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 #1 - 13-08-2013 13:51:58

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 303
Lieu: Montargis

conjectute ou pas?

Existe-t-il un couple d'entiers naturels (n,m) tel que [latex]2^n=3*m[/latex]?
Si oui, le(s)quel(s)?
Si non, comment démontrer cette inexistence?

Amusez-vous bien smile



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#0 Pub

 #2 - 13-08-2013 14:27:13

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 641

Conjectur eou pas?

Ce n'est pas une démonstration, mais une puissance de 2 se décomposera comme ceci : 2 * 2 * ... * 2 et ne sera jamais multiple de 3 !

 #3 - 13-08-2013 14:34:04

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Conjecture oou pas?

Je dois rater quelque chose ????

Le nombre de droite a 3 dans ses facteurs premiers, le nombre de gauche que des 2. Donc d'après l'unicité de la décomposition en facteurs premiers, l'égalité est impossible.

 #4 - 13-08-2013 15:55:44

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1945
Lieu: Paris

CConjecture ou pas?

Je pense que non car dans la décomposition en nombres premiers de 2^n, il n'y a n 2 mais aucun 3.

 #5 - 13-08-2013 15:57:26

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2813
Lieu: Luxembourg

Conejcture ou pas?

On pourrait démontrer cette inexistence par l'absurde: si ce couple existait, alors le nombre 3 ne serait pas premier.

 #6 - 13-08-2013 17:53:44

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Conjectuure ou pas?

Non car la décomposition en nombre premiers ne comptera que des 2 donc pas multiple de 3


Un promath- actif dans un forum actif

 #7 - 13-08-2013 19:01:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3136

conhecture ou pas?

Il n'y pas de 3 à gauche de l'égalité, comment veux tu trouver une solution ?

 #8 - 13-08-2013 19:14:17

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Connjecture ou pas?

Si n est pair alors  [latex]2^n \equiv 1 [3][/latex]

Si n est impair alors  [latex]2^n \equiv 2 [3][/latex]

Donc les puissances de deux ne sont jamais congrues à zéro modulo 3, c'est à dire qu'une puissance de 2 n'est jamais un multiple de trois.

On peut voir ça aussi en remarquant que 3 n’apparaît pas dans la décomposition en nombre premier de [latex]2^n[/latex].


Il y a sûrement plus simple.

 #9 - 13-08-2013 20:12:34

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

conjecrure ou pas?

Evidemment qu'un tel couple n'existe pas.

(Commentaire de mon amie : "elle est bonne, celle-là".)

Démonstration brève (avec une récurrence super-simple) : [latex] 2^n[/latex] est congru à 2 modulo 3 si n est impair, et à 1 si n est pair.

(Ou alors, on utilise l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #10 - 13-08-2013 20:56:42

perceval
Chevalier de P2T
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Messages : 723
Lieu: 37

Conjecture ou pas??

Au risque de dire une grosse c*******, les puissances de deux ne peuvent admettre 3 comme diviseur. Donc il n'existe aucun couple (n,m) entiers naturels qui satisfasse la condition énoncé.


When i was a child i was a jedi

 #11 - 13-08-2013 22:17:42

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 699

Conjectuer ou pas?

Un tel couple n'existe pas.
En effet 2 est congru à -1 modulo 3.
Donc la relation 2^n=3*m donne
[TeX](-1)^n\equiv 0 \ \mod 3[/TeX]
ce qui est impossible.

 #12 - 13-08-2013 22:28:51

looozer
Expert de Prise2Tete
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Messages : 674
Lieu: Belgique

Conjectue ou pas?

Ce couple n'existe pas :

2^n (n non nul) n'a que des 2 dans sa décomposition en facteurs premiers donc pas de facteur 3

2^0 = 1 : pas de facteur 3 non plus

cqfd

 #13 - 14-08-2013 00:34:09

shadock
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Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

conkecture ou pas?

Je donne ma version plage donc succincte :

Le chiffres des unités de [latex]2^n[/latex] est soit 1 2 4 8 6
Comme 6 est le seul qui n'est pas premier dans un premier temps on peut penser que c'est possible. Mais intuitivement je ne pense pas que ce soit possible. 

Affaire à suivre,  shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #14 - 14-08-2013 10:24:24

fix33
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Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Conjecture ou pass?

2^n n'a que 2 comme diviseur (quelle que soit la valeur de n), ce qui exclut donc 3 de ses diviseurs et donc l'égalité proposée !


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #15 - 14-08-2013 13:11:07

gwen27
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Messages : 5,640E+3

Conjecture ou pa?

2^n est pair donc m est pair
on divise par 2....
2^(n-1)=3x(m/2)

par récurence : 2 =3x impossible

 #16 - 09-12-2013 20:45:02

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 425

conjectire ou pas?

[TeX]2^0=3*3^{-1}[/TeX]

 #17 - 09-12-2013 21:37:19

SabanSuresh
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Conjecture ou pa?

Bien vu !

 #18 - 09-12-2013 21:41:01

gwen27
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Messages : 5,640E+3

conjectyre ou pas?

Je ne vois pas en quoi.

Depuis quand 3^(-1) est-il un entier naturel ?

 #19 - 09-12-2013 21:55:30

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

conjectyre ou pas?

Je vais me taire. roll

lol

 #20 - 09-12-2013 22:38:09

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 425

Conjectre ou pas?

gwen27 #18 a écrit:

Depuis quand 3^(-1) est-il un entier naturel ?

Ce sont [latex]m[/latex]et[latex]n[/latex] qui doivent être des entiers naturels.

kossi_tg #1 a écrit:

Existe-t-il un couple d'entiers naturels (n,m) tel que : [latex]2^n=3*m?[/latex]

 #21 - 09-12-2013 22:50:26

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: Montargis

vonjecture ou pas?

[latex]2^n=3*m[/latex], et quand tu mets [latex]2^0=3*3^{-1}[/latex] comme réponse, cela suppose que [latex]m=3^{-1}[/latex] or [latex]3^{-1}[/latex] n'est pas un entier

 #22 - 10-12-2013 07:36:14

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 425

Conecture ou pas?

On peut effectivement l'interpréter comme ça, mais pour moi le point d'interrogation représentait l'exposant. Je savais de toute façon que ma réponse était fantaisiste, mais je la trouvais amusante.smile

 #23 - 10-12-2013 08:35:41

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Conjecture ou psa?

"On peut effectivement l'interpréter comme ça" ? C't'une blague, n'est-ce pas ? roll


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #24 - 10-12-2013 18:24:04

shadock
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Messages : 3332

cinjecture ou pas?

Cela suppose surtout que -1 est un entier naturel... roll


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

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