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 #1 - 13-08-2013 13:51:58

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 307
Lieu: Montargis

Conjecture ou pa?

Existe-t-il un couple d'entiers naturels (n,m) tel que [latex]2^n=3*m[/latex]?
Si oui, le(s)quel(s)?
Si non, comment démontrer cette inexistence?

Amusez-vous bien smile



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#0 Pub

 #2 - 13-08-2013 14:27:13

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 695

conjecture oi pas?

Ce n'est pas une démonstration, mais une puissance de 2 se décomposera comme ceci : 2 * 2 * ... * 2 et ne sera jamais multiple de 3 !

 #3 - 13-08-2013 14:34:04

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1106
Lieu: Jacou

Conjeccture ou pas?

Je dois rater quelque chose ????

Le nombre de droite a 3 dans ses facteurs premiers, le nombre de gauche que des 2. Donc d'après l'unicité de la décomposition en facteurs premiers, l'égalité est impossible.

 #4 - 13-08-2013 15:55:44

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1950
Lieu: Paris

cinjecture ou pas?

Je pense que non car dans la décomposition en nombres premiers de 2^n, il n'y a n 2 mais aucun 3.

 #5 - 13-08-2013 15:57:26

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2931
Lieu: Luxembourg

Conjecture ou ppas?

On pourrait démontrer cette inexistence par l'absurde: si ce couple existait, alors le nombre 3 ne serait pas premier.

 #6 - 13-08-2013 17:53:44

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

cobjecture ou pas?

Non car la décomposition en nombre premiers ne comptera que des 2 donc pas multiple de 3


Un promath- actif dans un forum actif

 #7 - 13-08-2013 19:01:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3587

Conjetcure ou pas?

Il n'y pas de 3 à gauche de l'égalité, comment veux tu trouver une solution ?

 #8 - 13-08-2013 19:14:17

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

conjecturr ou pas?

Si n est pair alors  [latex]2^n \equiv 1 [3][/latex]

Si n est impair alors  [latex]2^n \equiv 2 [3][/latex]

Donc les puissances de deux ne sont jamais congrues à zéro modulo 3, c'est à dire qu'une puissance de 2 n'est jamais un multiple de trois.

On peut voir ça aussi en remarquant que 3 n’apparaît pas dans la décomposition en nombre premier de [latex]2^n[/latex].


Il y a sûrement plus simple.

 #9 - 13-08-2013 20:12:34

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Conjecturre ou pas?

Evidemment qu'un tel couple n'existe pas.

(Commentaire de mon amie : "elle est bonne, celle-là".)

Démonstration brève (avec une récurrence super-simple) : [latex] 2^n[/latex] est congru à 2 modulo 3 si n est impair, et à 1 si n est pair.

(Ou alors, on utilise l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #10 - 13-08-2013 20:56:42

perceval
Chevalier de P2T
Enigmes résolues : 48
Messages : 724
Lieu: 37

conjecture ou oas?

Au risque de dire une grosse c*******, les puissances de deux ne peuvent admettre 3 comme diviseur. Donc il n'existe aucun couple (n,m) entiers naturels qui satisfasse la condition énoncé.


When i was a child i was a jedi

 #11 - 13-08-2013 22:17:42

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 833

conjecture oy pas?

Un tel couple n'existe pas.
En effet 2 est congru à -1 modulo 3.
Donc la relation 2^n=3*m donne
[TeX](-1)^n\equiv 0 \ \mod 3[/TeX]
ce qui est impossible.

 #12 - 13-08-2013 22:28:51

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 688
Lieu: Belgique

Conjceture ou pas?

Ce couple n'existe pas :

2^n (n non nul) n'a que des 2 dans sa décomposition en facteurs premiers donc pas de facteur 3

2^0 = 1 : pas de facteur 3 non plus

cqfd

 #13 - 14-08-2013 00:34:09

shadock
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Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Conjetcure ou pas?

Je donne ma version plage donc succincte :

Le chiffres des unités de [latex]2^n[/latex] est soit 1 2 4 8 6
Comme 6 est le seul qui n'est pas premier dans un premier temps on peut penser que c'est possible. Mais intuitivement je ne pense pas que ce soit possible. 

Affaire à suivre,  shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #14 - 14-08-2013 10:24:24

fix33
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Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

conjevture ou pas?

2^n n'a que 2 comme diviseur (quelle que soit la valeur de n), ce qui exclut donc 3 de ses diviseurs et donc l'égalité proposée !


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #15 - 14-08-2013 13:11:07

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,852E+3

cpnjecture ou pas?

2^n est pair donc m est pair
on divise par 2....
2^(n-1)=3x(m/2)

par récurence : 2 =3x impossible

 #16 - 09-12-2013 20:45:02

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 550

conjecture ou paq?

[TeX]2^0=3*3^{-1}[/TeX]

 #17 - 09-12-2013 21:37:19

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
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conjecture ou oas?

Bien vu !

 #18 - 09-12-2013 21:41:01

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,852E+3

Conjectur eou pas?

Je ne vois pas en quoi.

Depuis quand 3^(-1) est-il un entier naturel ?

 #19 - 09-12-2013 21:55:30

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1950
Lieu: Paris

Conjectre ou pas?

Je vais me taire. roll

lol

 #20 - 09-12-2013 22:38:09

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 550

conjecture pu pas?

gwen27 #18 a écrit:

Depuis quand 3^(-1) est-il un entier naturel ?

Ce sont [latex]m[/latex]et[latex]n[/latex] qui doivent être des entiers naturels.

kossi_tg #1 a écrit:

Existe-t-il un couple d'entiers naturels (n,m) tel que : [latex]2^n=3*m?[/latex]

 #21 - 09-12-2013 22:50:26

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: Montargis

Conjcture ou pas?

[latex]2^n=3*m[/latex], et quand tu mets [latex]2^0=3*3^{-1}[/latex] comme réponse, cela suppose que [latex]m=3^{-1}[/latex] or [latex]3^{-1}[/latex] n'est pas un entier

 #22 - 10-12-2013 07:36:14

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 550

Conjecture uo pas?

On peut effectivement l'interpréter comme ça, mais pour moi le point d'interrogation représentait l'exposant. Je savais de toute façon que ma réponse était fantaisiste, mais je la trouvais amusante.smile

 #23 - 10-12-2013 08:35:41

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Cnjecture ou pas?

"On peut effectivement l'interpréter comme ça" ? C't'une blague, n'est-ce pas ? roll


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #24 - 10-12-2013 18:24:04

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Conjecture ou paas?

Cela suppose surtout que -1 est un entier naturel... roll


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

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