et faire A=1.

D'où l'étude de [latex]P_0(A)=(A-1)^{n-1}[/latex] puis de [latex]P_1(A)=AP'_0(A)[/latex]... En calculant en peu, et en gardant en tête qu'on évalue en A=1, on remarque que seul compte [latex]A^iP_0^{(i)}[/latex] où l'exposant entre parenthèses désigne la dérivée i-ème. Reste à le montrer, on suppose que [latex]P_i(A)=A^iP_0^{(i)}+R_i(A)(A-1)^{n-i}[/latex] d'ou [latex]AP'_i(A)=A(iA^{i-1}P_0^{(i)}+A^iP_0^{(i+1)}+R'_i(A)(A-1)^{n-i}+R_i(A)(n-i)(A-1)^{n-i-1})[/latex]
[TeX]=A^{i+1}P_0^{(i+1)}+(A-1)^{n-(i+1)}(R_i(A)(n-i)(A-1)^{n-i-1}+R'_i(A)(A-1))[/TeX]
Maintenant en évaluant en 1 on trouve la valeur de la dérivée n-1 i-ème de [latex](A-1)^{n-1}[/latex] qui est constante égale à (n-1)!.

Pour finir Fermat nous dit que [latex](n-k)^{n-1}=1[n][/latex] si n est premier et k différent de 0, [latex]n^k=0[n][/latex], donc si on ajoute 1 on reconnait le dévellopement de [latex](1-1)^{n-1}[/latex] d'où la divisibilité par n.

Je conseille  une feuille de papier pour suivre ce raisonnement. smile


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 #19 - 25-08-2011 16:48:16

fabb54
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 37

Seul au monde avec Wilsonn

Merci ! C'est très compréhensible maintenant smile

La peuve est aussi belle que l'égalité !

 #20 - 25-08-2011 17:22:25

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Seul a umonde avec Wilson

Je plussoie.

Bien que je reste un peu moi aussi réfractaire à des exercices très théorique. Ca me rappelle trop la taupe (S&KOH).

 #21 - 25-08-2011 19:33:30

Palin01
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Messages : 70
Lieu: Lille

Seul au monde avec iWlson

En parlant de taupe, si ça intéresse quelqu'un j'ai la démonstration de mon Prof de maths (que je suis censée connaitre d'ailleurs)  :

On travaille sur [latex]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/latex]

On a  [latex]X^{n-1} - \bar{1} = (X-\bar{1})...(X-\bar{n-1})[/latex] ( grâce au petit théorème de Fermat)

donc [latex]\bar{-1}=\bar{-1}^{n-1}*\bar{n-1}![/latex](en prenant X=0)

Or si n>=3 il est  impair donc [latex]\bar{n-1}!=\bar{-1}[/latex].

 #22 - 25-08-2011 20:18:46

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

seul zu monde avec wilson

Tout à fait c'est la démonstration classique, mais c'est surtout montrer la première relation de l'énigme qui me semblait dure, prise de tête...


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 #23 - 25-08-2011 21:02:10

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

seul au monde avzc wilson

rivas a écrit:

(S&KOH)

Ah oui !!! Soufre & potasse, c'est bien ça ?!? J'ai connu ça: après un bac à Madagascar sous les cocotiers, je me suis retrouvé en taupe par un hiver neigeux: ça fait plus de trente ans et je m'en
rappelle encore. Mais je ne sais pas pourquoi je raconte tout ça, qui est par ailleurs hors sujet big_smile

 #24 - 25-08-2011 22:16:49

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

seul ay monde avec wilson

C'est amusant ça, j'ai pasé le bac à la Réunion sous les cocotiers et après taupe en métropole.
Je m'en souviens aussi smile

 #25 - 25-08-2011 22:37:17

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

Seul au moned avec Wilson

Palin01 a écrit:

En parlant de taupe, si ça intéresse quelqu'un j'ai la démonstration de mon Prof de maths (que je suis censée connaitre d'ailleurs)  :

On travaille sur [latex]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/latex]

On a  [latex]X^{n-1} - \bar{1} = (X-\bar{1})...(X-\bar{n-1})[/latex] ( grâce au petit théorème de Fermat)

donc [latex]\bar{-1}=\bar{-1}^{n-1}*\bar{n-1}![/latex](en prenant X=0)

Or si n>=3 il est  impair donc [latex]\bar{n-1}!=\bar{-1}[/latex].

Ça correspond à quoi les barres ?


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