Oui, mais...

Oui, mais...

Tous les multiples, yogolo ?

Non, là, c'est faux.

Oui, là, c'est juste.

Mais pas sûr d'avoir bien compris le problème

Parce que sinon @= 72° et @=168° fonctionnent aussi.

Bonsoir,

Intuitivement, je dirais 72 degrés. Ou 36 si les deux cercles ont même rayon, ce qui rendrait la configuration formée par les deux cercles globalement identique au bout de 5 étapes avec 72 degrés.

Un calcul à l'aide des complexes doit permettre de le prouver mais c'est pénible à écrire sur un Iphone. J'attends de savoir si c'est bon pour me lancer.

Je corrige après un passage par Geogebra :
Les solutions sont les multiples de 24 degrés.
24,48,72,96,120,144 et 168.

Mon approche complexe était entachée d'une erreur.

En notant z_0 et p_0 les affixes de O et P et z_n et p_n celles des points atteints par O et P après n étapes, on a :

z_n+1 - p_n = e^(-i@)(z_n - p_n)
p_n+1 - z_n+1 = e^(-i@/2)(p_n - z_n+1)

En rentrant la première dans la seconde,
p_n+1 - z_n+1 = e^(-3i@/2)(p_n - z_n)

De ce fait
p_n - z_n = e^(-3in@/2)(p_0 - z_0)

Si au bout de 10 étapes, on est revenu à la configuration de départ on doit avoir
p_0 - z_0 = e^(-15i@)(p_0 - z_0)

Cela impose :
15@ = 2k pi
Soit @ est un multiple de 2 pi / 15.

OK, j'avais bien vu que c'était une condition nécessaire mais je n'avais pas analysé la réciproque. En fait ce sont les valeurs de 2k pi /15 où k est premier avec 10, donc k=1, k=3 et k=7
c'est-à-dire 24, 72 et 168
Mais je n'ai toujours pas démontré pourquoi les cercles reviennent exactement à la même place.