Je pense que que la seule solution est 2. Si on dessine les courbes de 3^x+4^x et celle de 5^x, les courbes n'ont qu'un seul point d'intersection. Au dessus de 2, 5^x>3^x+4^x. La démarche n'est pas rigoureuse mais on moins, on sait qu'il n'y a pas d'autres solutions.

Oui c'est un premier pas Saban

Bien vu Gwen !

Vasimolo

Dans ce cas ne cherche pas plus tu ne trouves pas !

En effet la fonction qui a x associe a^x est strictement décroissante si 0<a<1
Donc il existe un unique x en l’occurrence 2 tel que :

                                      (3/5)^x+(4/5)^x=1 

Tout simplement.
Shadock

0 ?

salut.

  soit la fonction f(x) = (3/5)^x + (4/5)^x   -   1

elle est définie quelque soit x  et continue et varie de +infini  à  -1  et est décroissante

elle s'annule bien évidemment pour x = 2 déjà

sa dérivée est la suivante:
f'(x) = Ln(3/5). exp{x.Ln(3/5)} + Ln(4/5). exp{x.Ln(4/5)}

cette dérivée ne s'annule jamais et varie de  - infini  ---> 0-

   on voit qu'elle est strictement décroissante et ne coupant qu'une fois l'axe des y
elle ne s'annule donc qu'une fois en x=2 (théorème de Rolle)  , je crois .

@vasimolo

               oui . autant pour moi.   il y a longtemps que l'école m'a quitté.

Je ne suis pas très bon à ce jeu-là, mais je me lance.
3^x < 4^x < 5^x sont positives, strictement croissantes.
Leurs dérivées sont aussi strictement croissantes et :
- pour x < 0, 3^x*log(3) > 4^x*log(4) > 5^x*log(5).
- pour x > 0, 3^x*log(3) < 4^x*log(4) < 5^x*log(5).
Si je ne dis pas de bêtise, cela ne laisse qu'1 et 1 seul point d'intersection entre les 2 courbes.
Merci Wolfram pour la confirmation...

Il n'y a pas d'autre solution.

y=3^x+4^x-5^x dans WolframAlpha

J'avoue que ce problème était un peu trop simple pour les P2Têtiens mais il fait équilibre avec les derniers gâteaux un peu trop lourds .

J'adore revisiter les classiques

Merci aux participants .

Vasimolo

Dernier théorème de Fermat :
« Il n'existe pas de nombre entier strictement positif x, y, z vérifiant l'équation x^n + y^n = z^n lorsque n est un entier tel que n > 2 ».

Hors sujet ?

D'accord, merci.
Oui j'avais lu l'énigme. Mais je comprends beaucoup moins bien les mathématiques depuis qu'elles ne s'énoncent plus de manière littéraire comme au temps de Fermat : « Dans les entiers, aucun cube n'est la somme de deux cubes », etc. Allez dire de si belles et claires phrases avec des exposants non entiers !