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 #1 - 10-12-2014 18:36:52

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Pythagore dans le moonde réel

Bonsoir à tous smile

Tout le monde connaît le triangle pythagoricien ( 3 ; 4 ; 5 ) qui vérifie la fameuse relation : [latex]3^2+4^2=5^2[/latex] .

Pour changer un peu , j'aimerais bien trouver un réel [latex]x[/latex] différent de 2 pour lequel [mode Latex défaillant]3^x+4^x=5^x[/mode Latex défaillant] .

Mais je n'y arrive pas mad

Vasimolo



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 #2 - 10-12-2014 18:45:18

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1945
Lieu: Paris

Pythagore dans le monde reél

Je pense que que la seule solution est 2. Si on dessine les courbes de 3^x+4^x et celle de 5^x, les courbes n'ont qu'un seul point d'intersection. Au dessus de 2, 5^x>3^x+4^x. La démarche n'est pas rigoureuse mais on moins, on sait qu'il n'y a pas d'autres solutions.

 #3 - 10-12-2014 19:01:02

gwen27
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Messages : 5,467E+3

Pythaogre dans le monde réel

(3/5)^x tout comme (4/5)^x sont décroissantes sur R

Donc, pour que leur somme soit égale à 1 : une seule solution.

 #4 - 10-12-2014 19:03:03

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Pythagore danns le monde réel

Oui c'est un premier pas Saban smile

Bien vu Gwen !

Vasimolo

 #5 - 10-12-2014 19:50:43

nodgim
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Messages : 2953

Pythagore dns le monde réel

ça fait longtemps que je n'ai plus fait d'analyse...
La fonction a^x pour a>1 est strictement croissante et monotone de -inf à + inf. Ajouter les fonctions 3^x et 4^x aussi. Je ne vois donc qu'un seul croisement possible avec 5^x, et puisqu'on sait que c'est en 2 que ça se produit, il n'y pas d'autre croisement possible.

 #6 - 10-12-2014 20:25:44

shadock
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3313

pythagorr dans le monde réel

Dans ce cas ne cherche pas plus tu ne trouves pas !

En effet la fonction qui a x associe a^x est strictement décroissante si 0<a<1
Donc il existe un unique x en l’occurrence 2 tel que :

                                      (3/5)^x+(4/5)^x=1 

Tout simplement.
Shadock cool


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #7 - 11-12-2014 08:47:40

Franky1103
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Pythagore dans le monnde réel

3^x + 4^x = 5^x <=> f(x) = 0, avec f(x) = 0,6^x + 0,8^x - 1
f’(x) = ln(0,6).(0,6^x) + ln(0,8).(0,8^x)
f' est négative donc f (qui est aussi continue) est décroissante
donc, au mieux, f ne s’annulera qu’une fois (et on sait déjà où)
x=2 est donc l'unique solution de: 3^x + 4^x = 5^x

 #8 - 11-12-2014 13:59:51

dahaouid
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 34

pythagorz dans le monde réel

0 ?

 #9 - 11-12-2014 15:38:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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pythagore dans le mpnde réel

Vous avez tous bon smile

Attention dahaouid : 1+1=2 lol

Vasimolo

 #10 - 11-12-2014 16:17:11

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
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Pythagore dans le mond réel

salut.

  soit la fonction f(x) = (3/5)^x + (4/5)^x   -   1

elle est définie quelque soit x  et continue et varie de +infini  à  -1  et est décroissante

elle s'annule bien évidemment pour x = 2 déjà

sa dérivée est la suivante:
f'(x) = Ln(3/5). exp{x.Ln(3/5)} + Ln(4/5). exp{x.Ln(4/5)}

cette dérivée ne s'annule jamais et varie de  - infini  ---> 0-

   on voit qu'elle est strictement décroissante et ne coupant qu'une fois l'axe des y
elle ne s'annule donc qu'une fois en x=2 (théorème de Rolle)  , je crois .

 #11 - 11-12-2014 16:29:53

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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pythagore dans le monfe réel

Oui unecoudée .

C'est plutôt le TVI ( théorème des valeurs intermédiaires ) .

Vasimolo

 #12 - 11-12-2014 17:27:34

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
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pythagore dabs le monde réel

@vasimolo

               oui . autant pour moi.   il y a longtemps que l'école m'a quitté.

 #13 - 11-12-2014 21:51:44

Sydre
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Enigmes résolues : 15
Messages : 143

Pythagore dnas le monde réel

Quel optimiste ce Vasimolo lol

3^x+4^x=5^x équivaut à (3/5)^x+(4/5)^x=1

La fonction f définie sur R par f(x)=(3/5)^x+(4/5)^x-1 est strictement décroissante.

D'autre part lorsque x tends vers - l'infini, f(x) tends vers + l'infini et lorsque x tends vers + l'infini, f(x) tends vers -1.

L'équation admet donc une solution unique d’après le TVI smile

 #14 - 12-12-2014 01:33:40

fix33
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yPthagore dans le monde réel

Je ne suis pas très bon à ce jeu-là, mais je me lance.
3^x < 4^x < 5^x sont positives, strictement croissantes.
Leurs dérivées sont aussi strictement croissantes et :
- pour x < 0, 3^x*log(3) > 4^x*log(4) > 5^x*log(5).
- pour x > 0, 3^x*log(3) < 4^x*log(4) < 5^x*log(5).
Si je ne dis pas de bêtise, cela ne laisse qu'1 et 1 seul point d'intersection entre les 2 courbes.
Merci Wolfram pour la confirmation... roll


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #15 - 12-12-2014 18:45:16

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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ythagore dans le monde réel

@Sydre : oui .
@Fix : c'est un peu tordu et je ne suis pas sûr que ça marche , il vaut mieux modifier légèrement l'équation pour la rendre plus facile à utiliser smile

Vasimolo

 #16 - 12-12-2014 19:42:56

halloduda
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Pythagore danss le monde réel

Il n'y a pas d'autre solution.

y=3^x+4^x-5^x dans WolframAlpha

 #17 - 13-12-2014 10:08:44

Nombrilist
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Pythagore dans le monde éel

3^x + 4^x = 5^x

(3/5)^x + (4/5^x) = 1

On voit que pour x < ou égal à zéro, il n'y a pas de solution.

Soit f telle que f(x) = (3/5)^x + (4/5)^x

f(x) = exp[x.ln(3/5)] + exp[x.ln(4/5)]

f'(x) = ln(3/5).exp[x.ln(3/5)] + ln(4/5).exp[x.ln(4/5)]

Pour x>0, f' est strictement négative. f(0) = 2 et lim f en l'infini est 0. Donc, f réalise une bijection de R+* sur ]0;2[.

Donc, l'équation (3/5)^x + (4/5^x) = 1 n'a qu'une solution: x=2.

 #18 - 13-12-2014 19:49:18

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Pythagore dans le monde réle

J'avoue que ce problème était un peu trop simple pour les P2Têtiens mais il fait équilibre avec les derniers gâteaux un peu trop lourds mad.

J'adore revisiter les classiques smile

Merci aux participants .

Vasimolo

 #19 - 13-12-2014 21:21:38

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Pythagore dans e monde réel

Merci pour ce problème qui était tout à fait à mon niveau lol. ça me change des problèmes qui m'intéressent mais que je n'arrive pas à résoudre.

 #20 - 14-01-2015 17:30:56

JeremiePensif
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 6

Pythagore dans le mond eréel

Dernier théorème de Fermat :
« Il n'existe pas de nombre entier strictement positif x, y, z vérifiant l'équation x^n + y^n = z^n lorsque n est un entier tel que n > 2 ».

 #21 - 14-01-2015 17:57:37

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2708
Lieu: Luxembourg

Ptyhagore dans le monde réel

Bienvenu parmi nous et merci pour l'info, toutefois hors sujet ici, et appelé maintenant théorème de Fermat-Wiles.

 #22 - 14-01-2015 18:49:38

JeremiePensif
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 6

Pythagore dans le monde rél

Hors sujet ?

 #23 - 14-01-2015 18:54:38

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Pythagore dan le monde réel

Tu as lu l'énigme ?

L'exposant n'est pas entier mais réel smile

Vasimolo

 #24 - 14-01-2015 19:00:48

JeremiePensif
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 6

pythagore sans le monde réel

D'accord, merci.
Oui j'avais lu l'énigme. Mais je comprends beaucoup moins bien les mathématiques depuis qu'elles ne s'énoncent plus de manière littéraire comme au temps de Fermat : « Dans les entiers, aucun cube n'est la somme de deux cubes », etc. Allez dire de si belles et claires phrases avec des exposants non entiers !

 #25 - 14-01-2015 19:04:10

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

pythagore danq le monde réel

Essaie de résoudre une équation de degré 4 avec des phrases et puis on en reparle lol

Vasimolo

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