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 #1 - 19-08-2011 18:24:47

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

aMth'OOO

Deux disques (A de centre O et B de centre P), tangents extérieurement, pratiquent le mouvement suivant en deux temps. A commence par rouler sur B, dans le sens des aiguilles d'une montre, de façon que son centre ait tourné d'un angle @ strictement compris entre 0° et 180°, autour du point P. Ensuite, c'est au tour de B de rouler autour de A, dans le sens des aiguilles d'une montre, d'un angle @/2 autour du point O. Les disques effectuent 10 mouvements complets, après quoi ils se retrouvent pour la première fois globalement dans leur position de départ. Donnez une valeur de l'angle @ en degrés ?



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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 #2 - 19-08-2011 18:50:40

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Mth'OOO

Un cycle est le mouvement de A autour de B puis B autour de A.
Au cours d'un cycle, le centre o de A parcourt @ puis @/2 donc 3@/2.
Donc 30@/2=360 ce qui donne @=24 degrés.


The proof of the pudding is in the eating.

 #3 - 19-08-2011 18:52:13

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

MMath'OOO

Oui, mais...


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #4 - 19-08-2011 19:45:28

yogolo
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 79

Mtah'OOO

24°?
Après chaque double mouvement, il me semble que la demi-droite PO tourne d 'un angle 3@/2.
En revenant à la position originale, on peut considérer que O a tourné de 360° autour de P après 10 doubles mouvements.

 #5 - 19-08-2011 19:53:12

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Mat'hOOO

Oui, mais...


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #6 - 19-08-2011 19:58:43

yogolo
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 79

math'ooi

On demande UNE valeur de @
Pour être plus complet on peut dire:24° et multiples de 24°...

 #7 - 19-08-2011 20:15:00

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

ath'OOO

Tous les multiples, yogolo ?


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #8 - 19-08-2011 20:28:54

yogolo
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 79

Mathh'OOO

24°, 48°, 72°, 96°, 120°, 144° et 168°
Eventuellement 0° si la condition "compris entre 0° et 180° " admet inclus.

 #9 - 19-08-2011 20:32:06

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

math'oop

Non, là, c'est faux. hmm


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #10 - 19-08-2011 21:01:00

yogolo
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 79

Math'OO

Exact, j'ai oublié le "pour la première fois"
Bilan et j'espère n'avoir rien oublié, je fatigue:
24°,72° et 168°.

 #11 - 19-08-2011 21:06:09

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Math'OO

Oui, là, c'est juste. wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #12 - 19-08-2011 22:42:14

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Math'OOOO

Bonjour,
Je considère l'angle que fait le vecteur PO par rapport à un repère fixe. Cet angle augmente de @ lorsque A roule et de @/2 (dans le même sens) lorsque B roule. Au bout de 10 mouvements, il aura augmenté de 15@, qui sera égal à 360° pour retrouver la position initiale, et donc @ = 24°
Bonne soirée.
Frank

Edit: Ma réponse me semble trop simple, mais je cherche encore le piège !!!

 #13 - 20-08-2011 10:32:35

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Math'OOOO

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-math000.jpg

Mais pas sûr d'avoir bien compris le problème neutral

Parce que sinon @= 72° et @=168° fonctionnent aussi.

 #14 - 20-08-2011 11:50:15

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

lath'ooo

Ce problème ne vous a pas fait tourner en rond trop longtemps... J'adore quand vous êtes surpris de la simplicité du problème. wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #15 - 20-08-2011 19:20:06

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

Matth'OOO

Bonsoir,

Intuitivement, je dirais 72 degrés. Ou 36 si les deux cercles ont même rayon, ce qui rendrait la configuration formée par les deux cercles globalement identique au bout de 5 étapes avec 72 degrés.

Un calcul à l'aide des complexes doit permettre de le prouver mais c'est pénible à écrire sur un Iphone. J'attends de savoir si c'est bon pour me lancer.wink

 #16 - 20-08-2011 19:56:57

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

math'poo

Disons que ce n'est pas la seule solution, esereth... wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #17 - 20-08-2011 22:41:08

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

math'ooi

Je corrige après un passage par Geogebra :
Les solutions sont les multiples de 24 degrés.
24,48,72,96,120,144 et 168.

Mon approche complexe était entachée d'une erreur.

En notant z_0 et p_0 les affixes de O et P et z_n et p_n celles des points atteints par O et P après n étapes, on a :

z_n+1 - p_n = e^(-i@)(z_n - p_n)
p_n+1 - z_n+1 = e^(-i@/2)(p_n - z_n+1)

En rentrant la première dans la seconde,
p_n+1 - z_n+1 = e^(-3i@/2)(p_n - z_n)

De ce fait
p_n - z_n = e^(-3in@/2)(p_0 - z_0)

Si au bout de 10 étapes, on est revenu à la configuration de départ on doit avoir
p_0 - z_0 = e^(-15i@)(p_0 - z_0)

Cela impose :
15@ = 2k pi
Soit @ est un multiple de 2 pi / 15.

 #18 - 20-08-2011 23:46:16

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
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Lieu: Annecy

MathOOO

Non, pas tous les multiples, justement. wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #19 - 21-08-2011 15:28:27

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

math'poo

OK, j'avais bien vu que c'était une condition nécessaire mais je n'avais pas analysé la réciproque. En fait ce sont les valeurs de 2k pi /15 où k est premier avec 10, donc k=1, k=3 et k=7
c'est-à-dire 24, 72 et 168
Mais je n'ai toujours pas démontré pourquoi les cercles reviennent exactement à la même place.sad

 

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